现代控制理论-第7章

1、第六次课小结Lyapunov意义下的稳定性问题基本概念平衡状态的概念Lyapunov意义下的稳定性定义（稳定，一致稳定，渐进稳定， 一致渐进稳定，大范围渐进稳定等） 纯量函数的正定性，负定性，正半定性，负半定性，不定性二次型，复二次型（Hermite型）二、Lyapunov稳定性理论第一方法第二方法三、线性定常系统的Lyapunov稳定性分析应用Lyapunov方程AhP + PA = -Q来进行判别稳定性线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计衰减系数，一旦定出门min，则可定出v3）随时间*衰减上界。计算门的关系式五、min离散时间系统的状态运动稳定性及其判据离散系统的大范围淅近稳定判据

2、，Lyapunov稳定判据在离散系统中的应用六、线性多变量系统的综合与设计的基本问题问题的提法性能指标的类型研究的主要内容七、极点配置问题问题的提出可配置条件极点配置算法爱克曼公式(Ackermanns Formula)考虑由式()给出的系统，重写为&= Ax + Bu假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为S =,A o12n利用线性状态反馈控制律u = Kx将系统状态方程改写为&= (A BK)x定义A=A-BK则所期望的特征方程为si A + BK si A = (s |LX )(s |LX )A (s 口)12n=+ o*s-1 +A +i* s +。* = 01n-1n由于

3、凯莱-哈密尔顿足理指出云应满足其自身的特征方程，所以e *( A) = A n + a * A n-i +A + a * A + a * I = 0 1n1n我们用式()来推导爱克曼公式。为简化推导，考虑n = 3的情况。需要指出的是，对任意正整数，下面的推导可方便地加以推广。考虑下列恒等式I = IA = A BK .一 A2 = (A BK )2 = A 2 ABK BKAAs = (A BK )3 = A 3 A 2 BK ABKA BK2将上述方程分别乘以a *, a *, a *, a * (a * = 1)，并相 TOC o 1-5 h z 32100加，则可得a * I + a

4、* A + a * A2 + As321=a* I + a *( A BK) + a * (A2 ABK BKA) + A3 321 A2 BK ABKA BK2a *BKA A2BK 1()=a * I + a* A + a * A2 + A3 a* BK a * ABK 321 ABKA BK2参照式()可得a * I + a * A + a * A2 + A3 =e *( A) = 0321也可得到a * I + a * A + a * A 2 + A 3 =e *( A)古 0321将上述两式代入式()，可得， *( A) 5 *( A) - a * BK - a * BKA - BK

5、A2 - a * ABK - ABKA - A 2 BK211由于n *(A) = 0，故. 一 . . n *( A) = B (a * K + a * KA + K2) + AB( a * K + KA) + A 2 BK=B NAB AA 2 B 。 Ja * K + a * KA + KA 221a * K + K1K()由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵Q = B NAB NA 2 B 的逆存在。在式（）的两端均左乘能控性矩阵Q的逆，可得BNABNA2B -1 n *(A)=a * K + a * KA + K221a * K + KA1K上式两端左乘0 0 1，可得一一 一a

6、 * K + a * KA + KA 20 0 1 B NAB NA2B -挪 *(A) = 0 0 1a * K + KAK重写为K = 0 0 1 BNAB NA2B -1 *(A)从而给出了所需的状态反馈增益矩阵K。对任一正整数，有K = 0 0 A 0 1 B NAB MA NAn-1B -m *(A)式（）称为用于确定状态反馈增益矩阵K的爱克曼方程。例考虑如下线性定常系统&= Ax + Bu式中-010 一-0 -A =001,B =0-1-5-61利用状态反馈控制U = -Kx,希望该系统的闭环极点为s = -2j4和s = -10。试确定状态反馈增益矩阵K。首先需检验该系统的能控

7、性矩阵。由于能控性矩阵为: TOC o 1-5 h z -00 1 - HYPERLINK l bookmark46 o Current Document Q = B NAB Ml 2 B = 0 1-6 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 1-6 31所以得出detQ = -1，因此，rankQ = 3。因而该系统是状态 完全能控的，可任意配置极点。下面，我们来求解这个问题，并用本章介绍的3种方 法中的每一种求解。方法1:第一种方法是利用式（）。该系统的特征方 程为：s-1 0I sI 一 A1= 0 s -1_15s + 6_=s 3 + 6

8、 s 2 + 5s +1=s 3 + a s 2 + a s + a = 0因此a1 = 6, a2 = 5, a3 = 1期望的特征方程为(s + 2 - j 4)( s + 2 + j 4)( s +10) = s 3 +14 s 2 + 60 s + 200=s 3 + a * s 2 + a * s + a * = 0123因此a * = 14, a * = 60, a * = 200123参照式()，可得K = 200 -1M0 - 5 M4 - 6=199 55 8方法2设期望的状态反馈增益矩阵为K = k k k s00 一010 一I si - A + BK 1=0s00010

9、0s-1-5-6可得并使I sI A + BK I和期望的特征多项式相等，s -100 s-11 + k5 + k s + 6 + k12132-00=s 3 + (6 + k )s 2 + (5 + k )s +1 + k=s 3 +14 s 2 + 60 s + 2006 + k = 14, 5 + k = 60,1 + k = 200因此从中可得k = 199, k = 55,K = 199 558方法3：第三种方法是利用爱克曼公式。参见式。可得K = 0 0 1 B NAB Ml2B -i *(A)由于n *(A) = A3 +14A2 + 60A + 2001010 -301001+

10、 1400_-1 - 5-6_L-1-5010 -10+60001+ 20001_-1 -5 - 6_000 21-6_001199 55 8=-8 159 7 TOC o 1-5 h z -7 -43117 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 00 1B M1B NA 2 B = 01-61-6 31可得001 一-1199 55 8-K = 0 0 101-68 159 71-631-7 -43117561_199 55 8-=0 0 1610-8 159 7100-7 -43117= 199 55 8显然，这3种方法所得到的反馈增益矩阵K是

11、相同的。 使用状态反馈方法，正如所期望的那样，可将闭环极点配 置在 s = -2 j4 和 s = -10 处。应当注意，如果系统的阶次n等于或大于4,则推荐使 用方法1和3，因为所有的矩阵计算都可由计算机实现。 如果使用方法2，由于计算机不能处理含有未知参数 k ,k ,A ,k的特征方程，因此必须进行手工计算。12n注释对于一个给定的系统，矩阵K不是唯一的，而是依赖于选择期望闭环极点的位置（这决定了响应速度与阻尼）， 这一点很重要。注意，所期望的闭环极点或所期望状态方 程的选择是在误差向量的快速性和干扰、测量噪声的灵敏 性之间的一种折衷。也就是说，如果加快误差响应速度， 则干扰和测量噪声的

12、影响通常也随之增大。如果系统是2 阶的，那么系统的动态特性（响应特性）正好与系统期望 的闭环极点和零点的位置联系起来。对于更高阶的系统， 期望的闭环极点位置不能和系统的动态特性（响应特性） 联系起来。因此，在决定给定系统的状态反馈增益矩阵K 时，最好通过计算机仿真来检验系统在几种不同矩阵（基 于几种不同的期望特征方程）下的响应特性，并且选出使 系统总体性能最好的矩阵K。利用MATLAB求解极点配置问题用MATLAB易于求解极点配置问题。现在我们来求解 在例中讨论的同样问题。系统方程为&= Ax + Bu式中010 一0A =001，B =0-1-5-61采用状态反馈控制U = -Kx,希望系统

13、的闭环极点为s =p i(i=1,2,3),其中七=-2 + j4, |12 = _2 - J4, P3 = I。现求所需的状态反馈增益矩阵K。如果在设计状态反馈控制矩阵K时采用变换矩阵P，则必须求特征方程|sI|= 0的系数a、a、和a。这可通过 123给计算机输入语句P = poly(A)来实现。在计算机屏幕上将显示如下一组系数：A = 0 1 0; 0 0 1; -1 -5 -6；P = poly(A)P =则 u = al = P(2), a a2 = P(3), a a3 = P(4)。 TOC o 1-5 h z 123为了得到变换矩阵P,首先将矩阵Q和W输入计算机，其中Q = B

14、 NAB Ml 2 B aa1W =a10100然后可以很容易地采用MATLAB完成Q和W相乘。其次，再求期望的特征方程。可定义矩阵人使得000 - 2 + j4 00一J P2000-2 - j 40_0P3_ 00-10 _从而可利用如下polyU）命令来完成，即因此，有a * = aa1 = Q(2), a * = aa2 = Q(3), a * = aa3 = Q(4)123即对于a*，可采用aai。故状态反馈增益矩阵K可由下式确定：K = a *一 a a *一 a a *一 a P-1332211或K = aa3 一 a3 aa2 一 a2 aa1 - a1 * (inv(P)采用

15、变换矩阵P求解该例题的MATLAB程序如MATLABProgram 所示。MATLAB_Program%Pole placement%*Determinaton of state feedback gain matrix K byues of%*Enter matrices A and B*A=0 1 0;0 0 1;-1 -5 -6;B=0；0；1；%* Define the controllability matrix q*Q=B A*B Aa2*B;%*Check the rank of matrix Q*rank(Q)ans=%*Since the rank of Q is 3, ar

16、bitrary pole placement is% possible *%*Obtain the coefficients of the characteristic polynomial%|sI-A|. This can be done by entering statement poly(A)*JA=poly(A)JA= a1=JA(2);a2=JA(3);a3=JA(4);%*Define matrices W and P as follows*W=a2 a1 1;a110;10 0;P=Q*W;%*Obtain the desiredchracteristic polynomial

17、bydefining%the followingmatrix Jand entering statementpoly(J)*J=-2+j*400;0-2-j*40;00-10;JJ=poly(J)JJ=aa1=JJ(2);aa2=JJ(3);aa3=JJ(4);%*State feedback gain matrix K can be given byK=aa3-a3 aa2-a2 aa1-a1*(inv(P)K=199558%*Hence, k1,k2,and k3 are given by *k1=K(1),k2=K(2),k3=K(3)k1=如果采用爱克曼公式来确定状态反馈增益矩阵K,必

18、须 首先计算矩阵特征方程6(A)。对于该系统e (A) = A3 + a*A2 + a*A + a*I在MATLAB中，利用Polyvalm可计算矩阵多项式6 (A)。对于给定的矩阵J,如前所示，poly(J)可计算特征多 项式的系数。对于-010 -A =00 1_-1 -5 -6_利用MATLAB命令Polyvalm(PolyU), A),可计算下列199 55 84 (A) = A3 +14A2 + 60A + 2001 = - 8 159 7 TOC o 1-5 h z -7 -43117实际上，Polyvalm(poly(J), A) ans= HYPERLINK l bookmar

19、k108 o Current Document 199 558-81597-7-43 117利用爱克曼公式，MATLAB Program将求出状态反馈增益矩阵K。MATLAB Program%Pole placement%*Determination of state feedback gain matrix K byuse of%Ackermanns formula*%*Enter matrices A and B*A=010;00 1; -1 -5 -6;B=0；0；1；%*Define the controllability matrix Q*Q=B A*B AA2*B;%*Check

20、the rank of matrix Q*rank(Q)ans=%*Since the rank of Q is 3, arbitrary pole placement is %possible* %*Obtain the desired characteristic polynomial by defining %the following matrix J and entering statement poly(J)*J=-2+j*400;0-2-j*40;0 0 -10;Poly(J) ans=11460200 %*Compute the characteristic polynomia

21、l %Phi=polyvalm(poly(J),A)*Phi=polyvalm(poly(J),A);%*State feedback gain matrix K can be given by*K=0 0 1*(inv(Q)*PhiK=199 55 8 %*Hence, k1,k2,and k3 are given by* k1=k(1),k2=k(2),k3=k (3) k1=199 k2=利用极点配置法设计调节器型系统=i考虑如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。图倒立摆系统希望在有干扰（如作用于质量m上的阵风施加于小车 的这类外力）

22、时，保持摆垂直。当以合适的控制力施加于 小车时，可将该倾斜的摆返回到垂直位置，且在每一控制 过程结束时，小车都将返回到参考位置X = 0。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干 扰引起）时，用合理的阻尼（如对主导闭环极点有z二）， 可快速地（如调整时间约为2秒）使摆返回至垂直位置， 并使小车返回至参考位置（X = 0）。假设M、m和/的值 为M = 2千克， m 二千克，/ =米进一步设摆的质量集中在杆的顶端，且杆是无质量的。对于给定的角度。和（/或）角速度碎的初始条件，设 计一个使倒立摆保持在垂直位置的控制系统。此外，还要 求控制系统在每一控制过程结束时，小车返回到参考位 置。该系统

23、对初始条件的干扰有效地做出响应（所期望的 角气总为零，并且期望的小车的位置总在参考位置上。 因此，该系统是一个调节器系统）。这里，我们采用极点配置的状态反馈控制方法来设计控制器。如前所述，对任意极点配置的充要条件为系统状 态完全能控。设计的第一步是推导倒立摆系统的数学模型。心-PH数学建模我们首先推导了如下图所示的倒立摆系统的数学模型。（熟时图 （a）倒立摆系统（b）隔体受力图结论：当角度。不大时，描述系统动态特性的方程可以写 为(M + m)险 ml= u(l + ml 2 )6A- mlX mgl。式中，I是摆杆围绕其重心的转动惯量。推导过程：考虑上图（b）的隔体受力图，摆干绕其中心 的转

24、动运动可以用下式描述I甦 Vl sin0- Hl cos0摆干的水平运动可以写为m 土 (x +1 sine ) = Hdt2摆干的垂直运动为m acose ) = V-mg小车的水平运动为MdX = u - H（）咨很小时，上述四个运动方程可以分别线性化为I西 VlQ- Hl0 = V- mgM=u-H将和两边相加得：由和可得/8隆 mglQIQ)整理得(/ + 诚 2 渺降 mZ/Sfc mglQ这样，我们就得到了倒立摆的运动方程。我们在来研充图的倒立摆系统。由于该系统的质量集中在 杆的顶端，所以重心就是摆球的中心。在分析中，假设摆 围绕其重心的转动惯量为零，即1=0。那么，其数学模型 为

25、(M + 机)岛 mb = u初娘=mglQ式()和足义了如图所示的倒立摆系统的数学模型(只要。不大，线性化方程就是有效的）。式（）和（）可改写为Ml维（M + m） gB - uMSp u - mg。式（）可由式（）和消去档得到。式（）可由式（）和S（）消去。8得到。从式（）可得系统的传递函数为 （s） _1-U （s） Mls 2 （M + m） g代入给定的数值，且注意到g =米/秒2，可得 （S） _1_1-U （s） s 2 - 20.601 s 2 （4.539）2显然，该倒立摆系统在负实轴上有一个极点（s二）， 另一个极点在正实轴上（s =），因此，该系统是开环不 稳定的。定义状

26、态变量为X =01X =02X = Xx = Xc4注意，。表示摆杆围绕点P的旋转角，X表示小车的位置，将。和X作为系统的输出，即y =一 y1 一=、一=一 X -1y2XX3又由于。和X均是易于量测的量。由状态变量的定义和式（）和（），可得X = %2 o M + m 1X感=%m1咯=_MgXMU以向量-矩阵方程的形式表示，可得一 0100 一X1 M + m000 x1X2ml gx 20m001x3x 4-Mg000+Ml01Xx12X3X4式（）和（）给出了该倒立摆系统的状态空间表达式（注 意，该系统的状态空间表达式不是唯一的，存在无穷多个这样的表达式）。代入给定的M、m和/的值，

27、可得 TOC o 1-5 h z M + mm1.1g = 20.601, g = 0.4905,= 1,= 0.5MlMMl M于是，式（）和（）可重写为式中X= Ax + Bu y = Cx01000 一20.601000,B=-100010_- 0.4905000 _0.5_A =,C =采用下列线性状态反馈控制方案u = - Kx10 0 000 10为此首先检验该系统是否状态完全能控。由于Q = B M!B M! 2 B M 3 B =0-10- 20.601-10-20.601 000.500.49050.500.4905 0的秩为4,所以系统是状态完全能控的。系统的特征方程为s

28、-1I sI 一 A1=-20.601000.4905 00ss000-1s=s4 - 20.601s2=s + a s 3 + a s 2 + a s + a = 041234因此a = 0, a = 20.601, a = 0, a = 0其次，选择期望的闭环极点位置。由于要求系统具有相当短的调整时间（约2秒）和合适的阻尼（在标准的 二阶系统中等价于& =），所以我们选择期望的闭环极点为s =、（/ =1,2,3,4），其中口 =2+j23 p =2j2、，3, 口 =10, 口 =10在这种情况下，七，和U2是一对具有&二和3 = 4 的主导闭环极点。剩余的两个极点七和七位于远离主导 闭

29、环极点对的左边。因此，七和七响应的影响很小。所 以，可满足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程为 TOC o 1-5 h z （s 一日）（s 一日）（s 一日）（s 一日）=（s + 2 - j2p3）（s + 2 + j2% 3）（s +10）（s +10） 1234=（s 2 + 4 s +16）（ s 2 + 20 s +100）=s 4 + 24 s 3 +196 s 2 + 720s +1600=s 4 + a * s 3 + a * s 2 + a * s + a * = 01234因此a * = 24, a * = 196, a * = 720, a * = 16001234现采

30、用式（）来确定状态反馈增益矩阵K,即K = a* a Ma* a Ma* a M* a P -144332211式中P由式（）得到，即P = QW这里Q和W分别由式（）和得出。于是一0-1 0-20.601一Q = B MAB Ml2B MbB = 一 1 0 一 20.601000.5 00.4905a a a 1一 0- 20.601 0 1一321a a 10-20.6040 1021=a 100010 01_10 00_10 0 0_w =变换矩阵P成为P = QW =00-9.81-1 00-10 0.5 00- 9.81 0 0.5因此0.501-09.819.810.510-0-

31、9.819.81-10000-100P -1 =故状态反馈增益矩阵K为K= a* - a M* - a M* - a M* - a P_i44332211= 1600-0 720-0 196+20.601 24-0p-一 0.59.810-9.8102400.59.810-_L9.81-1000_0-100_=1600 720 21660=-298.1504-60.6972 -163.0989 - 73.3945反馈控制输入为u = - Kx = 298.1504x + 60.6972x + 163.0989x + 73.3945x1234注意，这是一个调节器系统。期望的角。d总为零，且期望的

32、小车的位置xd也总为零。因此，参考输入为零（将在节考虑有参考输入时，对应的小车的运动问题）。图为用于倒立摆系统的状态反馈控制结构图（因为该系统中的参考输入总为零，所以在图中没有画出）。图具有线性状态反馈控制的倒立摆系统利用MATLAB确定状态反馈增益矩阵Ki=iMATLAB Program是一种能求出所需状态反馈增益矩阵K的MATLAB程序。MATLAB Program%Design of an inverted pendulumcontrol system%*This program determines the state-feedback gain%matrix K = k1,k2 k3

33、 k4 by use ofAckermanns%formula*%*Enter matrices A,B,C,andA=010 0;0 0 0;00 0 0;0 0 0;B=0;-1;0;C=1000;0010;D=0;0;%*Define the controllability matrix M and check its rank*Q=B A*B AA2*B AA3*B;rank(Q)ans=4%*Since the rank of Q is 4, the system is completely%state controllable. Hence,arbitrary pole place

34、ment is%possible*%*Enter the desired characteristicpolynomial,which$can be obtained defining the followingmatrix J and%entering statement poly(J)* TOC o 1-5 h z J=-2+2*sqrt(3)*i000;0-2-2*sprt(3)*i 00;00-100;000-10JJ=poly(J)JJ=+003*%*Enter characteristic polynomialPhi=polyvalm(poly(J),A);%*State feed

35、back gain matrix K can be determined%from*K=0 0 0 1*(inv(Q)*PhiK=所得系统对初始条件的响应当状态反馈增益矩阵确定后，系统的性能就可由计算 机仿真来检验。为了求得对任意初始条件的响应，可按下 列步骤进行：系统的基本方程为状态方程Ax + Bu和线性反馈控制律vi 将上述控制输入代入状态方程，可得&=(A-BK)x将有关数据代入上式，即&1&23&401-27754940014858470-60.697200-1630989 -73.3945130.348681.5494366972x1X2X下面我们用MATLAB来求所设计的系统对初

36、始条件的响应。系统的状态方程为式)。假设初始条件为式中将式（）重写为-277.5494(0)(0)2X (0)x：(0)1.0000-60.69720.1000-163.0989 -73.39451.0000148.584730.3486 81.5494 36.6972a将初始条件向量定乂为8,即0人 0B= 00则系统对初始条件的响应可通过求解下列方程得到（见随 后的补充部分），即A= A z + B uA . Ax = Cz + Du式中.八AAC = A, D = B补充：考虑如下定义的系统j&= Ax ，x(0) = x当初始条件给定时，我们求其响应x(t)。首先，我们对两边进行拉普拉

37、斯变换得sX (s)x(0) = AX (s)进一步的，得sX (s) = AX (s) + X (00)再取拉普拉斯反变换，得x= Ax+x(0)s (t)于是我们得到了一个包含初始条件的微分方程。现在定义z= x于是Z At x(0)6 (t)两边积分得料 Az + x(0)1(t) = Az + Bu其中B = x(0)，u = 1(t)。而x = Z= Az + Bu因此，通过求解& Az + Bux = Az + Bu即可得到X= Ax，初始条件为x(0) = x0的响应。MATLAB Program 将求出由式()定义的系统对由式() 指定的初始条件的响应。注意，在给出的MATLA

38、B程序中, 使用下了列符号：A = AA, B = BB, C = AA, D = BBMATLAB Program%Response to intial condition%*This program obtains the response of the system %xdot=(Ahat)x to the given initial condition x(0)*%*Enter matricesA,B,and K to produce matrix AA %=Ahat* TOC o 1-5 h z A= 0100;000;0001;B=0;-1;0;K=;AA=A-B*K;%*Enter the initial condition matrixBB=Bhat*BB=;0;0;0;x,z,t=step(AA,BB,AA,BB);x1=1 0 0 0*x；x2=0 1 0 0*x；x3=0 0 1 0*x；x4=0 0 0 1*x；%*Plot response curves x1 versus t,x2 versus t,x3 versus t, %and x4 versus t on one diagram*title(x1(Theta) versus t)xlab