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微积分讲课提纲微积分（I）浙江大学理学院讲课人：朱静芬E-mail:第五节 函数图形的凹向与拐点第三章 微分中值定理及导数的应用一、曲线凹凸的定义二、曲线凹向的判定定理三、曲线的拐点及其求法 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。 L1 是“下凹”弧，L2是“上凹”弧 ，L3既有上凹弧，也有下凹弧。定义 设 f(x)在(a,b)内可导,且如果在此区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹(或称“凹”)的；如果在此区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹(或称“凸”)的。上凹的下凹的一、曲线凹凸的定义定义图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方二、定理 (曲线凹向的判定定理)设函数在上连续,在内具有二阶导数,那么(1)若在内，则在上图形是上凹的下凹的(2)若在内，则在上图形是证明分别应用L定理，得两式相减，得由假设这就证明了同理可证（1）例解注意到,例：解：三、曲线的拐点及其求法1.定义2.拐点的求法证定理（拐点的第一充分条件）例：解上凹下凹上凹拐点拐点定理（拐

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