一元二次不等式组解法

1、一元二次不等式的解法一、学习目标1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。二、例题第一阶梯例1什么是一元二次不等式的一般式？【解】一元二次不等式的一般式是：ax2+bx+c(a0)或ax2+bx+cV0(a0)【评注】一元二次不等式的一般式中，严格要求a0,这与一元二次方程、二次函数只要求a#0不同。2任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当aV0时，将不等1式乘一1就化成了“a0”。例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？【点拨】用函数的观点来回答。【解】二次不等式、二次方程和

2、二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象是抛物线L,则不等式ax2+bx+c0,ax2+bx+cV0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。【评注】二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系,不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。【解】一元二次不等式的解集表：记忆图分类ax2+b

3、x+c0(a0)的解集ax2+bx+cV0(a0)的解集(一8,x)U(x,+12(一x)U(x，+R00(xi,x2)【评注】1不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。二次方程的解集求法属于“根序法”(数轴标根)。例4、写出一元二次不等式的解法步骤。【解】一元二次不等式的解法步骤是：化为一般式ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+cV0(a0)。这步可简记为“使a0”。计算=b24ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0,判别根的三种情况，20时求出根。3写出解集：用区间或用大括号表示解集。(3)二方程有等根例：解不等式x+23x2解：原不等式等价于3

4、x2x202孟1二一一解方程3x2x2=0得二根：,X2=l。原不等式的解集为(，1)。第二阶梯例1、解下列不等式：2+3x2x20；X24x+40【解】原不等式等价于2x2-3x-20由2x23x2=0得,X2=2.原不等式的解集是原不等式等价于：x2-2x+30由厶=0【探路】化为一元二次不等式来解。【解】.y=X2+x+1的判别式厶=120.对一切xWR恒有X2+x+10,原不等式等价于(1+x)(2-x)001x0,x+x0的条件。1212利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用。第三阶梯例5、已知a二阂-弘+浓0，b=若BA,求a的取值范围；若AQB是单元素集合，求a取值范围

5、。【探路】先解不等式化简集合A和B,再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值。【解】解不等式得A=1，2；而B=W0。若BA,如图1,得a的取值范围是1WaV2。若AQB是单元素集合，如图2,AAB只能是集合1.a的取值范围是aW1。【评注】集合B的最简表示只能是B=，这是因为不知道a与1的大小，不能表示为最简洁的区间；此外，当a=1时，集合B是单元素集合，即B=1,也不该表示为区间。例6、解关于x的不等式2x2-5ax-3a20时，V3a,原不等式的解集是（，3a）；当aVO时，3a,原不等式的解集是（3a,）；当a=O时，=3a=0，原不等式的解集是。【评注】解含字母系数的二次不等式，在求

6、出相应方程的二根后，应注意对字母分类讨论两根的大小，进而确定相应的解集。例7已知（且b0）的解集为x|lWxW2，求实数a,b的值。【探路】将不等式|ax+3|Wb化为二次不等式，利用二次不等式与二次方程的关系求a、b的值。【解】关于x的二次不等式(a20)的解集为1,2。.一1和2是方程=02工）的二根解得；或*.*b0,舍去后一组解。.a=-6,b=9【评注】本例就是利用一元二次不等式与一元二次方程的联系来解题。三、练习题1不等式|x（x+l）|x（x+1）的解集是（）(A)(b,1)U(1,+8)(B)(1,+8)(C)(8,1)U(1,0)TOC o 1-5 h z不等式42x2+ax

7、Va2（常数aVO）的解集是（）(B)(C)(D)3.不等式V0的解集是（(A)(0,3)(3,0)(C)(3,3)(D)R4若关于x的不等式ax2+bx+cV0（a#0）的解集为妙，那么（）(A)aVO,且b24ac0(B)aVO,且b24acW0a0,且b24acW0(D)a0,且b24ac0有三个关于x的方程:,已知其中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为（）(A)4WaW4(B)2VaV4(C)aVO(D)aW2,或a249若q=10.对任何实数x,函数的值恒为负数，则p的取值范围6.不等式4Wx2-3xV18的整数解集是7若方程组有两组解，则实数m的取值集合TOC o 1-5

8、h z是。8集合A=,B=，贝B=。的解集是x|2VxV4，则p,q的值分别是p=【答案】Lm_(qv3oA(q+x)(13+x)帘0灌寸(z)0V(I)“帘0灌士(6x)gAxz丄(I+XEX)(I+x)A(I+EX)X嘔帘0灌&.寸Vzxhxvo(寸)ovdV寸OIGA“X寸寸I(CQ)3v(x)xz(z)3AQ+X)(I+x)(I)“帘0灌二6(寸N)005.X为何值时，抛物线y=-X2+5x-5上的点位于直线y=1的上方。已知U=R,且人=丘|X2-9无已知全集U=R,A=x|x2-x-60,B=x|x2+2x-80,C=x|x2-4ax+3a0,若AQBC,求实数a的取值范围。已知A=x|x-aW1,B=x|20,且AQB=,求a的取值范围。答案(1)x|x-2或x-1;(2)x|0XSPAN;(3)x|-2WxW;(4)x|-2XTSPAN或2x3x|1x(1)x|-;(2)x|-a.x|2X3SPAN易得A=(3,3),B=(b,1)U2,+b，则AQB=x|-33AUB=RC(AB)=x|xW-3或1X2或X23.u(CA)U(CB)=x|xW-3或1X2或X23SPANuu7.当a2-1=0时a=1,有xGR.当a2-1#0时，=(&-)2+4(a2-1)=5a2-2a-303a210即一于A1时有XGR.SPAN综上所述：一AW1SPANx化为0,化为或即x1