工程数学-线性代数课件1第三章3

1、第二节n维向量的线性相关性1. n维向量的线性相关与线性无关2. 线性相关性的判别法本节主要内容一 n维向量的线性相关与线性无关 设1, 2, , m, 都是n维向量，若存在一组数k1, k2, , km使得 定义 则称向量是1, 2, , m的线性组合, 或称向量可由1, 2, , m线性表出.例如对向量=(1, 1, 0), =(2, 1, 1), =(1, 0, 1),=+, 是, 的线性组合.称1, 2, , n为n维向量空间的基本单位向量.在n维向量空间中，设 则对任何一个n维向量都有对任何向量组1, 2, , m都有而对向量组1=(1,1,0), 2=(2,1,1), 3=(1,0

2、,1)有11 12+13=0.则称 1, 2, , m 是线性相关的. 设 1, 2, , m是m个n维向量，若存在一组不全为零的数k1, k2, km，使得线性相关的向量组的特点：它除了有系数全为零的线性组合是零向量外，还可以有系数不全为零的线性组合也是零向量.定义所以由定义知： 1, 2, 0, 3 线性相关.例1试证：向量组1, 2, 0, 3是线性相关的.因为存在不全为零的数0, 0, 1, 0, 使得证说明:包含零向量的向量组一定线性相关. 也就是说：向量组1, 2, , m 当且仅当系数k1, k2, km 全为零时，才能使得 一个向量组如果不是线性相关的，就称为线性无关的。定义

3、线性无关的向量组的特点：它只有数全为零的线性组合才是零向量，除此之外，它不再有别的线性组合是零向量. 设 1, 2, , m 是m个n维向量，如果定义 例2试证：n维向量空间的基本单位向量组1, 2, , n 是线性无关的.就必有则称 1, 2, , m 是线性无关的.此定义常用来证明向量组是线性无关的.证 如果 有于是得到 根据定义得1, 2, , n 是线性无关的.即线性相关与线性无关反映了向量组是否有系数不全为零的线性组合等于零向量. n维向量1, 2, , m (m2)线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可由其余向量线性表出.证 必要性 因 1, 2, , m 线性相关，即存在

4、不全为零的数 k1, k2, km ，使得定理2.1不妨设k10, 则 即1可由 2, , m 线性表出.充分性 于是显然， 1, k2, km 不全为零，故 1, 2, , m 线性相关.不妨设1可由 2, , m 线性表出，即推论 向量组 1, 2, , m (m2) 线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余向量线性表出. 若n维向量 1, 2, , m 线性无关，向量 1, 2, , m, 线性相关，则 可由向量 1, 2, , m线性表出，且表法唯一.定理2. 2证 向量组 1, 2, , m, 线性相关，即存在一组不全为零的数k1, k2, km 使得若k=0，则有与已知

5、矛盾，故k0.即1, 2, , m 线性相关，于是即因 1, 2, , m 线性无关，故必有下面证唯一性，用反证法：若有两种表法使两式相减，得所以表法唯一.二 线性相关的判别法特殊情形: 当m=1时, 也即只有一个向量的向量组： 1 , 显然 1 线性相关的充分必要条件是1=0.如果当10时, 1 线性无关. 当m=2时, 即含有两个向量的向量组: 1, 2 , 它们线性相关1=k2或 2 =h1, 或者说, 1, 2的对应坐标成比例. 否则1, 2线性无关. 当m3时，向量组 1, 2, , m 的线性相关性的判别通常转化为齐次线性方程组是否有非零解来考虑.例3判别向量组: 1=(1, 2,

6、 5), 2=(2, 4, -1), 3=(6, -1, -1)的线性相关性.设 解即亦即由于故齐次线性方程组只有唯一零解：故向量组线性无关.判别向量组： 1=(1, 2, 2), 2=(-2, 1, -1), m=(1, -3, -1) 的线性相关性.例4解设即系数行列式不能用克莱姆法则解方程组.(-2)(-2)(-1/5)(-3)消元法相当于对它的系数矩阵作初等行变换：得等价方程组：所以所以向量组线性相关.2取于是一般结论: 判别一个向量组i=(ai1, ai2, aim), i=1, 2, , m, 是否线性相关，根据定义判断齐次方程组：是否有非零解，即齐次方程组是否有非零解.特别是当m

7、=n时, 即n个n维向量组线性相关的充分必要条件为向量组的线性相关与线性无关的性质 1含有零向量的向量组必线性相关. 不失一般性，设所给的m个向量为证从而存在不全为零的数1,0,0，使得所以1, 2, , m线性相关.2向量组若有一个部分线性相关，则整个向量组也线性相关.证 设向量组 1, 2, , t, t+1, , m 中的一部分组1, 2, , t 线性相关，则存在不全为零的数k1, k2, , kt ，使得因为 k1, k2, , kt 不全为零，所以k1, k2, , kt, 0, , 0 也不全为零. 由定义知1, 2, , t, t+1, , m 线性相关. 从而4若向量组i=(

8、ai1, ai2, ain), i=1, 2, , m, 线性相关， 则去掉最后r个分量(1rn)后，所得到的向量组： i=(ai1, ai2, ain-r) , i=1, 2, , m也线性相关. 由 1, 2, , m 线性相关，故存在着不全为零的数k1, k2, , km 使得证 3. 若向量组线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关. 证用反证法，利用性质2即得。 写成分量形式，即取上述方程组的前n-r个方程组成方程组 即亦即存在不全为零的数 k1, k2, , km 使其上式成立，于是 1, 2, , m 线性相关.5若向量组： i=(ai1, ai2, ain), i=1, 2, , m, 线性无关，则在每个向量上任意增加r个分量所得到的向量组: i=(ai1, ai2, , ain, ain+1, , ain+r), i=1, 2, , m, 也线性无关. 证 用反证法，利用性质4即得.例5 设 t1, t2, , tr 是互不相同的数，且rn，试证：向量组 设 证写成分量形式，即线性无关.(1) 当r = n时，上述方程组中方程个数等于未知数个数且系数行列式为范得