高一数学平面向量知识点及典型例题解析

1、-PAGE - 18 -. z高一数学 第八章 平面向量第一讲 向量的概念与线性运算一【要点精讲】1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。几何表示法，；坐标表示法。向量的模长度，记作|.即向量的大小，记作|。向量不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小.零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，规定平行于任何向量。与0的区别单位向量1。平行向量共线向量方向一样或相反的非零向量，记作相等向量记为。大小相等，方向一样2向量的运算1向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，向量a，b，在平面任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b特殊情况：向量加法的三角形法则可推广至

2、多个向量相加： ，但这时必须首尾相连。向量减法： 同一个图中画出要点:向量加法的三角形法则与平行四边形法则1用平行四边形法则时，两个向量是要共始点的，和向量是始点与向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。2三角形法则的特点是首尾相接，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.3实数与向量的积3两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。二【典例解析】题型一： 向量及与向量相关的根本概念概念例1判断以下各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)假设(3)单位向量都相等

3、(4) 向量就是有向线段(5)两相等向量假设共起点,则终点也一样 (6)假设，则；(7)假设，则 (8) 的充要条件是且； (9) 假设四边形ABCD是平行四边形,则练习. (省市一诊)在四边形ABCD中， EQ o(AB,sup5()2o(DC,sup5()是四边形ABCD为梯形的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件题型二:考察加法、减法运算及相关运算律例2 化简=练习1.以下命题中正确的选项是 A BC D2.化简得 A B C D3如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则()A.eq o(AD,sup6()eq o(BE,sup6(

4、)eq o(CF,sup6()0B.eq o(BD,sup6()eq o(CF,sup6()eq o(DF,sup6()0C.eq o(AD,sup6()eq o(CE,sup6()eq o(CF,sup6()0D.eq o(BD,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(FC,sup6()0题型三: 结合图型考察向量加、减法例3在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是( )ABCD例4重心、垂心、外心性质ABCDE练习: 1如图，在ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，eq o(CA,sup6()=3a，eq o(CB,sup6()=2b，求eq o(CD,sup6()，eq

5、o(CE,sup6()2求证3假设为的心，且满足，则的形状为 A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形4O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq o(AC,sup6()eq o(CB,sup6()0，则eq o(OC,sup6()()A2eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()Beq o(OA,sup6()2eq o(OB,sup6()C.eq f(2,3)eq o(OA,sup6()eq f(1,3)eq o(OB,sup6()Deq f(1,3)eq o(OA,sup6()eq f(2,3)eq o(OB,sup6()5平面上不共线的四

6、点O，A，B，C.假设eq o(OA,sup6()3eq o(OB,sup6()2eq o(OC,sup6()0，则eq f(|o(AB,sup6()|,|o(BC,sup6()|)等于_6平面有一点P及一个ABC，假设eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(AB,sup6()，则()A点P在ABC外部 B点P在线段AB上C点P在线段BC上 D点P在线段AC上7在ABC中，D是AB边上一点，假设eq o(AD,sup6()2eq o(DB,sup6()，eq o(CD,sup6()eq f(1,3)eq o(CA,sup6()eq o(CB

7、,sup6()，则等于()A.eq f(2,3) B.eq f(1,3)Ceq f(1,3)Deq f(2,3)题型四: 三点共线问题例4设是不共线的向量,向量,假设A,B,D三点共线,求k的值例5A、B、C、P为平面四点， A、B、C三点在一条直线上 eq o(PC,sup6()=meq o(PA,sup6()+neq o(PB,sup6()，求证： m+n=1练习：1：，则以下关系一定成立的是 A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线2(原创题)设a，b是两个不共线的向量，假设eq o(AB,sup6()2akb，eq o(CB,sup6

8、()ab，eq o(CD,sup6()2ab，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于_第2讲 平面向量的根本定理与坐标表示一【要点精讲】1平面向量的根本定理如果是一个平面的两个不共线向量，则对这一平面的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面所有向量的一组基底.2平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系，我们分别取与轴、轴方向一样的_单位向量_、作为基底任作一个向量，有且只有一对实数、，使得eq oac(,1)，把叫做向量的直角坐标，记作eq oac(,2)其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，eq oac(,2)式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，特别提醒：

9、设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3平面向量的坐标运算1假设，则=，=2 假设，则3假设和实数，则4向量平行的充要条件的坐标表示：设=(*1, y1) ，=(*2, y2) 其中BCAOMD ()的充要条件是二【典例解析】题型一. 利用一组基底表示平面的任一向量例1在OAB中，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.练习:1假设、是平面上的一组基底，则以下各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A与 B3与2 C与 D与22在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，假设eq o(AC,sup

10、6()eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()，其中、R，则_.题型二:向量加、减、数乘的坐标运算例3 A2,4、B3,1、C3,4且,求点M、N的坐标及向量的坐标. 练习:1. (2008年高考卷)四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且eq o(BC,sup6()2eq o(AD,sup6()，则顶点D的坐标为()A(2，eq f(7,2) B(2，eq f(1,2)C(3,2) D(1,3) 2假设M(3, -2) N(-5, -1) 且, 求P点的坐标； 3假设M(3, -2) N(-5, -1)，点P在MN的延长线上，且, 求P点的坐标；4

11、.(2009年卷文)平面向量a= ，b=， 则向量 ( )A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 5在三角形ABC中，A(2,3)，B(8，4)，点G(2，1)在中线AD上，且eq o(AG,sup6()2eq o(GD,sup6()，则点C的坐标是()A(4,2) B(4，2)C(4，2) D(4,2)6设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，假设表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)7A(7,1)、B(1,4)，直线yeq f(1,

12、2)a*与线段AB交于C，且eq o(AC,sup6()2eq o(CB,sup6()，则实数a等于()A2 B1C.eq f(4,5) D.eq f(5,3)题型三: 平行、共线问题例4向量，假设，则锐角等于 A BC D 例52009卷文向量，如果则( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向 练习：1假设向量=(-1,*)与=(-*, 2)共线且方向一样，求* 2点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及， 求(1)t为何值时，P在*轴上？P在y轴上？P在第二象限。(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？假设能，求出相应的t值；假设不能，请说明理由。3向量a(1,2)，b(

13、0,1)，设uakb，v2ab，假设uv，则实数k的值为()A1 Beq f(1,2)C.eq f(1,2)D14向量a(2,3)，b(1,2)，假设manb与a2b共线，则eq f(m,n)等于()Aeq f(1,2)B2C.eq f(1,2)D25向量eq o(OA,sup6()(1，3)，eq o(OB,sup6()(2，1)，eq o(OC,sup6()(m1，m2)，假设点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是()Am2 Bmeq f(1,2)Cm1 Dm16点,试用向量方法求直线和为坐标原点交点的坐标。题型四：平面向量综合问题例6 ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、

14、c，设向量， .假设/，求证：ABC为等腰三角形； 假设，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 . 练习点A(1,2)，B(2,8)以及eq o(AC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()，eq o(DA,sup6()eq f(1,3)eq o(BA,sup6()，求点C、D的坐标和eq o(CD,sup6()的坐标第三讲 平面向量的数量积及应用一【要点精讲】1两个非零向量的夹角非零向量a与a，作，则AA叫与的夹角；说明：两向量的夹角必须是同起点的，围0180。C2数量积的概念非零向量与，=cos叫做与的数量积或积。规定；向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投

15、影。投影的绝对值称为射影；3数量积的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积.注意：只要就有=0，而不必=或=由=及0却不能推出=得|cos1=|cos2及|0，只能得到|cos1=|cos2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图)()()，向量的数量积是不满足结合律的对于向量、，有|，等号当且仅当时成立4向量数量积的性质向量的模与平方的关系：。乘法公式成立；向量的夹角：cos=。5两个向量的数量积的坐标运算两个向量，则=。6垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作。两个非零向量垂直的充要条件：O7平面两点间的距离公式设，则或。(平面两点间的距离公式) .二【典例解析】题型一：数量积的

16、概念例1判断以下各命题正确与否：1；2； 3假设，则；4假设，则当且仅当时成立；5对任意向量都成立；题型二. 求数量积、求模、求夹角的简单应用例2；题型三：向量垂直、平行的判定例3向量，且，则。例4，按以下条件数的值。1；2；。例5： 、是同一平面的三个向量，其中 =1，2假设|，且，求的坐标；2假设|=且与垂直，求与的夹角.练习1假设非零向量、满足，证明:2 在ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且ABC的一个角为直角， 求k值3向量，假设，则 ABCD4.5知为的三个角的对边，向量假设，且，则角的大小分别为 ABCD题型四：向量的夹角例6向量=(cos,sin),=(cos,sin)

17、,且，求与的夹角练习1两单位向量与的夹角为，假设，试求与的夹角。2| |=1，| |=2，= + ，且，则向量与的夹角为 A30B60C120D1503设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b()A150B120C60 D304向量a(1,2)，b(2，4)，|c|eq r(5)，假设(ab)ceq f(5,2)，则a与c的夹角为()A30或150 B60或120C120 D1505.过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E假设，则的值为 A4 B3 C2 D1解析：取ABC为正三角形易得3选B4. 设向量与的夹角为，则5在ABC中，(eq o(BC,sup6()eq

18、 o(BA,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AC,sup6()|2，则三角形ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形.6向量与互相垂直，其中1求和的值；2假设，求的值 题型五：求夹角围例7,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值围是 A.0, B. C. D.练习1设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值围2，,如果与的夹角为锐角,则的取值围是3设两个向量、，满足，、的夹角为60，假设向量与向量 的夹角为钝角，数的取值围.4如图，在RtABC中，BC=a，假设长为2a的线段PQ以点A为中点，问ABCa的夹角取何值时的值最大？并求出这个

19、最大值.以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系题型六：向量的模例8向量与的夹角为，则等于 A5B4C3D1练习1平面向量a与b的夹角为，a(2,0), | b |1，则 | a2b |等于 A. B.2 C.4 D.122平面上三个向量、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120，1求证：；2假设，求的取值围.3平面向量中，且，则向量_.4|=|=2，与的夹角为600，则+在上的投影为。5设向量满足，则。6向量的方向一样，且，则_。7、O，N，P在所在平面，且，且，则点O，N，P依次是的 )A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 心题型

20、七：向量的综合应用 例9向量eq o(OA,sup6()(2,2)，eq o(OB,sup6()(4,1)，在*轴上一点P，使eq o(AP,sup6()eq o(BP,sup6()有最小值，则P点的坐标是_练习1向量a与向量b的夹角为120，假设向量cab，且ac，则eq f(|a|,|b|)的值为()A.eq f(1,2)B.eq f(2r(3),3)C2 D.eq r(3)2圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()()A.eq f(3,2)a2Beq f(3,2)a2C.eq f(r(3),2)a2Deq f(r(3),2)a24(原创题)三角形ABC中AP为BC边上的中线，|eq o(AB,sup6()|3，eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()2，则|eq o(AC,sup6()|_.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.m(coseq f(3A,2)，sineq f(