2022年matlab汉明码和循环码的编程设计

1、二、创新试验设计 创新试验一：（7,4 ）汉明码的编码与译码实现 1、试验目的 实现（7,4）汉明码的编码与译码,通过 这次试验不 但加深了对汉明码编码 和译码原理明白,而且对线性分组码有所明白；2、试验原理 线性分组码的构造方法比较简洁、理论较为成熟,应用比较广泛；汉明码是一种能够订正一个错码的效率比较高的线性分组码,下面以（明码的编码与译码分别进行介绍：7,4）码为例就汉（1）编码原理一般来说,如汉明码长为n,信息位数为 k,就监督位数 r=n-k ；如期望用 r个监督位构造出 r 个监督关系式来指示一位错码的 n 种可能位置,就要求2 r1 n 或 2 r1 k r 1 1设汉明码（ n

2、,k ）中 k=4,为了订正一位错码,由式（1）可知,要求监督位数 r 3；如取 r=3, 就 n=k+r=7；这样就构成了（ 7,4 ）码；用 a a a a a a a 来表示这 7 个码元,用 s s s 的值表示 3 个监督关系式中的校正子,就 s s s 的值与错误码元位置的对应关系可以规定如表 1 所列；表 2.1 校正子和错码位置的关系s s s 1 2 3错码位置a 5s s s 32错码位置001 a 0101a4010a 1110 a5100a 2111a60113a000无错码就由表 1 可得监督关系式：a4a2s 1a 6s 2a 6a 5a 3a3s 3a6a 4a

3、3a 04在发送端编码时, 信息位a a a a 的值准备于输入信号, 因此它们是随机的；监督位a 、a 、a 应依据信息位的取值按监督关系来确定,为使所编的码中无错码,就S S 2,S 等于 0,即a 5a4a205a 6a 6a 5a3a 100a 6a4a 3a0方程组（ 5）可等效成如下矩阵形式1 110100a60（6）a5a41 101010a301011001a20a 1式6可简化为由于生成矩阵a0HAT0 T,H 为监督矩阵,就由式 6可得到监督矩阵1 1 10100H1 101010 =P I r71011001G=I Q=IkP,所以由 7得生成矩阵 G 如下：100011

4、1GI QI P010011000101010001011然后利用信息位和生成矩阵G 相乘产生整个码组,即有A = a a a a a a a 0 a a a a G 8其中 A 为整个码组矩阵,a a a a 是信息位；依据上述原理可以得到 7,4汉明码的整个码组；（2）译码与检错、纠错原理当数字信号编码成汉明码后,由于信道噪声的存在,使得经过信道后的汉明码会发生差错, 使得接收端接收到错码, 因此需要多错码进行订正, 以提高通信系统的抗干扰才能及牢靠性；下面分析纠错译码原理；设 B 为接收码组,它是一行7 列的矩阵,即B=b b b b b b b 7,B 中可能含有错码,错误图样 E A

5、 B = e e e e e e e 2 1 ,在 E 的表达式中,有0 当 b i a i 时e i 0,1,2 ,71 当 b i a i 时如 ie 0,表示该码元没错；如 ie 1,表示该码元为错码；由 E A B 得A B E 99表示接收码组和错误图样之和等于正确码组U,通过（ 9）式就可以实现纠错；可以用标准阵来表示全部可能的2n 个 n 元码组的接收矢量, n,k码的标准阵形式如下：A 1 A 2 A 3 A 4 A 5E 2 A 2 E 2 A 3 E 2 A 4 E 2 A 5 E 2E 3 A 2 E 3 A 3 E 3 A 4 E 3 A 5 E 3E j A 2 E

6、j A 3 E j A 4 E j A 5 E jE 2 n k A 2 E 2 n k A 3 E 2 n k A 4 E 2 n k A 5 E 2 n k应当留意到,码组 A （全 0 码字）起两个作用：既是其中一个正确码组,也是错误图样 E ,代表 A 所在行没有错误；标准阵中的 A E 2 , E 3 E 2 n k 是陪集首,陪集首的选择是有规定的, 第 j 行的陪集首是在前j-1 行中没有显现的最小码组,即错误图样 E,假如不选错误图样作为陪集首,译码将会产生错误；对于7,4汉明码,其最小码重是 3,设码的纠错才能为 t,依据公式tdmin12得该码的纠错才能为1,即能纠错一位错

7、码；由于依据完备码的定义有n 2kjt0n12j将7,4码代入 12可以得知, 7,4汉明码为完备码组,只能纠错和检错一位 错码；对于正确码组 A 而言,有当接收到错码变成码组AHT010EHTEHT11B 时,有SBHTAE HTAHT其中 S 为校正子所构成的校正矩阵,由于S 和 E 如（11）所示的一一对应的关系,对于 7,4码,错误图样与相伴式的对应关系如下 表 2.2 相伴式查询表错误图样 相伴式0000000 000 00000001 001 0000010 010 0000100 100 0001000 011 0010000 101 0100000 110 1000000 11

8、1 通过相伴式查询表,可以由相伴式得到错误图样,从而实现检错,进而实现纠错；3、试验内容 由于编码涉及到矩阵的运算, 而 matlab 在处理矩阵运算方面有特别优势,所以这次选择用 matlab 工具来实现（ 7,4）汉明码的编码和译码；7,4码的编码比较简洁,已知监督矩阵 H,可以通过函数求生成矩阵 G,然后信息位和生成矩阵 G 相乘就可得到全部的码组, 7,4汉明码的编码程序如下：%（ 7,4 ）汉明码编码2022.11.10 clear all ; clc;H=1 1 1 0 1 0 0 ; 1 1 0 1 0 1 0; 1 0 1 1 0 0 1;%7,4%7,4码的监督矩阵G=gen

9、2parH码的生成矩阵m=0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 1 0;0 0 1 1;0 1 0 0; 0 1 0 1;0 1 1 0;0 1 1 1;1 0 0 0;1 0 0 1; 1 0 1 0;1 0 1 1;1 1 0 0;1 1 0 1;1 1 1 0;1 1 1 1; U=remm*G,2;disp7,4汉明码的编码结果： ;dispU; %全部的信息位由原理分析可知,要实现纠错和检错译码,关键在于相伴式查询表,因此如何实现相伴式查询表是编程的关键,7,4汉明码的译码程序如下：%下面是 7,4码译码A=input 请输入接收码组： ;r,l=sizeA;E=0 0 0 0 0

10、 0 0;0 0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 0;0 0 1 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 0;1 0 0 0 0 0 0;% 求校正子,然后将其转化成十进制数 for i=1:r Sx=Si,1*4+Si,2*2+Si,3;end% 下面是（ 7,4 ）码检错 for i=1:r switch Sxcase 0 disp 此接收码字没错 case 1 disp 留意：此接收码字的第一位有错,请订正 case 2 disp 留意：此接收码字的其次位有错,请订正 case 4 disp 留意：此接收码字的第三位有错

11、,请订正 case 3 disp 留意：此接收码字的第四位有错,请订正 case 5 disp 留意：此接收码字的第五位有错,请订正 case 6 disp 留意：此接收码字的第六位有错,请订正 case 7 disp 留意：此接收码字的第七位有错,请订正 end end%下面为在知道哪位出错的情形下,进行订正for i=1:rSxswitchcase 0 Bi,:=Ai,:+E1,:; case 1 Bi,:=Ai,:+E2,:; case 2 Bi,:=Ai,:+E3,:; case 4 Bi,:=Ai,:+E4,:; case 3 Bi,:=Ai,:+E5,:; case 5 Bi,:=

12、Ai,:+E6,:; case 6 Bi,:=Ai,:+E7,:; case 7 Bi,:=Ai,:+E8,:; end end B=remB,2;disp 纠错后的码字 ; dispB; 由于可能在纠错过程中会产生错误,在此,我们设计了检错纠错是否产生错 误的程序,程序如下：% 下面为检查纠错是否产生错误 k=1; for k=1:16 if Uk,:=B flag=1; break end end if flag=1 disp 纠错无误 ; else disp 留意：纠错有误,请检查 End 由于译码的目的就是找出信息位息位,提取信息位的程序如下：%下面为提取码的信息位 for j=1:4

13、 c:,j=B:,j;enddisp 信息位 c 如下： dispc 4、试验结果分析 运行编码程序后,得到如下结果c ,所以,需要从纠错后的码组中提取出信通过理论运算,可以得出试验结果和理论编码结果吻合,可以发觉,（7,4）码的最小码重是 3；当接收码组为 1 1 0 1 1 0 0时,译码结果如下运行程序后,可以看到：当接收码组为1 1 0 1 1 0 0 时,会显现“ 留意：此接收码字的第六位有错,请订正” 的提示,在程序中,为防止纠错错误,我设置 了纠错后的码和编码结果的比较, 假如纠错后的码和编码结果当中的某个码组相同,说明纠错无误,否就纠错有误；当接收码组为1 1 0 1 1 0

14、0时,经过纠错后显现纠错无误的结果, 说明纠错后的码是正确码组； 然后提取纠错后的码组的信 息位 c,从运行结果可以看出, c=1001；当接收码组为 0 1 0 1 1 0 1时,运行结果如下：此接收码组原先就是一个正确码组,所以通过运行程序后,会显现“ 此接收码字没错” 的提示,纠错后的码字和接收的码组是相同的,检查到纠错无误,然 后提取信息位 c,信息位 c=0101,整个译码完成；5、改进建议 7,4汉明码的编码与译码相对比较简洁,可以通过 matlab 编程实现对信 道编码性能的分析,可以编程实现比较编码后的误码率和没编码的误码率,也可以编程实现在有噪声的情形下来进行译码；创新试验二

15、：（7,4 ）循环码的编码与译码1试验编码原理：依据循环码的代数性质建立系统编码的过程,可以把消息矢量用如下多项式表示：mxm k1xk1m k2xk2.m 1xm0要编码成系统循环码形式, 把消息比特移入码字寄存器的最右边 k 位,而把监督n k n k比特加在最左边的 n-k 个中,就要用 x 乘以 mx得到 x mx= n 1 n 2 n k 1 n km k 1 x m k 2 x . m 1 x m 0 xn kx mx= qx gx+ px ,其中 px可以表示为n k 1 n kpx= p n k 1 x . p 1 x p 0,就 px+ x mx n 1 n 2 n k 1

16、n k n k 1= m k 1 x m k 2 x . m 1 x m 0 x + p n k 1 x . p 1 x p 0另 Ux= px+ x n kmx,就 U=（p ,p ,p , ,p n k 1,m 0,m , ,m k 1）；本试验依据以上原理, 用 matlab 实现书上例 6.8 系统形式的循环码, 生成多3项式为 gx= 1 x x2试验译码原理：译码的试验原理 gx= ,在（ n,k）循环码中,3由于 gx能除尽 ,因此 x n 1 可分解成 gx和其他因式的乘积,记为 1 x xn x 1 g x h x 即可写成就h* x= x4h xxn1g x 即 h x =

17、 x4h * x 式 hx的逆多项式；x2x1x3x1,其中监督矩阵多项式可表示为Hxx2h*x ,xh*xh*x3（7,4）循环码的编码（ 4 位）的程序：clear; clc; a=input 请输入消息矢量：; %高次项系数在前的生成多项式Gx=1 0 1 1; %将数组 a 的高位依次放在数组 Data 的低位Data=zeros1,7; Data1=a4; Data2=a3; Data3=a2; Data4=a1; %Data 除以 Gx 得到余数 Rx Qx,Rx=deconvData,Gx; b=Rx+Data; %将数组 b 的高位放在后面 c=b1; b1=b7; b7=c;

18、 c=b2; b2=b6; b6=c; c=b3; b3=b5; b5=c; %将数组 b 校正 for i=1:7 if remabsbi,2=0 bi=0;end end for i=1:7 if remabsbi,2=1 bi=1;end end disp输入序列： ; a disp编码输出序列：; b 程序运行结果为：转变输入序列运行结果的编码如下：序号输入序列输出序列序号输入序列输出序列1 0000 000 0000 9 1000 110 1000 2 0001 101 0001 10 1001 011 1001 3 0010 111 0010 11 1010 001 1010 4

19、0011 010 0011 12 1011 100 1011 5 0100 011 0100 13 1100 101 1100 6 0101 110 0101 14 1101 000 1101 7 0110 100 0110 15 1110 010 1110 8 0111 001 0111 16 1111 111 1111 4相对应的译码和纠错（ 7 位）程序：clear; clc; r=1 0 0 1 1 1 1; h=1,0,0;1,1,0;1,1,1;0,1,1;1,0,1;0,1,0;0,0,1; b=flipudh; s=r*b; for i=1:3 if remabssi,2=0

20、si=0;end end for i=1:3 if remabssi,2=1 si=1;end end if s=0 0 0 e=0 0 0 0 0 0 0 ; elseif s=1 0 0 e=0 0 0 0 0 0 1; elseif s=1 1 0 e=0 0 0 0 0 1 0; elseif s=1 1 1 e=0 0 0 0 1 0 0; elseif s=0 1 1 e=0 0 0 1 0 0 0; elseif s=1 0 1 e=0 0 1 0 0 0 0; elseif s=0 1 0 e=0 1 0 0 0 0 0; else s=0 0 1 e=1 0 0 0 0 0

21、0; end u=r+e; for i=1:7 if remabsui,2=0 ui=0;end end for i=1:7 if remabsui,2=1 ui=1;end end Data=zeros1,4; Data1=u4; Data2=u5; Data3=u6; Data4=u7; if e=0 0 0 0 0 0 0 disp没有错误： k=0,else disp第几位错误： k=finde ;end disp接收码字 r disp译码输出序列： Data 第几位错误： k = 5 接收码字r = 1 0 0 1 1 1 1 译码输出序列：Data =1 0 1 1 以上编码有个缺

22、点,就是它只能对一个消息矢量（4 位）进行编码,我又在这个基础上编写了一个可以同时对位数是 4 的倍数的消息矢量进行编码；5多位循环码（ 4 的倍数）的编码程序如下：clear; clc; a=1 1 0 0 1 0 1 1; X,N=sizea; %将信息码分为 M 帧, 1 帧 4 个信息码 M=ceilN/4; d=zeros1,4; b=zeros1,7*M; Data=zeros1,7; for k=1:M for j=1:4 dj=aj+k-1*4;end %生成多项式 Gx=1 0 1 1; Data1=d4; Data2=d3; Data3=d2; Data4=d1; %Dat

23、a除以 Gx 得到余数 Rx Qx,Rx=deconvData,Gx; e=Rx+Data; b7*k-6:7*k=e1:7; c=b1+k-1*7; b1+k-1*7=b7+k-1*7; b7+k-1*7=c; c=b2+k-1*7; b2+k-1*7=b6+k-1*7; b6+k-1*7=c; c=b3+k-1*7; b3+k-1*7=b5+k-1*7; b5+k-1*7=c; end for i=1:M*7 if remabsbi,2=0 bi=0;end end for i=1:M*7 if remabsbi,2=1 bi=1;end end disp输入序列： ; a disp编码输

24、出序列： ; b a = 0 1 1 程序运行结果如下：输入序列：1 1 0 0 1 编码输出序列： b = Columns 1 through 13 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 Column 14 1 6多位译码（ 7 的倍数）纠错程序：clear; clc; r=1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ; X,N=sizer; %将接收到的码分为 M 帧,1 帧 7 个信息位 M=ceilN/7; h=1,0,0;1,1,0;1,1,1;0,1,1;1,0,1;0,1,0;0,0,1; b=flipudh; d=zeros1,7; U=zeros1,4*M; Data1=zeros1,7*M; Data=zeros1,7*M; for i=1:M for j=1:7 dj=rj+i-1*7;end s=d*b; for k=1:3 if remabssk,2=0 sk=0;end end for k=1:3 if remabssk,2=1 sk=1;end end if s=0 0 0 e=0 0 0 0 0 0 0 ; elseif s=1 0 0 e=0 0 0 0 0 0 1; elseif s=1 1 0 e=0 0 0 0 0 1 0; elseif s=1 1