工程控制基础：线性系统的频域分析

1、第五章 线性系统的频域分析 频率特性法（1）第五章 频率响应法频率响应（又称频率特性） 是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的一种工程求解方法。 能间接揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响。 可以由实验确定，有利于难以建立动态模型的系统。5.1.1 线性定常系统对正弦输入信号的响应 频率响应是控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应，是时间响应的特例。 一个稳定的线性定常系统，若输入正弦信号，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。51 频率特性示例：一阶RC网络，ui(t)与u0(t)分别为

2、输入与输出信号，其传递函数为 RCui(t)u0(t)i(t)G(s)= 其中T=RC，为电路的时间常数，单位为s(秒）。 51 频率特性 在零初始条件下，当输入信号为正弦信号时，即 ui(t)=UisintUi与分别为输入信号的振幅与角频率，运用时域法求电路的输出。 输出的拉氏变换为：U0(s)=对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式51 频率特性第一项是瞬态响应分量，呈指数衰减形式，当t时，衰减为0。衰减速度由时间常数T决定。第二项是稳态响应分量，当t时，电路的稳态输出为正弦信号。 51 频率特性输出信号与输入信号是同频率的正弦函数，幅值与相位与输入不同，输出滞后于输入。当t时，电路的稳

3、态输出： 51 频率特性输出与输入相位差 = -arctanT A与者仅与输入频率，以及系统的结构与参数有关。输出与输入幅值比51 频率特性L一般地，对于稳定的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号r(t)=Uisint 时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为 css(t)=Uosin(t+)Uisint线 性定常系统Uosin(t+)tr(t)css(t)51 频率特性设线性定常系统的传递函数 则输出设输入r(t)=Asint，其拉氏变换51 频率特性 假定Q(s)具有不相等的根，则输出 式中 系统的输出响应51 频率特性第一项是系统的瞬态响应，对于稳定系统其随时间的增加趋于0后两项是

4、系统的稳态响应，51 频率特性设又则51 频率特性由此可知：（1）线性定常系统对正弦输入信号的稳态输出响应与输入是同频率的正弦信号。 （2）输出与输入信号幅值之比 相移， 都是角频率的函数。51 频率特性（3）对所有角频率（ 0），系统的输出与输入的对应关系可用系统的稳态输出与输入之比随变化的一条曲线描述，这就是系统的频率特性。 频率特性只与系统的结构、参数有关，与其他因素无关。51 频率特性 线性定常系统的频率特性定义为：系统输入正弦信号时，系统的稳态输出信号与输入信号之比，即将传递函数中的s用j代替，便得到系统的频率特性。频率特性是复变函数，可以用幅值和相角表示。5.1.2 系统的频率特性

5、频率特性是复变函数，可以用幅值和相角表示，也可以用实部与虚部表示,5.1.2 系统的频率特性其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性。其实部与虚部分别为实频特性、虚频特性。两种表示之间的关系： 5.1.2 系统的频率特性G(j)是角频率的函数，当变化时， G(j)向量端点轨迹是一条曲线，故频率特性可以用频率特性图表示。常用的频率特性图有三种：(1)极坐标图，也称奈奎斯特（Nyquist)图，简称奈氏图。(2)对数频率特性图，也称波德（Bode)图。(3)对数幅相特性图，也称尼科尔斯（Nichols)图。5.1.2 系统的频率特性1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型 描述了系统的内在特性，与

6、外界因素无关。当系统结构参数给定，则频率特性也完全确定。2、频率特性是一种稳态响应 系统动态过程的稳态分量可以分离出来，因此可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。5.1.3 频率特性的性质3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率 当频率改变，输出与输入的幅值之比|G(j)|和相位移()随之改变,这是系统中的储能元件引起的。4、实际系统的输出量都随频率的升高而衰减 可以将它们看成为一个“低通”滤波器。5、频率特性可应用到某些非线性系统的分析中5.1.3 频率特性的性质 频率特性的求取方法：1、根据定义求取 对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量

7、与输入正弦量的复数比即可得到。2、根据传递函数求取。 即用s=j代入系统的传递函数，即可得到。3、通过实验的方法直接测得。5.1.3 频率特性的性质根据传递函数求取频率特性,设传递函数:频率特性: （s=j）5.1.3 频率特性的性质线性系统的频域分析 频率特性法（2）频率特性的三种图示法1、极坐标图 Nyquist图（简称奈氏图）。 2、对数频率特性图Bode图（简称伯德图）3、对数幅相特性图Nichocls图（简称尼氏图）。52 频率特性图5.2.1 极坐标图 当从0时，向量G(j)端点在极坐标平面上的轨迹，也称G(j)的奈氏曲线图。通常画在复平面上。例51 画出惯性环节频率特性奈氏图。

8、52 频率特性图解：其中 52 频率特性图逐点计算52 频率特性图0时是第四象限的半圆，圆心（1/2，0）半径1/2。0时是第一象限的半圆。1.比例环节 G(s)=K ，G(j)=K 比例环节的奈氏曲线是复平面实轴上的一个点，它到原点的距离为K。5.2.2 典型环节的奈氏图5.2.2 典型环节的奈氏图2. 微分环节 理想微分环节 G(s)=s， G(j)=j 理想微分环节的奈氏曲线是一条与虚轴正段相重合的直线。 5.2.2 典型环节的奈氏图一阶微分环节G(s)=Ts+1，G(j)=jT+1 一阶微分环节的奈氏曲线是一条通过（1，j0)点，并与虚轴平行的直线。0时，处于（1，j0)点，随着 ，轨

9、迹沿着直线向上移动。5.2.2 典型环节的奈氏图 二阶微分环节 G(s)=T2s2+2Ts+1 G(j)= -T22+j2T+1 =(1-T22)+j2T 二阶微分环节的奈氏曲线可通过逐点计算得到。5.2.2 典型环节的奈氏图3. 积分环节相角= - 90是常数。而幅值随增大而减小。因此，积分环节是一条与虚轴负段相重合的直线。 4. 振荡环节 5.2.2 典型环节的奈氏图 奈氏曲线相位从0到180变化，频率特性与虚轴交点处的频率是无阻尼自然振荡频率n (1/T) ，越小，对应的幅值越大。说明频率特性与、均有关。5.2.2 典型环节的奈氏图5. 延迟环节 延迟环节的幅频特性是与无关的常量，其值为

10、1。而相频特性则与成线性变化。故其极坐标图是一个单位圆 。5.2.2 典型环节的奈氏图例52 绘制奈氏图。 解：其实部和虚部分别为 特殊点的计算5.2.2 典型环节的奈氏图例525.2.2 典型环节的奈氏图 工程上不需要准确画出整条奈氏曲线，只要知道曲线的走向和主要特征，对曲线的关键部分进行准确计算即可。 系统的奈氏曲线与传递函数有一定的关系，绘制系统奈氏曲线的一些规律概括如下：5.2.2 典型环节的奈氏图（1）奈氏曲线的起点（0）决定于系统的类型及系统的增益K,即 例51 v=0,故|G(j0)|=K,(0)=0例52 v=1,故|G(j0)|=,(0)=-905.2.2 典型环节的奈氏图（

11、2）奈氏曲线的终点（）,对极点数n零点数m的系统有 例51 n=1,m=0,故|G(j)|=0,()=-90,例52 n=2,m=0,故|G(j)|=0,()=-1805.2.2 典型环节的奈氏图例53 绘制下列系统奈氏草图。 5.2.2 典型环节的奈氏图结论： () 0 型系统（N=0）：极坐标图起始于正实轴上的有限点，终止于原点。 () 1 型系统（N=1）：由于存在一个积分环节，所以低频时，极坐标图是一条渐近于和虚轴平行的直线。当=时，幅值为零，曲线收敛于原点并且与某坐标轴相切。 (3) 2 型系统（N=2）：低频处，极坐标图是一条渐近于负实轴的直线 。在=处幅值为零，且曲线相切于某坐标

12、轴。作业A5-2 （1）（7）A5-8 （1）（7）线性系统的频域分析 频率特性法（3） 伯德图将系统的对数幅频特性、对数相频特性分别画在各自的坐标系中。1.对数幅频特性图： 纵坐标：幅值的对数20lg|G(j)|(dB），采用线性分度； 横坐标：角频率(rad/s),用频率的对数lg分度。 5.2.3 对数频率特性图（伯德图） 2.对数相频特性图 纵坐标：频率特性的相移() () ，采用线性分度； 横坐标：角频率(rad/s),用频率的对数lg分度。 半对数坐标 5.2.3 对数频率特性图（伯德图） 5.2.3 对数频率特性图（伯德图） 伯德图的优点:1.绘图方便. 幅值采用对数将乘除法转换

13、为加减法,还可用渐近线来近似曲线的作图方法,便于工程应用.2.分析方便. 实际控制系统多半是低通滤波器,低频段很重要,半对数坐标可扩展低频段,有利于系统的分析与设计.5.2.3 对数频率特性图（伯德图） 系统的传递函数：其频率特性:5.2.3 对数频率特性图（伯德图） 对数幅频特性对数相频特性 系统的对数幅频特性、相频特性分别是一些典型环节对数幅频特性、相频特性的代数和,只要将这些典型环节对数幅频特性、相频特性叠加,便可得到系统的对数幅频特性、相频特性。5.2.3 对数频率特性图（伯德图） 典型环节归纳为四类基本因子：常数增益K在原点的极点(或零点) (j)1实极点(或零点) (j+1)1复极

14、点(或零点) (j/n )2+2(j/n ) +115.2.3 对数频率特性图（伯德图） 1. 常数增益的伯德图 G(j)=K 对数幅频特性L()=20lgK相频特性()=0 对数幅频特性：为20lgK分贝，平行于横轴， K1时，20lgK0dB；K1时，20lgK0dB。相频特性：横轴重合， K是负值时,相角()= =-180 5.2.4 基本因子的伯德图 2.在原点的极点(或零点) (j)1的伯德图 积分环节当=1时当=10时 每增加10倍，L()则衰减20dB，记为：20dB/十倍频程，或-20dB/dec。或直接写成-20。 说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴上=1这一点，且斜率

15、为-20dB/dec的直线。 相频特性()=-90与无关，是平行于横轴的直线。若在原点有多重极点 (j)-v 在原点的零点即纯微分环节 微分环节是积分环节的倒数，它们的曲线斜率和相位也正好相差一个负号。若在原点有多重零点 (j)v 3.实极点(或零点) (j+1) 1的伯德图 实极点即惯性环节 其对数幅频特性 在 时（低频段）： 近似地认为，惯性环节在低频段的对数幅频特性是与横轴相重合的直线。 在 时（高频段）： 幅频特性： 是一条经过横轴 ，斜率为:20dB/dec 的直线。 综上所述：惯性环节的对数幅频特性可以用相交于（1/T，0）的两条渐近直线来近似表示： 当 时，是一条0分贝的直线；

16、当 时，是一条斜率为-20dB/dec的直线 两条渐近线相交处的角频率 称为 转角角频率。用两条渐近线近似惯性环节的对数幅频特性,最大误差出现在转角角频率处,惯性环节的相频特性当 时， ，当 时， ；当 时， 。 惯性环节具有低通特性，对低频输入能精确地复现，而对高频输入要衰减，且产生相位迟后。因此，它只能复现定常或缓慢变化的信号。 实零点即一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性（1+jT）与惯性环节的频率特性互为倒数关系，因此其对数幅频曲线、相频曲线惯性环节相比仅差一负号。即 一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec，其相位变化范围由 0（=0）经 45至 90（=）4.复极点(或零点

17、)(j/n)2+2(j/n)+11复极点即振荡环节令u=/n对数幅频特性对数相频特性低频段，即u1时 即高频渐近线是一条斜率为-40dB/dec的直线。当 时:说明 为二阶系统 (振荡环节) 的转角角频率。 渐进线与实际曲线的误差与阻尼比有关，当0.707时必须考虑对L()的影响，对转角角频率=n附近的L()曲线进行修正。当频率接近 =n时，将产生谐振峰。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。相角是和的函数。当 时， ；当 时，不管值的大小， 当 时， 。相频曲线对-90的弯曲点是斜对称的。 振荡环节的对数幅频特性在转折频率 附近产生谐振峰值 Mr可通过计算得到振荡环节的幅频 特性为其中 ：当出现

18、谐振峰值时， 有最大值，即 有最小值。得 解得说明:r与 有关,当0.707时,没有谐振峰.将 代入 ，求得 。 因此，在=r 处 具有最小值，亦即 具有最大值。将 代入幅频特性 中，得谐振峰值Mr为 谐振频率r及谐振峰值Mr都与有关。越小, r越接近n, Mr将越大。当0.707时，不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。当=0.707时，r=0，Mr=1。当0，Mr1。当0 时，rn，Mr。 复零点即二阶微分环节 频率特性 对数幅频特性 相频特性 即二阶微分环节的幅频和相频特性分别与振荡环节的相应特性是关于横轴对称。此时，其对数幅频特性的高频渐近线的斜率为 +40dB/dec，而相频由 0（对应

19、=0）经 90（= n=1/T） ，最后趋于 180（）。 0.20.30.7 5延迟环节 对数幅频特性 相频特性 绘制伯德图的基本步骤： 把系统的频率特性改写成各典型环节的乘积形式，画出每一个环节的对数幅频和相频曲线，然后进行同频率叠加，即得到该系统的伯德图。 例： 常数增益K=10,原点一个极点，实极点1=1/T=105.2.5 控制系统的伯德图 例5-4 绘制下列系统的伯德图解：系统的频率特性系统包含的基本因子 常数增益K=25 一个积分因子1/j 两个实极点因子1=4, 2=0.1 一个实零点因子3=1(1)L()的低频段由常数增益和积分因子的对数幅频特性组成.常数增益:L()=20l

20、g25=28dB积分因子: L()=-20lg,过(1,0),斜率-20的直线叠加后为:过(1,28),斜率-20的直线(2)在实零点(或极点)基本因子的转角角频率处, L()的斜率在原基础上增加(或减小)20dB/dec,而在复零点(或极点)的转角角频率处, L()的斜率在原基础上增加(或减小)40dB/dec.两个实极点的转角角频率0.1和4,一个实零点的转角角频率1(3)画出对数幅频特性L()的曲线(4)相频特性曲线是所有基本因子相频特性曲线的代数和积分因子: ()=-90(10j+1)-1, (j+1), (0.25j+1)-1,的相频特性曲线分别是1,2,3四条曲线叠加后得到系统的相

21、频特性曲线四条曲线叠加后的曲线,加粗实线表示例5-5 绘制下列系统的对数幅频特性曲线解：系统包含的基本因子 常数增益K=10 一个积分因子1/j 一个实极点因子1=1 一个实零点因子2=2 复极点n=10,=0.25复极点=0.25,有谐振峰值,需要对曲线修正画出对数幅频特性L()的曲线系统中两个常用术语(1)增益剪切角频率c: 系统对数幅频特性穿越0dB的角频率,即 L()=0 时的角频率;(2)相位剪切角频率g:系统的相频特性曲线穿越-180的角频率,即()= -180时的角频率;5.2.6 最小相位系统和非最小相位系统 定义： 在系统的传递函数中，没有位于S右半平面的零点和极点，且没有纯

22、时间延迟环节的系统为最小相位系统，反之为非最小相位系统。 从伯德图上看，最小相位系统为具有相同幅频特性的许多系统中其相移范围为最小的稳定系统。 5.2.6 最小相位系统和非最小相位系统 最小相位系统的特征： (1) 在nm且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范围最小。 这里n和m分别表示传递函数分母和分子多项式的阶次。例：两个系统的开环传递函数分别为（T1T2）它们的对数幅频和相频特性为显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由图可见， 的变化范围要比 大得多。 最小相位系统 非最小相位系统 (2)当=时，其相角等于-90( n-m ) ，对数幅频特性曲线的斜率为20(nm)d

23、B/dec。 可用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。 (3)对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。对于一个最小相位系统，若已知其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。即：只要根据其幅频特性，就能写出此最小相位系统的传递函数，而无需再画出相频特性。 非最小相位系统高频时相角滞后大，起动性能差，响应缓慢。在系统设计时除了被控对象中可能包含之外，一般不人为引入非最小相位元件。作业A5-1 （1）（2）A5-7 （1）（2）5.3 频域中的稳定性判据 （ Nyquist稳定性判据）5.3.1 引言基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。系统的开环传递函数则闭环系统的特征式5.3.

24、1 引言系统的开环传递函数则闭环系统的特征式(1) F(s)是n阶有理分式,且零点数和极点数相同;(2) F(s)的零点就是闭环系统的极点;(3) F(s)的极点就是系统开环极点.5.3.2 幅角原理1.映射 复数s s平面 s=+j. F(s) F(s) 复平面 F(s)= u+jv.在s平面上除了F(s)零点和极点外的任意点si ，经过复变函数F(s)的映射，均可在F(s)平面上可以找到对应的点F(si) 。所以复变函数F(s)就是从s平面到F(s)平面的映射，这种映射是一一对应的.例如函数 若si = 2, 则F(s)=4/3;若si = -j,则F(s)=1- j 在s平面上取一闭合路

25、径s ,它不经过F(s)的零点和极点, F(s)在s内零点数为Z,极点数为P, s按顺时针方向沿s绕一圈，则在F(s)平面上与之对应的闭合回路F按顺时针方向围绕原点的圈数为: N=Z-P 若N0,即ZP,则F与s移动方向一致; 若N=0,即Z=P,则F 不包围原点; 若N0,即Z P,则F与s移动方向相反. 2. 幅角原理柯西定理证明:式中 当s沿s绕行时, 将随之变化. 1)若F(s)的零点或极点在s之外, s沿s绕行一圈时,相角变化皆为0.2)若F(s)的零点(如Z1 )在s之内, s沿s绕行一圈时,相角变化为-2.3)若F(s)的极点在s之内时, s沿s绕行一圈时,相角变化为2. 结论：

26、若F(s)在s中有Z个零点和P个极点，则当s沿s顺时针方向旋转一圈时， F(s)相角的变化：F(s)相角变化-2相当于 F 顺时针包围F(s)平面原点一圈,所以上式可写为 N=Z-P . 若 F(s)=1+G(s)H(s)- 系统特征方程 闭合路径s取 - S 右半平面（奈氏路径） 闭环系统稳定的充分必要条件是什么? （Z0 即：N=-P） 负号表示沿逆时针方向包围F(s)平面原点N圈 若P=0, 系统稳定的充分必要条件是N=05.3.3 奈魁斯特稳定判据1奈氏路径 顺时针方向包围整个s右半面。当F(s)有若干个极点处于s平面虚轴上时，则以这些点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧

27、绕过这些点。 2. 奈氏判据 设： 闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。(1) 1G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平面上绘制的F(s)曲线F顺时针方向绕原点的圈数 N 则为F(s)在s右半平面内零点个数 Z 与极点个数 P 之差： N= Z - P 当 Z=0 时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。 （2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析-奈氏判据 因1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 相差1，则系统稳定性可表述为： 闭环系统稳定的充要条件是：s沿奈氏路径

28、绕一圈，G(s)H(s)曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈。 即:N=-P （Z0） PG(s)H(s)位于s右半平面的极点数 a. 若P=0，且 N=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系统稳定；(最小相位系统P=0) 闭环系统稳定的充要条件是：s沿奈氏路径绕一圈，G(s)H(s)曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈。 即:N=-P （Z0） b. 若P0，且N=-P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P 圈，则闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PNc. 若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点分布在s平面的虚轴上

29、。 例: 一系统开环传递函数为： 试判别系统的稳定性。解：本系统的开环频率特性 当 变化，画出系统的奈氏曲线。 一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。 奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=-1。 根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P+N=1-1=0 ,所以系统稳定。 3. s平面原点有F（S）极点时的奈氏路径 s=-j0+j0时，以原点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过原点。 令 , 0 当s从-j0+j0时，从-90+90 结论: 当s从-j0+j0时，G(s)H(s)的奈氏曲线以半径为无穷大，顺时针转过 。所以， 从 变到 。 s的奈氏

30、曲线令: 因为R ， 则有 对n-m0的系统，就趋向于零。 从(nm)90变到 +(nm)90。 结论: 当 s 沿奈氏路径从+j到 -j时，对nm的系统，G(s)H(s)的奈氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转过（n - m）。4.奈氏判据应用举例例5-9 判断闭环系统的 稳定性 ：解 ：1型二阶系统 ，v=1, 先作+j0+j时的奈氏曲线。再根据对称性，作出-j0 -j时的奈氏曲线。s从-j0 +j0时补180顺时针半径无穷大的虚圆弧.奈氏曲线不包围(-1,j0)点,即N=0,而P=0,故系统稳定.例5-10 试判断闭环系统的稳定性 ：解 ： 1型二阶系统 ，v=1, 先作+j0到+j时的奈

31、氏曲线。再根据对称性，作出-j0到-j时的奈氏曲线。s从-j0 +j0时补180顺时针半径无穷大的虚圆弧.奈氏曲线包围(-1,j0)点,即N=1,而P=0,故系统不稳定.例5-11: 分析如下系统的稳定性。开环传递函数解：是最小相位系统,曲线于实轴交点 ,K取值不同时,奈氏曲线不同。(a) :曲线不包围（-1，j0）点，系统稳定。(b) :曲线通过（-1，j0）点，系统临界稳定。 (c) :曲线包围（-1，j0）点，系统不稳定。 5.判断N的简易方法 （1）正、负穿越的概念G(j)H(j)奈氏曲线对称实轴。应用中只画 部分。所谓 “穿越” 是指 轨迹穿过 段。正穿越：从下而上穿过该段一次（相角

32、减少），用N+ 表示。负穿越：由上而下穿过该段一次（相角增加），用N- 表示。 正穿越 负穿越 若G(j)H(j)轨迹起始或终止于 (-1, j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿越。 如果G(j)H(j)按顺时针方向绕(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按逆时针方向包围点 (-1, j0) 一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(j)H(j)包围的圈数。 N=2(N+-N-) 注意：这里对应的变化范围 。 例:已知某系统G(j)H(j)轨迹，有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。 解：系统有2个开环极点分布在s的右半平

33、面（P=2），G(j)H(j)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有1次正穿越， 2次负穿越， 求得：Z=P+N=2-2=0 所以系统是稳定系统。 例: 已知两系统s= +j0 j时的奈氏曲线，分析稳定性。 解: (a) N= 2(N+-N)=2(1-0)= 2，且 P =0，所以 Z=P+N=2 系统不稳定。 (b) K1时，N= 2(N+-N-)=2(1/2-1)= -1，且 P=1，所以 Z=P+N=0，闭环系统稳定； K1, N= 2(N+ - N)=2(2-1)=2，且 P=1，所以 Z=P+N=3 系统不稳定。若b1a, N= 2(N+ - N)=2(1-1)=0，且 P=1，所以

34、 Z=P+N=1 系统不稳定。若a1, N= 2(N+ - N)=2(1-0)= 2，且 P=1，所以 Z=P+N=3 系统不稳定。5.3.4 伯德图的奈氏判据 伯德图若用于最小相位系统,奈氏曲线不包围(-1,j0)点意味着()= -180时, |G(j)H(j)| -180伯德图的奈氏判据:系统稳定的充分必要条件是,剪切角频率c处的相角 (c) -180.例5-13：用伯德图判别系统的稳定性. -1, -2, -4 分别表示 L()的斜率 -20dB/dec,-40dB/dec,-60dB/dec,K=100时,系统稳定。K=143时,系统临界稳定.K143时,系统不稳定.5.4 系统动态性能的频域分析与频域指标5.4 系统动态性能的频域分析与频域指标5.4.1 系统的相对稳定性 在稳定的系统中,特征根离虚轴越远,其瞬态过程越短,振荡越小,系统越稳定,即系统的相对稳定性越好.用系统开环频率特性G(j)H(j)与GH平面上与（-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的相对稳定性。G(j)H(j)离开（-