《控制工程基础》第三章习题解题过程及答案

1、3-1已知某单位反馈系统的开环传递函数为G(s)二語，试求其单位阶跃响应。解法一，采用拉氏反变换：C(s)系统闭环传递函数为：(s)=R(s)G(s)K=k=1+G(s)Ts+K+1k1输入为单位阶跃，即：R(s)=-s故:C(s)=0(s)R(s)=比+；+K可由待定系数法求得：A二，K+1KK+1KK+1所以，C(s)=1AB=+ss丄K+1s+TB=丄K+1-丄(1一1)s+空曲TT对上式求拉氏反变换：解法二，套用典型一阶系统结论：由式(3-15)，已知典型一阶系统为：空s)=吕丄由式(3-16)，其单位阶跃响应为：c(t)=1-eTt若一阶系统为(s)=，则其单位阶跃响应为：c(t)=

2、K(1一eT)R(s)Ts+1、C(s)G(s)现本系统闭环传递函数为：(s)=k=,R(s)1+G(s)Ts+K+1Ts(K+1)+1Ts+1K(K+1)其中，八,丄Kki所以，c(t)=K(1-e-Tt)(1-e-Tt)K+1采用解法二，概念明确且解题效率高，计算快捷且不易出错，应予提倡3-2设某温度计可用一阶系统表示其特性，现在用温度计测量容器中的水温，当它插入恒温水中一分钟时，显示了该温度的98%，试求其时间常数。又若给容器加热，水温由0C按10C/min规律上升，求该温度计的测量误差。解：(1)由题意知，误差为2%,因此调节时间：t二4T二1min，即时间常数T：sT二-1=0.25

3、min二15sec4s(2)由题意知输入信号为斜坡信号，r(t)10。Cmin。由式(3-24)，一阶系统跟踪斜坡信号时有一固定稳态误差：eAT10Cminx0.25min2.5。Csst3-3一阶系统的结构如题3-3图所示，其中为开环放大倍数，K2为反馈系数。设=100,=0.1。试求系统的调节时间t(按5%误差计算)；如果要求t=0.1，求反馈系数K_os2解：系统的结构图题3-3图KC(s)1系统闭环传递函数为：(s)务KR(s)1+K1K2sK1s+KK12厶s+1KK12可见，时间常数T=0.1secKK12(1)调节时间t3T0.3sec(5%误差)s33(2)已知t3T，所以K=

4、-sKK2tK12s10.1x100=0.334设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)k4时，求该系统的单位阶跃响应。解：C(s)G(s)系统闭环传递函数为：(s)kR(s)1+G(s)s2+5s+4这是一个二阶过阻尼系统(匚1)，1输入为单位阶跃：R(s)s4故:C(s)(s)R(s)k不是二阶振荡系统，因此不能套用现成结论。可用传统方法求解，即1_11343+s2+5s+4sss+4s+1对上式求拉氏反变换：14c(t)1+e-4tet333-5已知某系统的闭环传递函数为(s)-罗R(s)s2+23s+2nn系统单位阶跃响应的最大超调g%=8%，峰值时间t=1s，试确定:和值。pn解：由g

5、/=e-眩T-g2，可求得：匚=oln2go一二0.627(也可查图3-16而得)兀2+ln2goo由t二，可求得：p1-g2nn兀=4.031radst1-g2p3-6一单位反馈系统的开环传递函数为求：(s)=-s(s+1)(1)系统的单位阶跃响应及动态性能指标t、t、t和g%；rps2)输入量为单位脉冲时系统的输出响应。Gk解：系统闭环传递函数为：(s)=k=1R(s)1+G(s)s2+s+1k(注：上式已经符合标准式(3-27)，否则应变换为标准式才能继续)系统的参数为：o=1,23=1=匚=0.5，为欠阻尼。nn2on1)由式(3-46)，单位阶跃响应：c(t)=1-旳-sin(o1一

6、匚21+0)，其中0=arctand2八:代入各参数：c(t)二1-1.15e-o.5tsin(0.866t+1.047)，其中0=arctan匚匚？二1.047rad以下求各指标：故：t冗一0.1一C2，其中0二arctan二1.047rad，.：1-g2匚n兀一0二二2.418secJ1-g2n冗=3.628secO、J1-g2n一3=6sec(A=5%)3n4-=8sec(A=2%)3Jng/=e-眩T-g2x100%=16%(也可查图3-16而得)o2)由式(3-46)，单位脉冲响应：t=sg(t)二c(t)二e-Qnsin1匚21n代入各参数：g(t)二c(t)二1.15e-o.5t

7、sin0.86613-7某二阶系统的结构框图如题3-7图所示试画出=0,题3-7图控制系统框图0K1时的单位阶跃响应曲线。AA解：1C(s)s(s+1)s2+(1+K)s+1ATOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 系统闭环传递函数为：(s)=1一R(s)1+1(1+Ks)s(s+1)A系统的参数为：1，2匚1+KA。nnA2(1)K0A1+K此时，Q*0.5，为欠阻尼，可求得:t3.628secpV；1g2n3t5ns46sec8sec(A5%)(A2%)b0e-眩t-E2x100%16%o(2)0K1A1+K此时，由Q-

8、厂，可知0.5Q1，仍为欠阻尼。由于阻尼比增大，因此超调量减小。若0.5Q1A1+K此时，由Q-亍，可知Q1，成为过阻尼系统，因此没有超调量。调节时间t的计算不能应用公式t沁(34)x,应按照定义计算，通常会加大，略.ssQw三种情况下的单位阶跃响应曲线如下面图所示。3-8由实验测得二阶系统的单位阶跃响应曲线c(t)如题3-8图所示，试计算其系统参数:和。n解：3-9题3-8图二阶系统的单位阶跃响应曲线由图可知，b/=20%,t=0.2sec。op由b/=e-眩订弋2，可求得：匚二Eboo二0.456(也可查图3-16而得)兀2+ln2boo兀兀由t二，可求得：二二17.65radsP宀弋2n

9、t1弋2np某系统如题3-9图所示，若要求单位阶跃响应c(t)的最大超调b%二20%，调节时间t2secs二0.02)，试确定K值和b值。题3-9图控制系统框图解：C(s)s2系统闭环传递函数为：(s)=R(s)1+K(1+bs)s2+Kbs+Ks2与标准式(3-27)比较，知：o=JKnKbb、K且23=Kb，所以：匚二=n2o2n根据题意，最大超调b%二20%。而超调量是阻尼比:的单值函数,由此可决定阻尼比C:ln2boo二0.456兀2+ln2boo4而调节时间t=_t匚s=4.386rad；s由此得联立方程：o=4K4.386rad!sn庆K二0.4562解得：K=o219.24nb二

10、玉二0.2085，且附近无零点。因此s=0.2士j0.5确实可视为闭环系统主导极点。Res0.21,21,2即可以用二阶主导极点系统近似等于原三阶系统：0(s)=C(s)丽378(s+3.56)(s+0.2+j0.5)(s+0.2-j0.5)378)3.56(s+0.2+j0.5)(s+0.2-j0.5)366x0.542s2+2x0.37x0.54s+0.542该二阶系统的参数为：匚=0.37,=0.54n单位阶跃输入的响应指标为：b%沁29%,t沁15sec(A=5%)s列劳斯表如下s5114s4235s313,2x11x3122b1223-12已知控制系统的特征方程如下，试分析系统的稳定

11、性。3-12(1)s5+2s4+s3+3s2+4s+5=0解：特征方程的系数均大于0且无缺项。2x41x53b=222s1s037185-12x3-2x32门c=91-12z9x32+12x537d=1918结论：劳斯表第列变号二次，系统不稳定。（特征方程有二个右根）3-12（2）2s4+s3+3s2+5s+10=0解：特征方程的系数均大于0且无缺项列劳斯表如下s42310s315s2-7101x3-2x5b=7u/11s145-7x5-1x10457c1-77s010结论：劳斯表第列变号二次，系统不稳定。（特征方程有二个右根）3-12(3)s4+3s3+s2+3s+1=0解：特征方程的系数均

12、大于0且无缺项。列劳斯表如下s411s333s201s13x1-1x3b=013结论：劳斯表第列出现零值，系统不稳定。（特征方程有纯虚根）3-12（4）s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0解：特征方程的系数均大于0且无缺项。列劳斯表如下s62016s521216s421216s300b=2X8-1X12=212b=2X20-1X16=1222s1结论：劳斯表出现全零行，系统不稳定。(特征方程有纯虚根)3-13设某系统的特征方程s3+(a+1)s2+(a+b-1)s+b-1=0,试确定待定参数a及b,以便使系统稳定。解：列劳斯表如下s31a+b1s2a+1b-1s1b7(a

13、+1)(a+b-1)-(b-1)b=11a+1s0b-1为使系统稳定,需满足以下条件：特征方程的系数均大于0，即：a+10(1)a+b10(2)b-10(3)劳斯表第一列元素均大于0,去除与条件重复部分后，有：(a+1)(a+b-1)-(b-1)0(4)解以上4个不等式：由(1)：a-1；由(2)和(3):a0；综合得：a0；由(3):b1；由(4)：(a+1)(a+b1)(b1)=a(a+b)0；综合得：a0于是,闭环系统稳定条件为：a0,b13-14已知单位反馈系统的开环传递函数为1)100s(0.1s+2)(s+5)2)3s+1s2(4s2+120s+2500)试分析闭环系统的稳定性。解

14、：100(1)G(s)=ks(0.1s+2)(s+5)系统闭环传递函数为：(s)=k=100R(s)1+G(s)0.1s3+2.5s2+10s+100k闭环系统特征方程为：0.1s3+2.5s2+10s+100=0判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项列劳斯表如下s30.110s22.5100s16b=1s0100结论：劳斯表第一列均为正值，系统闭环稳定。2.5x10-0.1x100/-62.52)G(s)=3s+13s+1ks2(4s2+120s+2500)系统闭环传递函数为：O(s)=需=篙)=4s4+120s3+2500s2+3s+1k闭环系统特征方程为：4s4+120s3+2500

15、s2+3s+1=0判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项列劳斯表如下s4425001s31203s22499.91120 x2500-4x3b249991120s12.9522499.9x3-1202952c2.95212499.9s01结论：劳斯表第一列均为正值，系统闭环稳定。3-15试分析下列图示系统的稳定性。题3-15图控制系统框图解：3-15(a)10s2+101s+10C(s)先求系统闭环传递函数：(s)=R(s)闭环系统特征方程为：s2+101s+10=0判别稳定性：这是一个二阶系统，只要特征方程的系数均大于0就必然稳定，无须采用劳斯判据。(同学可自证之)3-15(b)该闭环系

16、统有二个反馈回路，可采用方块图等效化简方法合并之TOC o 1-5 h zR(s)10s+10C(s)10s+10s3+21s2+10s+10s3+21s2+10s+10C(s)即系统闭环传递函数：(s)=R(s)闭环系统特征方程为：s3+21s2+10s+10=0判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项10列劳斯表如下s3s22110200,21x1010200s1b=2112121s010结论：劳斯表第列均为正值，系统闭环稳定。3-16试确定使题3-16图所示系统稳定的K值。3-16(a)解：Ks3+s2+2s+KC(s)先求系统闭环传递函数：(s)=门(R(s)闭环系统特征方程为：s3

17、+s2+2s+K=0判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项，要求K0。列劳斯表如下s312s21Ks12Ks0K若要求劳斯表第列均为正值，应满足：J2-K0K0综合有：0K0。列劳斯表如下s3110s210K+110s1100K10K+1s010若要求劳斯表第列均为正值，应满足K0.1K010K+100速度反馈增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。3-16(c)解：K0.025s3+0.35s2+s+KC(s)先求系统闭环传递函数：(s)=R(s)闭环系统特征方程为：0.025s3+0.35s2+s+K=0判别稳定性：特征方程的系数均大于0且无缺项，要求K0。列劳斯表如下s30.0251s2

18、0.35Ks11一14若要求劳斯表第列均为正值，应满足：1一00K0综合有：0K0。列劳斯表如下s3s2O2n2ns11丄23ns0若要求劳斯表第列均为正值，应满足：1-聽0JK23TOC o 1-5 h z2CWnn丨K0K0l综合有：0K23(1)n代入数据后：0K06546SK50I9K59综合有：5p14K99开环增益K在上述范围内，则闭环系统不但稳定，且所有闭环极点的实部均小于-1。3-19已知单位反馈系统的开环传递函数为Ks(s2+6s+25)试根据下述条件确定K的取值范围。(1)使闭环系统稳定；(2)当r(t)二3t时，其稳态误差e0.6。ss解：(1)关于闭环稳定性求解本题当然

19、可以用普通方法，如在习题3-12至3-18中所应用的。但我们换一种思路，设计利用一些规律性的结果。在习题3-17中已经求出，对于单位反馈系统若具有下列形式的开环传递函数：Ks(S2+2匚s+1)2nn当0K20时，闭环系统稳定。n将本题改写成如上形式：K25s20.6s(+2xs+1)525可以看出，二个参数为：匚二0.6,o=5n因此，习题3-17中，稳定条件0K2o就成为n2x0.6x525K1502)关于稳态误差式是求闭环稳态误差的开环传递函数的标准形式。可以看出，该系统是1型系统，开环增益是K/25,静态速度误差系数也为：25当输入为斜坡函数r(t)=3t时，其稳态误差为A375e=l

20、=ssKK25Kv已知要求在此输入下即e0.6ss7575e二二125ssK0.6综合和，有：125KT)1s2s(Ts+1)122解：图示系统为典型控制系统方块图。令r(t)0，即R(s)0，可以得到扰动信号n(t)产生的稳态误差eNss据式(3-82)有：eNss豊sEn(s)一巴sGH!詈N(s)k在本题中，有H(s)1,G(s)G(s)G(s)，即k12eNsss1+G(s)G(s)“121)2018-10-20543823632.doc-P /22页1当n(t)二1(t)时，N(s)二；s1当n(t)=t时，N(s)二-；s2(1)G(s)=K,1G2(S)=K2s(Ts+1)2代入式1）：K2s(Ts+1)2N(S)1+KK21s(Ts+1)2Ks=lim2ST。s(Ts+1)+KK211当n(t)=