数学中变形技巧及其应用

1、-PAGE . z.学 号2009211218O12本科生毕业论文设计题目： 数学中的变形技巧及其应用院 系数学与统计系 专 业 班 级 数学与应用数学*级*班学 生 姓 名 *指导教师职称*提 交 时 间 二一三年五月-. z数学中的变形技巧及其应用*学院数学与统计系，725000摘 要许多数学问题都有一定难度，解决他们往往需要一定的技巧.为了在有限的时间快速而准确地解决数学题，我们就必须采取一些方法与技巧.这就要求我们在平时的学习过程中细心观察、认真积累一些经历与方法.本文主要介绍数学中一些常用的变形技巧，给出了这些技巧在解数学问题中的应用.关键词 数学 变形 技巧 应用Deformati

2、on technique and its application in mathematics* * WANGDepartment of mathematics and statistics, Ankang University,Ankang Shaan*i, 725000)AbstractManymathematicalproblems are difficult tosolve, they oftenneed certain skills. Inorder to solve math problemsinthe limited timequicklyandaccurately, we mu

3、st adopt some methods and skills. Then we mustobserve carefully andaccumulate some e*perience and methodsin the usual learning process. Thispaper mainly introduces some deformationtechniques monlyused in mathematics.Keywordsmathematics deformation technique application-. z目 录TOC o 1-3 h u HYPERLINK

4、l _Toc358584738摘要 PAGEREF _Toc358584738 h IHYPERLINK l _Toc358584740Abstract PAGEREF _Toc358584740 h IIHYPERLINK l _Toc358584742前言 PAGEREF _Toc358584742 h 1HYPERLINK l _Toc3585847431.数学中的一般变形技巧 PAGEREF _Toc358584743 h 2HYPERLINK l _Toc3585847441.1 一元二次方程的变形技巧 PAGEREF _Toc358584744 h 2HYPERLINK l _To

5、c3585847451.2 三角函数的变形技巧 PAGEREF _Toc358584745 h 4HYPERLINK l _Toc3585847461.3 0的变形技巧 PAGEREF _Toc358584746 h 7HYPERLINK l _Toc3585847471.4 1的变形技巧 PAGEREF _Toc358584747 h 9HYPERLINK l _Toc3585847482.最值问题的常用变形技巧 PAGEREF _Toc358584748 h 11HYPERLINK l _Toc3585847492.1配方法 PAGEREF _Toc358584749 h 12HYPERL

6、INK l _Toc3585847502.2换元法 PAGEREF _Toc358584750 h 13HYPERLINK l _Toc3585847512.3判别式法 PAGEREF _Toc358584751 h 13HYPERLINK l _Toc3585847522.4不等式法 PAGEREF _Toc358584752 h 14HYPERLINK l _Toc3585847533.运用均值不等式解题的变形技巧 PAGEREF _Toc358584753 h 15HYPERLINK l _Toc3585847543.1拆项 PAGEREF _Toc358584754 h 15HYPER

7、LINK l _Toc3585847553.2拆幂 PAGEREF _Toc358584755 h 15HYPERLINK l _Toc3585847563.3升幂 PAGEREF _Toc358584756 h 16HYPERLINK l _Toc3585847573.4整体代换 PAGEREF _Toc358584757 h 16HYPERLINK l _Toc3585847583.5平衡系数 PAGEREF _Toc358584758 h 17HYPERLINK l _Toc3585847593.6别离取倒数 PAGEREF _Toc358584759 h 17HYPERLINK l _

8、Toc358584760完毕语 PAGEREF _Toc358584760 h 19HYPERLINK l _Toc358584761参考文献 PAGEREF _Toc358584761 h 20HYPERLINK l _Toc358584762致 PAGEREF _Toc358584762 h 21-. z前 言数学是一个有机整体，各个局部之间相互联系、相互依存、相互渗透，从而构成了一个个相互交织的立体空间.因此为了培养学生在数学学习中的运算能力、逻辑能力、推理能力、空间想象能力以及综合应用数学知识分析、解决实际问题的能力，我们应该对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视，并且有意识地运用一

9、些数学方法去解决问题，这样才能够使学生的数学学习提高到一个新的层次、新的高度 .数学方法，是针对不同的数学知识而定的一种策略.数学中的变形与数学知识一样，是数学开展过程中积累起来的珍贵精神财富.近几年来，中学数学考试中的考题越来越新颖，尤其是在中考，高考的试题中，要使考生在短短的两个小时之完成所有的试题，这对大局部考生来说是非常困难的，而且有些试题的技巧性非常强，做起来有一定的难度，考生如果用常规的方法解决，这不仅会浪费很多时间，而且最后还可能得不到正确答案 .所以我们有必要针对一些题采取正确的解题技巧，即对它们作一些变形，这不仅能使试题变得简单明了，而且还能使我们做起题来得心应手，同时增加了

10、我们解题的信心，还提高了我们对数学学习的兴趣.针对以上问题，本文主要总结归纳了数学中的一些变形技巧，通过例题的方式给出这些变形技巧及具体应用.1. 数学中的一般变形技巧在数学中什么是变形？它是为了到达*种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段.它属于技能技巧性知识，既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的.也就是说它存在着一定的技巧和方法，只有我们在学习数学的实践中反复操作才能掌握，以至于灵活运用.如勾股定理可表述为也可表述等.，这显然是一个不屑答复的问题，就成了最富灵活性的问题，或.可见变形确实是一个涵十分丰富的概念，在一些著名的数学问题解决中，变形技巧的

11、巧妙运用也是非重要的一个环节.有时我们在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等任务，常常要对*些式子进展恒等变形，但是恒等变形又无固定的模式或规则，一个式子常常有多种可能的变形，因题而异，技巧性非常强.现在我们来看一下一元二次方程，三角函数，0，1等的变形应用，希望这几方面的变形应用的介绍，对其他题的变形能起到抛砖引玉的作用.下面我们就来谈谈这几种变形技巧的应用.1.1 一元二次方程的变形技巧对有些含有或可转化一元二次方程的代数问题，如能对方程进展适当变形并施以代换，则常常可使问题化繁为简.下面举例说明：例1 解：，分析：如果，则就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发，这样可

12、以提高解题的效率，以至于节省时间.例2解：由题意得：，分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决.例3设实数分别满足并且，解：由题设可得：.，分析：通过仔细的观察可知只要对条件进展变形，再利用比例的根本性质即可解决这道题.总结：在解决一元二次方程的代数问题时,首先要认真仔细地观察题目的条件和所求的式子，观察他们之间有什么特点与联系，然后再充分利用条件来解决所求的问题.特别是要灵活运用韦达定理：为一元二次方程，在解这类题目时，可以先从条件出发，也可以从结论入手，关键是要善于观察所求式子的特点进而合理适当地变形，使所求问题得到解决.以上三道题都是由问题入手，

13、对条件做适当的变形，进而应用韦达定理来解决所求问题.1.2 三角函数的变形技巧三角函数是初等函数的重要组成局部，其与二次函数、初等几何的关系十分密切.特别是给出条件，求三角函数的值的问题，求三角函数的值的关键即合理地进展三角恒等变形，其最根本的思路是三看，即一看角、二看函数名称、三看构造特征.除此之外，我们还常常应用代数的变形技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件.例4分析：除了这里的，还有以下等式也经常用到：灵活运用这些等式，能使许多三角函数问题得到简化.例5.分析：本例题是正切公式变形的应用.在历年高考题中，曾屡次出现两角和与差的正切公式的变形应用，希望读者在学习中一定要总结、体会以至于灵活

14、运用.例6，分析：对于正切和角可正用也可逆用.则其可变形.这里公式的变形应用.例7解：注意到 可变形为我们可以通过构造对偶式，以减少三角变换的难度.再观察所求三角函数式， 很容易发现它与余弦定理非常相似，所以我们还可以通过构造三角形，使问题得到解决.，从而方法二：原式构造，则由正玄定理得：.又由余弦定理得：，说明：这里通过构造对偶式和三角形来求三角函数式的值是一种较高的变形技巧.总结：三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识不可缺少的知识.它包括：化简三角函数式，求三角函数式的值，证明三角恒等式.三角函数式恒等变形的理论依据是代数恒等变形的一般方法和法则，三角函数的变形公式在变形中要注

15、意三角函数的定义域和值域的要求，以及符号的变化.1.3 0的变形技巧曾有人指出：零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被所限定的数都更重要。事实上，零比其他一切数都有着更丰富的容：零乘以任何一个数，会把这个数变为零，零除以任何一个不等于零的数都得零由于零具备许多特殊的性质.因此，在解题过程中我们假设能充分地利用这些特性，则我们将会很快地解出所求的题，下面我们看几个关于的特性在解题中的应用.例8.分子上加再利用不等式和等差数列的有关知识即可.例9.,所以也就是再利用不等式的性质可方便解决此题.例 10 ，求解：1令为的前n项和，则是首相为5,公差为2的等差数列.因为然后再利用等差数列的知

16、识便可解决这道题目.一个很有用的数字，在数学解题中假设能灵活应用它，则会帮助我们顺利地解题.如果有些题目可以借助的有关特性去解决.这样可以很快确定解题方向，提高解题效率.1.4 1的变形技巧众所周知1的变形表述形式是非常多的，在数学问题的求解过程中，如果我们善于捕捉1，并且恰当地用1来解决数学问题，会使问题显得简洁明了.则下面我们来看一看它的应用.例11 .1但任何数乘以1其值不变，因此，我们可以在求证式的左边乘以， 将其视为例12 .使问题巧妙解决.此题也可以用三角函数的知识来解答，但是比拟麻烦.例13 说明：这里巧妙的运用1使问题得以解决.即而这里.例14.中至多有一个为负.，均为非零时，

17、说明:这道题如果不认真去思考，则将很容易遗漏1和2这两种情况.这三个数的正负情况.而第三种情况用到了1和0的变形技巧，用到了1的变形技巧，而变形技巧.然后再利用不等式的性质便可解决这道题.总结：通过以上的例子可以看出，如果借助1来解决有关的数学问题，则效率非常高，因为1的变形是多种多样的，对不同的题目，1的变形是不同的.有些题目假设能利用1来求解，则我们应该灵活应用1去解决.2. 最值问题的常用变形技巧最值问题是在生产和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题，它涉及到初等数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技巧，灵活选择解题的途径和方法.对学生考察的角度来看，求最值问题是一个综

18、合能力的考察；沉着来看它涉及到：不等式的性质、参数方程、函数的单调性等等；从方法上来说，它涉及到：代数式的变形与变换、数形结合、不等式法、换元法、导数法、分类讨论、容与方法上的转换等；从能力角度来说，它要求学生有一定的分析能力、解决问题的能力.下面对求最值问题的常用方法进展总结并举例说明，利用各类型的典型例题，分析求最值问题的解题思路，以提醒其中的特征和规律.2.1配方法利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，利用二次函数的有关性质解决问题.它主要用于二次函数或可化为二次函数的函数.在解题过程中要特别注意自变量的取值围.例15取得最大值，并求出最大值.，从而.说明：此类题解法关键在于配方法，将

19、二次函数一般式化为顶点式，同时要考虑顶点的横坐标的值是否落在定义域，否则考虑函数的单调性.2.2换元法利用换元法解数学题的关键在于选择适当的辅助元，引入适当的代换。这样不仅容易找到解题思路，而且常使问题简单化。用换元法时，一定要注意相关变量的取值围.例 16到达最大值，并求出最大值.代入等式得：，要使大，则值最小，即需取最大值.说明：此题通过换元变形为含正弦函数的解析式，再利用正弦函数的值域来求最大值.2.3判别式法它是利用根的判别式的意义，通过变形得到系数是常数关于一元二次方程后，得出系数取值围.主要适用于可化为关于二次方程的函数，当时，时，还需要结合图像求最值.例17 求函数的最值。时等号

20、成立，说明：这是无理函数的最值问题，采用了平方法，通过自变量的围制约着最小值的求得。另外考虑到根号式子的特点，用换元法来解可有如下更简单的解法.所以，2.4不等式法这一类型的根本不等式，在求一些函数最值问题时通常十分便捷，在解题时务必注意、考虑利用不等式求最值的三个条件限制时成立；.例18则，说明：外表上看此题不能使用根本不等式，但只要稍留心便能从两个分母中发现名堂，两数之积正好为定值4，于是巧乘得4便可利用根本不等式.3. 运用均值不等式解题的变形技巧均值不等利用均值不等式解题的关键是凑 定和和定积，在解题过程中常常需要采用拆项、补项、平衡系数等变形技巧找到定值，再利用均值不等式来求解，使得

21、复杂问题简单化，收到事半功倍的效果.3.1拆项例193.2拆幂例20 如果圆柱轴截面的周长为定值，则圆柱体积的最大值是 3.3升幂 例21 设3.4整体代换例22证明：.【注】在做题的过程家假设细心观察，可得此结论：所以，3.5平衡系数平衡系数法就是想方法使未知数前面的系数的代数和为0.以便于在运用均值不等式时能得到定值.例23用总长14.8米的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5米，则高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积解：设容器底面短边长为，则另一边长为，并设容积为中容器的3.6别离取倒数别离就是通过凑补的方法把一个分数式化成多项式.但是在解题过

22、程中，有时我们把一个分数式化成了多项式时问题还得不到解决，此时我们还要取其倒数.如下面的例题：例24 所以，即.总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意一正二定三等即 (当且仅当ab时取=号)一正，二定定和或定积三等时还要注意一些变形技巧，灵活运用均值不等式.完毕语由于中学数学的改革及社会开展的需求，以及提高我们的应试能力和解决实际问题的能力，数学变形技巧作为一种解题的手段越来越被人们所喜爱，但是它没有固定的形式，所以这就需要我们在平时的学习中加以运用和积累.本文对中学数学中的初等数学和代数中的一些变形技巧加以整理、归类，利用大量的例子来阐述说明.这将会对我未来的中学教师生活起着指导性的作

23、用，在中学数学中熟练掌握了根本的变形技巧，这会使你在解题时得心应手，甚至会提高你对数学的兴趣同时增强你对数学学习的信心.我们在解数学题的过程中难免会遇到这样那样的问题，则我们应该如何去做才能使问题变得简单易懂呢？从波利亚的怎样解题表中可知数学解题一般用四个步骤：弄清问题.即要知道未知数是什么？数据是什么？条件是什么？然后拟定方案.找出数和未知数之间的关系.如果找不出直接的关系你可能不得不考虑辅助问题，最终得出一个求解方案.实行你的方案.验证所求的解.但是有时我们在解题的过程中应该注意，如果能利用变形技巧的我们应该利用使得问题简单化.变形技巧是数学解题的一种方法，变形能力的强弱直接影响着解题能力的上下。再次强调，变形属于技能技巧性的知识，它需要在实践中反复操练才能把握，以至于灵活与综合运用.参考文献1 何兵.均值不等式解题的变形技巧. 高中数理化, 2012(14)：90-92.2 振继.利用根本不等式求最值十大变形技巧.中学数学杂志高中版, 2010(3)：39-41.3 珠社.深化变形巧