2021量子力学考研与量子力学考点复习笔记

1、2021量子力学考研与量子力学考点复习笔考研真题与解题的思路43试求屏蔽库仑场-；*的微分散射截面。浙江大学2014研【解题的思路】对于屏蔽库仑场，可以直接使用玻恩近似计算微分散射截面。【解答】由玻恩近似可得微分散射截面为箫岸严枫姦対*Jsin(X?)drK疋+/AnTO1【知识储备】玻恩近似法适用条件V高能散射）微分散射截面JrUp)sJii(A)dr其中U(r)为粒子和散射中心相互作用的势能,K=kf-k,kk分别为粒召子散射前后的波矢，并且二二3是散射角。【拓展发散】对于本题所给信息,也可以用分波法计算，并将计算结果与玻恩近似的结果比较。44设算符A和B不对易，二三广匚，但A和B都与C对

2、易，即二匸，(1)_.：.匚广-口-,n为正整数;(2)厦门大学2012研【解题的思路】根据所给条件，利用对易恒等式关系，推导出递推关系，即可得证。【解答】(1)因为a:b=c所以十脚旷二亡=CSnl十目（町4严訂十眞B旷丄）=CBnl+巩町扈护-+匚訂）二CB+BC1+B2A:B+方*4“(2)【知识储备】e指数函数的展开式对易式中满足的基本恒等式A,B+C二A,B+A,CA,BC二BA,C+A,BCAB,C=AB,C+A,CBA,B,C+B,C,A+C,A,B二045粒子被束缚在半径为r的圆周上运动。（1）设立路障进一步限制粒子在-二的一段圆弧上运动，即求解粒子的能量本征值和本征函数。（2

3、）设粒子处于情形（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少？南京大学2002研【解题的思路】分析题意，这是不随时间改变的势场，所以可以直接使用定态薛定谔方程和波函数性质求解能量本征值和本征波函数。【解答】（1）当二二二一时，L；当二二时，粒子的转动惯量为二;，对应的哈密顿量为二由定态薛定谔方程可得即令求解得由波函数的连续性可得-=?，即上-=-，所以肖)=-Ae=2L4sin(jtJ)1=,即X-，所以2由波函数的归一化条件可得(2)当撤去路障后，粒子的本征波函数和本征能量为由本征波函数的完备性可得由傅里叶变换可得所以粒子仍然处于最低能量态的几率是知识储备】定态薛定谔方

4、程【拓展发散】改变变化方式，缓慢撤去路障，求解粒子仍然处于最低能量态的几率，并且将结果和突然撤去路障的结果比较，区别这两种情形对量子态的影响。46设算符.=，且_：1o证明：如果是的本征函数，对应的本征值为则波函数一二從也是N的本征函数，对应的本征值为,I；而J二八-也是N的本征函数，对应的本征南京大学2002研【解题的思路】利用本征方程的定义，以及升降算符的对易关系。【解答】根据题意，N的本征方程为W=。因为严兀叭=疋呷=(aa+-1)口兰=ua+aaf=必少一叱+=-1)1/=(A_1)网即波函数一二轧是N的本征函数，对应的本征值为.-1；N寧;-Nduf=d(十口)抄二应-岁十?-0),

5、所以哈密顿量为明显可知哈密顿量的本征态为I，本征值为由角动量的合成可得，三个自旋为1/2的总自旋为1/2或者3/2。所以简并度为4；简并度为4。【知识储备】土迟S在空间任意方向上的投影只能取两个数值一二，满足记S2二s(s+1)h2,则s二1/2,称s为自旋量子数。【拓展发散】三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为三二-,利用同样的对称思想可以求其本征值和简并度。48设有两个质量为m的一维全同粒子，它们之间的相互作用为亍；一匸(a(1)若粒子自旋为0,写出它们的相对运动的基态能量和波函数;(2)若粒子自旋为，写出它们的相对运动的基态及第一激发态能量和波函数。北京大学2001研【解题的思路】分

6、析两个粒子的势能形式，与谐振子势相同，之后要考虑它们是全同粒子还是非全同粒子，根据它们对波函数的对称性要求，就可以通过构造波函数坐标部分和自旋部分各自的交换对称性来最终满足总波函数的对称性要求。【解答】(1)对于两个粒子间的势场为，可以固定一个粒子，即令其中，二_：,一：二；.，.，。若粒子自旋为0,总自旋s二0,则基态能量为对应的波函数为-Pi(2)若粒子自旋为，则它们都是费米子，总波函数满足交换反对称性。基态：能量为右苛IErhe前摄(0Hu)極Mg用坚(戈oW：十善SKXH善【les-卜3agoHQHbHxb會)口冷g+SVOQHhe?)白方【十bsvoo-H(气taGJ7Jdx3H*s

7、*s百tras序*啟I(总X話只B电HE黒廿Mtr昏IHtr+F-ZIH禺|”闾阖IH忙氏AA=AsgBsfrmCN二股爲扫友0)即H-IX雄吕cfe邑畐3+El刑1HUEgH小性II去IIm只B【矍2闰H目凶H忙所以空仗)二exp(:空=+Tsiifi)crl3)7(0)cos(酚)isin(f)cos白八1-/cos(i)+iSA.n(JDf)cosBssin()sin6ecIj呂in(妙)sin臼舀wi&因此，可以从波函数得出t时刻粒子仍处于自旋向下态的几率为=|cos(tyr)cos=co5x(a)-Fsin2(co5x&【知识储备】波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U(r,

8、t)与t无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，(r)满足定态薛定谔方程此方程即是能量算符的本征方程。其中，整个定态波函数的形式为般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。自旋算符2:2.JxoL=2e(jA泡利算符。满足下列关系:【拓展发散】AAAA在oz表象中，Ox，Oy，Oz的表示矩阵分别为：勺C,&=-oTJ5T丿粒子处于磁场B中初始状态的自旋为1/2和-1/2的叠加态，如|叭0)=同-+创+)，最后可以问粒子在t时刻处在自旋为1/2或者-1/2的几率；当粒子处于磁场B

9、中初始状态的自旋为1/2，也可以问粒子在t时刻发生跃迁到自旋为-1/2的几率；类似于本题的粒子处在电磁场中的问题，也可以用来考查微扰的相关知识，比如定态非简并微扰和含时微扰，可用来解决跃迁等相关问题。1概念证明：(1)证明任意算符的平均值满足如下等式:(2)若某哈密顿量H的所有本征态非简并，并且算符f满足?，证明f和H可以同时对角化。华南理工大学2018研【解题的思路】解答】（1）因为对力学量的平均值求时间的导数，可以利用含时薛定谔方程带入计算，由此就可以得出要证明的关系式;对于两个互相对易的力学量算符，有共同的本征态。因此，m/n时，【知识储备】含时薛定谔方程力学量的平均值公式S二洌如)42设某二能级系统的能级分别为E2(E),并有对应的两个无简并定态，在初始时刻系统处于基态，而后加入微扰作用V试求以后任意时刻系统处于这两个定态的几率。南京大学2014研【解题的思路】分析题意，这是含时微扰，直接利用含时微扰理论公式带入已知条件即可求解。【解答】在二能级系统中，加入微扰，可以利用含时微扰理论得体系在微扰作用下由初态跃迁到终态态的概率幅为所以相应的跃迁几率为陷二鲁-)乜28旦笑因此，在t时刻，系统处在态的几率为系统处在态的几率