文科高考数学复习资料

1、-. z文科高考数学复习资料第一章 集合一定义集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。*些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。二集合的抽象表示形式用大写字母A，B，C表示集合；用小写字母a，b，c表示元素。三元素与集合的关系有属于，不属于关系两种。元素a属于集合A，记作；元素a不属于集合A，记作。四几种集合的命名有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R。五集合的表示方法(一)列举法：把元素一一列举在大括号的表示方法

2、，例如：a,b,c。注意：但凡以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。(二)描述法：有以下两种描述方式1代号描述：【例】方程的所有解组成的集合，可表示为*|*2-3*+2=0。*是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。2文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号。【例】大于2小于5的整数；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。(三)韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。1子集：如果属于A的所有元素都属于B，则A就叫做B的子集，记作：，如图1-1所示。 图1-1子集有两种极限情

3、况：(1)当A成为空集时，A仍为B的子集；(2)当A和B相等时，A仍为B的子集。真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且中至少有一个元素不属于A，则A叫做B的真子集，记作或。真子集也是子集，和子集的区别之处在于。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。(1)求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合，有2n个子集，有2n-1个真子集；(2)空集的考察：但凡提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，的等价形式主要有：。2交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作，读作A交B，如图1-2所示。图1-2 图1-3 图1-43并集：由两个集合所有元素组成

4、的集合，叫做这两个集合的并集，记作，读作A并B，如图1-3所示。4补集：由所有不属于的元素组成的集合，叫做在全集中的补集，记作，读作A补，如图1-4所示。德摩根公式 ：.(四)区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，2,3，(2,3，2，3第二章 函数一 映射与函数的根本概念(一) 映射A集合中的每个元素按照*种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。在A到B的映射中

5、，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。图2-1是映射 图2-2是一一映射 图2-3不是映射()求映射(或一一映射)的个数，m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个数是nm。()判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。(二) 函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(*)来表示：即*按照对应法则f对应的函数值为f(*)函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。函数三要素：定义域A：*取值围组成的集合。值域B：y取值围组成的集合。对应法则f：y与*的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式函数与普通映射的区别在于：(1)两个

6、集合必须是数集； (2)不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量*与其对应。图2-4 二 定义域题型 (一)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考察有两种形式直接考察：主要考解不等式。利用：在中；在中，；在中，；在中，；在中，；在与中且，列不等式求解。(二)抽象函数：只要对应法则一样，括号里整体的取值围就完全一样。三 值域题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值围；(3)画图像

7、，定区间，截段。(三) 分式函数求值域 ：四种题型(1)：则且。(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用*的围解不等式求y的围。(3)：，则且。(4)求的值域，当时，用判别式法求值域。，值域(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性局部知识讲解。(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。(六) 值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与值域对照求字母取值或围。四 函数运算

8、法则一 指数运算法则运用指数运算法则，一般从右往左变形。二 对数运算法则同底公式：运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。不同底公式：运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。五 函数解析式(一) 换元法：如f(2* + 3)=*2 + 3* + 5，求f(3-7*)，(设2* + 3=3-7t)。(二) 构造法：如，求f(*)。(三) 待定系数法：通过图像求出y=Asin(* +) + C中系数(四) 递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。(五) 求原函数的反函数：先反表示，再*、y互换。六 常规函数的图像常规函数图像主要有：指数函数：逆时针旋转，对数函数：逆时针

9、旋转，底数越来越大 底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。七 函数的单调性(一) 定义：在给定区间围，如果*越大y越大，则原函数为增函数；如果*越大y越小，则原函数为减函数。(二) 单调性题型：1.求单调性区间：先找到最根本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。复合函数法： ：当0 * 1时，*，*2，- *2，2.判断单调性 (1).求导函数：为增函数，为减函数(2).利用定义：设*1* 0时，有.或.无理不等式：(1).(2).(3)(三)指数不等式 对数不等式不等号两边同时取指数或同时取对数，变成一样的形式后，

10、再换元成有理不等式求解。(1)当时,;.(2)当时,;三 线性规划线性规划，出题现象如下： 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 )A.4 B.11 C.12 D.14解题步骤：1把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，标明直线序号2依据以下结论确定平面区域：是点在直线上方包括直线 是点在直线下方包括直线；是点在直线上方不包括直线是点在直线下方不包括直线3确定目标函数函数值的几何意义 4eq oac(,1)假设目标函数值z表示截距，在区域平移目标函数直线，找出使截距取最大值和最小值的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出z的最值。eq oac(,2)假设目标函数z表示距离或者距

11、离的平方，准确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距离，用距离公式直接求最值。eq oac(,3)假设目标函数z表示斜率，准确画图，利用求斜率取值围结论，求最值。第七章 直线和圆的方程一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的围是.注：当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、

12、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：假设是一直线的方程，则这条直线的方程是，但假设则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.当为定植，变化时，它们表示过定点0，的直线束.当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3. 两条直线平行：两条直线平行的条件是：和是两条不重合的直线.在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或无视其中任一个前提都会导致结论的错误.一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件

13、，且推论：如果两条直线的倾斜角为则. 两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. 即是垂直的充要条件4. 直线的交角：直线到的角方向角；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的围是，当时.两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值围是，当，则有.5). 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在6. 点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：两点P1(*1,y1)、P2(*2,y2)的距离公

14、式：.特例：点P(*,y)到原点O的距离： 定比分点坐标分式。假设点P(*,y)分有向线段,其中P1(*1,y1),P2(*2,y2).则 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。直线的倾斜角0180、斜率:过两点. 当即直线和*轴垂直时，直线的倾斜角，没有斜率两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.注；直线系方程1. 与直线：A*+By+C= 0平行的直线系方程是：A*+By+m=0.( mR, Cm).2. 与直线：A*+By+C= 0垂直的直线系方程是：B*-Ay+m=0.( mR)3. 过定点*1,y1的直线系方程是： A(*-*1)+B(y-y1)=

15、0 (A,B不全为0)4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：A1*+B1y+C1+( A2*+B2y+C2=0 (R 注：该直线系不含l2.7). 关于点对称和关于*直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于*直线对称的两条直线性质：假设两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.假设两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于*一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上方程，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直方程可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线对称的解法：y换*，*换y.

16、例：曲线f(* ,y)=0关于直线y=*2对称曲线方程是f(y+2 ,*2)=0. 曲线C: f(* ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a *, 2b y)=0. 二、圆的方程.1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果*曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.则这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线图形.曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(* ,y)=0，则点P0(*0 ,y)线

17、C上的充要条件是f(*0 ,y0)=02. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.注：特殊圆的方程：与轴相切的圆方程与轴相切的圆方程与轴轴都相切的圆方程3. 圆的一般方程：.当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形称虚圆.注：圆的参数方程：为参数.方程表示圆的充要条件是：且且.圆的直径或方程：用向量可征.4. 点和圆的位置关系：给定点及圆.在圆在圆上在圆外5. 直线和圆的位置关系： 设圆圆：； 直线：； 圆心到直线的距离.时，与相切；附：假设两圆相切，则相减为公切线方程.时，与相交；附：公共弦方程：设有

18、两个交点，则其公共弦方程为.时，与相离. 附：假设两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程. 由代数特征判断：方程组用代入法，得关于或的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；与相交；与相离.注：假设两圆为同心圆则，相减，不表示直线.6. 圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：.一般方程假设点(*0 ,y0)在圆上，则(* a)(*0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.假设点(*0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共圆.的方程 又以

19、ABCD为圆为方程为 ，所以BC的方程即代，相切即为所求.三、曲线和方程1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(*,y)=0的实数解建立了如下的关系：1 曲线C上的点的坐标都是方程f(*,y)=0的解纯粹性；2 方程f(*,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上完备性。则称方程f(*,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(*,y)=0的曲线。2.求曲线方程的方法：.1直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2参数法; 3定义法， 4待定系数法.第八章 圆锥曲线一椭圆方程一 椭圆的定义：方程为椭圆；无轨迹；以为端点的线段。二 椭圆的方程: = 1 * GB3 椭圆的标准方程： = 1

20、 * roman i. 中心在原点，焦点在*轴上：. = 2 * roman ii. 中心在原点，焦点在轴上：. = 2 * GB3 一般方程：.= 3 * GB3椭圆的标准参数方程：的参数方程为三椭圆的几何性质： = 1 * GB3 顶点：A,B,C和D. = 2 * GB3 轴：对称轴：*轴，轴；长轴长=，短轴长=.焦点：, = 4 * GB3 焦距：，. = 5 * GB3 离心率：.二双曲线方程一双曲线的定义：二双曲线的方程 = 1 * GB3 双曲线标准方程： = 1 * roman i. 中心在原点，焦点在*轴上：. = 2 * roman ii. 中心在原点，焦点在轴上： = 2

21、 * GB3 一般方程：.= 3 * GB3椭圆的标准参数方程：的参数方程为三双曲线的几何性质 = 1 * roman i. 焦点在轴上：顶点：；焦点：；渐近线方程：或 = 2 * roman ii. 焦点在轴上：顶点：；焦点：；渐近线方程：或，轴：为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. = 3 * GB3 离心率. = 4 * GB3 参数关系.四常见的特殊双曲线：等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.共轭双曲线：以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.= 3 * GB3共渐近线的双曲线系方程

22、：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：假设双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得.五直线与双曲线的位置关系：如下列图.区域：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.三抛物线方程设，抛物线的标准方程、类型及其几何

23、性质：图形焦点准线围对称轴轴轴顶点(0，0)离心率焦半径注：顶点.则焦点半径;则焦点半径为.= 3 * GB3通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.= 4 * GB3(或)的参数方程为(或)(为参数).第九章. 立体几何一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面.2. 两个平面可将平面分成3或4局部.两个平面平行，两个平面相交3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.三条直线在一个平面平行，三条直线不在一个平面平行注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 局部.*、Y、Z三个

24、方向空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面注：可能两条直线平行，也可能是点和直线等直线在平面外，指的位置关系：平行或相交假设直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面.两条平行线在同一平面的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.射影不一定只有直线，也可以是其他图形并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段是夹在两平行平面间的线段，假设，则的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面一点的直线和平面不经过该点的直线是异面直线.不在任何一个平面的两条直

25、线3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向一样，则这两个角相等如下列图. 二面角的取值围 直线与直线所成角 斜线与平面成角 直线与平面所成角向量与向量所成角推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成锐角或直角相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交共面垂直和异面垂直.是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面. 或在这个做出的平面不能叫与平行的平面直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、

26、在平面.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面一条直线平行，则这条直线和这个平面平行.线线平行，线面平行注：直线与平面外一条直线平行，则.直线与平面外一条直线相交，则与平面相交. 假设直线与平面平行，则必存在无数条直线与平行.两条平行线中一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面或在平面上平行于同一直线的两个平面平行或相交平行于同一个平面的两直线相交或异面或平行直线与平面、所成角相等，则或与相交3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行.线面平行，线线平行4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂

27、直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 假设，得三垂线定理，得不出. 因为，但不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，则这两条直线垂直于这个平面.线线垂直，线面垂直直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.注：垂直于同一条直线的两个平面平行垂一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面垂直于同一平面的两条直线平行5. 垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线

28、段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短.注：垂线在平面的射影为一个点.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，则这点在平面的射影在这个角的平分线上平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.线面平行，面面平行推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.注：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，

29、则它们交线平行.面面平行，线线平行4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，则经过这条直线的平面垂直于这个平面.线面垂直，面面垂直注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，则在一个平面垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于，因为则.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有7. 最小角定理：为最小角，如

30、图最小角定理的应用PBN为最小角简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 棱锥、棱柱.1. 棱柱.直棱柱侧面积：为底面周长，是高该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.斜棱住侧面积：是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体.直四棱柱平行六面体=直平行六面体.棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四

31、边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：直棱柱不能保证底面是钜形可如图直棱柱定义棱柱有一条侧棱和底面垂直.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.注：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.注：斜四面体的两个平行的平面可以为矩形应是各侧面

32、都是正方形的直棱柱才行只能推出对角线相等，推不出底面为矩形棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. 两条边可能相交，可能不相交，假设两条边相交，则应是充要条件2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.注：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.不是等边三角形ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：假设一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形即侧

33、棱相等；底面为正多边形.正棱锥的侧面积：底面周长为，斜高为棱锥的侧面积与底面积的射影公式：侧面与底面成的二面角为附： 以知，为二面角. 则，得.注：S为任意多边形的面积可分别多个三角形的方法.棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等它叫做正棱锥的斜高.正棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的射影也组成一个直角三角形.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均

34、相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形心.棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形心.三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；每个四面体都有切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.注：i.各个侧面的等腰三角形不知是否全等ii. 假设一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.简证：ABCD，ACBD BCAD. 令得，则.iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中

35、点的四边形一定是矩形.iv. 假设是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取AC中点，则平面90易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.假设对角线等，则为正方形.3. 球：球的截面是一个圆面.球的外表积公式：.球的体积公式：.纬度、经度：纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.附：圆柱体积：为半径，为高圆锥体积：为半径，为高锥形体积：为底面积，为高 4. 切球：当四面体为正四面体

36、时，设边长为a，得.注：球切于四面体：外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.六. 空间向量.1. 1共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：假设与共线，与共线，则与共线. 当时，不成立向量共面即它们所在直线可能异面假设，则存在小任一实数，使.与不成立假设为非零向量，则.2共线向量定理：对空间任意两个向量， 的充要条件是存在实数具有唯一性，使.3共面向量：假设向量使之平行于平面或在，则与的关系是平行，记作.4共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对*、y使.空间任一点O和不共线三点A、B、C，则是PABC四点共面的充要

37、条件.简证：P、A、B、C四点共面注：是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量根本定理：如果三个向量不共面，则对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组*、y、z，使.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组*、y、z使 (这里隐含*+y+z1).注：设四面体ABCD的三条棱，其中Q是BCD的重心，则向量用即证.3. 1空间向量的坐标：空间直角坐标系的*轴是横轴对应为横坐标，y轴是纵轴对应为纵轴，z轴是竖轴对应为竖坐标.令=(a1,a2,a3),，则(用到常用的向量模与向量之间的转化：)空间两点的距离公式：.2法向量：假设向量所在直线垂直于平面，则称这个向量

38、垂直于平面，记作，如果则向量叫做平面的法向量.3用向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小方向一样，则为补角，反方，则为其夹角.证直线和平面平行定理：直线平面，且CDE三点不共线，则a的充要条件是存在有序实数对使.常设求解假设存在即证毕，假设不存在，则直线AB与平面相交.II. 竞赛知识要点一、四面体.1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，

39、这一点叫做此四面体的外接球的球心；四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的接球的球心；四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为31；12个面角之和为720，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180.2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. 在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、外表积、外接球半径、切球半径及侧面上的高，则有空间勾股定理：S2ABC+S2BCD+S2ABD=S2ACD.3. 等腰四面体：对棱

40、都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.在等腰四面体ABCD中，记BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，体积为V，外接球半径为R，接球半径为r，高为h，则有等腰四面体的体积可表示为；等腰四面体的外接球半径可表示为；等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为；h = 4r.二、空间正余弦定理.空间正弦定理：sinABD/sinA-BC-D=sinABC/sinA-BD-C=sinCBD/sinC-BA-D空

41、间余弦定理：cosABD=cosABCcosCBD+sinABCsinCBDcosA-BC-D立体几何知识要点一、知识提纲一空间的直线与平面平面的根本性质 三个公理及公理三的三个推论和它们的用途斜二测画法空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线公理四平行线的传递性等角定理异面直线的判定：判定定理、反证法异面直线所成的角：定义求法、围直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直直线和平面垂直：定义、判定定理三垂线定理及逆定理5.平面和平面平行两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性质定理二直线与平面

42、的平行和垂直的证明思路见附图三夹角与距离7.直线和平面所成的角与二面角平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角二面角：定义、围、二面角的平面角、直二面角互相垂直的平面及其判定定理、性质定理8.距离点到平面的距离直线到与它平行平面的距离两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段四简单多面体与球9.棱柱与棱锥多面体棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥

43、、棱锥的性质、正棱锥的性质直棱柱和正棱锥的直观图的画法10.多面体欧拉定理的发现简单多面体的欧拉公式正多面体11.球球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离球的体积公式和外表积公式二、常用结论、方法和公式1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，假设AOB=AOC，则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；A2. :直二面角MABN中，AE M，BF N,EAB=,ABF=，异面直线AE与BF所成的角为，则3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是，AC在平面，BC和AB的射影BA1成，设ABC=,则coscos=cos；4.异面直线所成角的求法：1平移法：在异面直线中的一条直

44、线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上*个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；6.二面角的求法1定义法：直接在二面角的棱上取一点特殊点，分别在两个半平面作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；2三垂线法：二面角其中一个面一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；3垂面法：二面角一点到两

45、个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；4射影法：利用面积射影公式S射S原cos,其中为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法尤其要考虑射影法。7.空间距离的求法1两异面直线间的距离，高考要给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进展计算；2求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；3求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方

46、程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底；9.:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2+cos2+cos2=1; 假设长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.则V+FE=2；并且棱数E各顶点连着的棱数和的一半各面边数和的一半；12.柱体的体积公式：柱体棱柱、圆柱的体积公式是V柱体=Sh.其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.13.直棱柱的侧面积和全面积S直棱柱侧= c (c表示底

47、面周长，表示侧棱长) S棱柱全=S底+S侧14棱锥的体积:V棱锥=，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。15.球的体积公式V=，外表积公式；掌握球面上两点A、B间的距离求法：1计算线段AB的长，2计算球心角AOB的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长；第十章排列组合二项定理一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有重复元素的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，则第一、第二第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数mm m = mn. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？

48、 解：种二、排列.1. 对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.一样排列.如果；两个排列一样，不仅这两个排列的元素必须完全一样，而且排列的顺序也必须完全一样.排列数.从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.排列数公式： 注意： 规定0! = 1 规定2. 含有可重元素的排列问题.对含有一样元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,.an其中限重复数为n1、n2nk，且n = n1+n2

49、+nk, 则S的排列个数等于. 例如：数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数. 三、组合.1. 组合：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数公式：两个公式： 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个

50、不同元素中取m个元素方法时，对于*一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有. 排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是排成一排，后者是并成一组，前者有顺序关系，后者无顺序关系.几个常用组合数公式常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：利用ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法即用递推如：.vi.构造二项式. 如：证明：这里构造二项式其中的系数，左边为，而右边四、排列、组合综合.1

51、. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：直接法. 排除法.捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们局部的排列.它主要用于解决元素相邻问题，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中*个元素必相邻的排列有个.其中是一个整体排列，而则是局部排列.又例如有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为.有n件不同商品，假设其中A、B排在一起有.有n件不同商品，假设其中有二件要排在一起有.注：区别在于是确定的座位，有种；而的商品地位一样，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中

52、，此法主要解决元素不相邻问题.例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？插空法，当n m+1m, 即m时有意义.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用先特殊后一般的解题原则.调序法：当*些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进展全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的*一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即假设n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.例如：n个元素全排列，其中m个元素顺

53、序不变，共有多少种不同的排法？解法一：逐步插空法m+1m+2n = n！/ m！；解法二：比例分配法.平均法：假设把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了又例如将200名运发动平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？注意：分组与插空综合.例如：n个元素全排列，其中*m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有，当n m+1 m, 即m时有意义.隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全一样的球排成一列，在它们之间形成11个空隙

54、中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式如图所示故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数.注意：假设为非负数解的*个数，即用中等于，有，进而转化为求a的正整数解的个数为 .定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定*r个元素都包含在，并且都排在*r个指定位置则有.例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中*个元素必须固定在或不固定在*一位置上，共有多少种排法？固定在*一位置上：；不在*一位置上：或一类是不取出特殊元素a，有，一

55、类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的指定元素排列组合问题. i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列或组合，规定*r个元素都包含在 。先C后A策略，排列；组合.ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列或组合，规定*r个元素都不包含在。先C后A策略，排列；组合.iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列或组合，规定每个排列或组合都只包含*r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列；组合. II. 排列组合常见解题策略：特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的策略处理排列组

56、合综合性问题一般是先选元素，后排列；正难则反，等价转化策略；相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略；小集团排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略.2. 组合问题中分组问题和分配问题.均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为其中A为非均匀不编号分组中分法数.如果再有K组均匀分组应再除以.例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为.假设分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的

57、顺序，其分法种数为例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：种.假设从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有种均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数一样且考虑各组间的顺序，其分法种数为.例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不一样，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为假设从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为.五、二项式

58、定理.1. 二项式定理：.展开式具有以下特点：项数：共有项；系数：依次为组合数每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.二项展开式的通项.展开式中的第项为：.二项式系数的性质.在二项展开式中与首未两项等距离的两项的二项式系数相等；二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n是偶数时，中间项是第项，它的二项式系数最大；II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第项，它们的二项式系数最大.系数和：附：一般来说为常数在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当时，一般采用解不等式组的系数或系数的绝对值的方法来求解.如何来求展开式中含的系数呢？其中且把视为二

59、项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为.2. 近似计算的处理方法.当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面局部很小，可以忽略不计。类似地，有但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算准确度的要求.第十一章 概率一 事件一、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生*种结果，这种现象叫做确定性现象二、在一定条件下，*种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象叫做随机现象三、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件二 概率在一样条件下，随

60、着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在*个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。1.概率： 一般地，如果随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将发生的频率作为事件发生的概率的近似值，即2概率的性质： 随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用和表示，必然事件的概率为，不可能事件的概率为，即，;3.1频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果事件出现的频率尽管是随机的，却稳定在*一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率;2频率和概率这两个概念