牛顿迭代法实验

1、牛顿迭代法实验实验预备知识实验问题与实验原理实验程序和实验结果实验结论设 x*是方程 f(x)=0 的根, x0是x*的近似值.在 x0 附近,对函数做局部线性化x0 x1x*(n = 0, 1, 2, )牛顿迭代格式:X,Y=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);Z=X.*exp(-X.2-Y.2);pcolor(Z);shading interppcolor：用于绘制伪彩色图Shading inter使图形更精细给定初值 z0 , 产生牛顿迭代数列z0, z1, z2, zn, Newton 迭代法实验方程 z3 1 = 0 在复平面上有三个根(n = 0, 1, )令考虑正

2、方形区域 牛顿迭代法具有局部收敛性，如果 z0 使迭代收敛。问迭代数列将收敛于何处？取定初值实验将确定初值 z0 产生的牛顿迭代数列收敛于三个根中哪一个。选择区域中规则网格点 (x, y) 确定迭代初始值z = x + i y进行实验.将导致收敛的初值 z 分为三类,分别标以不同颜色(例如红、黄、蓝)。绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。 收敛到 z1 初值点集合收敛到 z2 初值点集合收敛到 z3 初值点集合图1 牛顿迭代法收敛区域在复平面内,使牛顿迭代不收敛的初值点集构成了茹利亚集(为纪念法国数学家Julia).图2 牛顿迭代法不收敛区域不收敛初值点集合function p=newton

3、0(z)if z=0,p=0;return;endfor n=1:10 p=z-(z3-1)/(3*z2); if abs(p-z)0.00001,break;end z=p;end牛顿迭代法子程序function A0=Newtonlab(n)if nargin=0,n=101;endt=linspace(-2,2,n);x,y=meshgrid(t);X=roots(1,0,0,-1);A0,A1,A2,A3=Nlab(x,y,X);A=A0+2*A1+3*A2+4*A3;figure(1),pcolor(x,y,A),shading interp figure(2),pcolor(x,y

4、,A0), shading interp 实验绘图主程序function A0,A1,A2,A3=Nlab(x,y,X);r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);Z=x+y*i;M,N=size(Z);A0=zeros(M,N);A1=A0;A2=A0;A3=A0;for k1=1:M for k2=1:N z=Z(k1,k2);p=newton0(z); %取初值调用牛顿迭代 if abs(p-r1)0.01, A1(k1,k2)=1; elseif abs(p-r2)0.01, A2(k1,k2)=1; elseif abs(p-r3)0.01, A3(k1,k2)=1; else

5、 A0(k1,k2)=1; %确定不收敛的初始点 end endend调用牛顿迭代程序创建矩阵(照片)m,n=size(A0);N=m*n;II=find(A0=1);N0=length(II);II=find(A1=1);N1=length(II);II=find(A2=1);N2=length(II);II=find(A3=1);N3=length(II);format bankresults=100*N0,N1,N2,N3/N利用矩阵统计各区域百分比程序function prop=Newtonlab2(n)if nargin=0,n=100;endP=rand(n,2);x=4*P(:,

6、1)-2;y=4*P(:,2)-2;Z=x+i*y; A0=;A1=;A2=;A3=;X=roots(1,0,0,-1);r1=X(1);r2=X(2);r3=X(3);for k=1:n z=Z(k); p=newton0(z); if abs(p-r1)0.01,A1=A1,1; elseif abs(p-r2)0.01,A2=A2,1; elseif abs(p-r3)0.01,A3=A3,1; else _; endendN0=sum(A0);N1=sum(A1);N2=sum(A2);N3=sum(A3)format bankprop=_ ;实验结果表1. 规则点不收敛域与收敛域百分

7、比分辨率 不收敛域 收敛域III 收敛域II 收敛域I 51*51 6.42 30.26 30.26 33.06 101*101 6.48 30.30 30.30 32.92201*201 6.52 30.27 30.27 32.93表2. 随机点不收敛域与收敛域百分比随机点数 不收敛域 收敛域III 收敛域II 收敛域I 100 6.00 27.00 31.00 36.00 1000 7.10 29.70 29.10 34.10 10000 6.11 30.84 30.06 32.99实验结论：方程 z3 1 = 0 在复平面上有三个根取正方形区域 内任意点确定复数为牛顿迭代法初值实验结果表明,牛顿迭代法具有局部收敛性。至少有6%的点导致牛顿迭代法不收敛; 导致牛顿迭代法收敛的点分布于三个区域;三个区域中分别包含了三个根,初值点接近于根所在位置,必收敛于附近根;在三个区域分界处取初值点,可能导致迭代法不收敛.不敛域 敛域III 敛域II