高数作业题-解答

1、第三章中值定理与导数的应用第1节中值定理.若 f(x)在(a,b)可导且 f(a) = f 9),则(B )。A.至少存在一点 生(a,b)使f(U) =0 B.不一定存在点 上(a,b)使f传)=0C.恰存在一点 上(a,b)使fK) =0D.对任意的酷(a,b)均不能使ff)=0.已知f (x)在a,b可导，且方程 f(x)=0在(a,b)有两个不同的根 ot与P,那么方程D.无法确定根的存在性 )121 - xf (x) =0在(a,b) ( A )。A.必有根3.下列函数中在B.可能有根C.没有根-1,1上满足罗尔定理条件的是( TOC o 1-5 h z x,.2A. eB.In |

2、 x|C.1 - x.若 f (x) =x(x -1)(x-2)(x -3),则 f(x) =0 的实根个数为(3 )。A. 4个B.3个C.2个D.0个4.函数f(x)= x3在0,3上满足拉格朗日定理的条件，则 亡=(C )。 3A. - , 3B.3C.、3D.22x6、证明等式 arcsin x1 -x + arctan ，x 七(0,1)。 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 1 -x22证：设 f(x) = arcsinJ1x2 +arctan-=x= xw(0,1)1 -x2 HYPERLINK l bookmark32 o Cur

3、rent Document 2-2x1 -x - x1-2x12 1-x2f (x)=22- -(1 -x2) 2、1 x Lxi - x2 Jx 1 -x2x20 x、1 - x2X 1 - x2所以f(x)在(0,1)内是常数，f (x) = farcsM+arctan 工=-十 一12)2V3 3 6IP arcsin V1 -x2 + arctan , x = x e (0,1) 1-x227、设 0 b 1,证明：nbn(a -b) an -bn nan(a-b)。证：设f(x)=xn,则f(x)在b,a上连续，在(b,a)内可导，且f(x)=nxn-1,由拉格朗日定理知, 存在 朝

4、0,1),使得 f(a)-f(b)=f (9(a-b),即 an=n f-1(a-b),而 bb。设f(x)=arctanx ,则f(x)在b,a上连续，在(b,a)内可导，且1f(x)=2,由朗格朗日定理知：存在生(b,a),使得f (a) - f (b) = f ()(a -b)1 x口厂,1即 arctan a -arctan b =-(a -b),而 b -a11arctan a -arctan b =a -b a -b1 + 1总之，有 | arctan a - arctanb |_| a - b |9、设 f (x)在a,b上可微，证明存在w (a,b)使彳导 bf (b)af (

5、a) = f () + -f(-) b - a证：设g(x)=xf(x),则g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导，且g(x)=f(x)+xf (x),由拉格朗日中值定理，g(b)g(a) = g (与，即 bf(b)af(a) = f 伐)十 f 伐)b -ab- a10、设函数f (x)在0,口上可导，证明：在(0,n)内至少存在一点 且，使得f(E)sin 1 + f 代)cosE = 0。证明：设 f(x)=f(x)sinx ,则 f(x)在0,河上连续,在(0m)内可导，且 f(x)=f1r(x)sinx+f(x)cosx , f(0)=f(% 由罗尔定理知，存在 (0使得f3=

6、0 ,即f(Dsint + f K)cos七=011、若对任意的为公乏(a,b)有| f(x2) -f(x1) |M(x2 x。2,其中M为常数，试证明 f (x)为常值函数。证：对任意 x0, f(x) - f (Xo) m x -x0 x -X0* f(x) - f(X0) M lim x -x0 =0 x3Xo TOC o 1-5 h z 所以 lim axf x -x0f (x) -f (Xo) f (x0) = lim 二 0 xfx f0所以f(x)为常值函数。12、设y = f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数，且f(0)= f(0)=- = f (n j(0) = 0。试用柯

7、西中值定理证明：吟) =-一匣，(0 0 1)oxnn!证明：f(x)= f ( 1)= f (力一 f (0) f ( 2)n- n 4 n-1n -4n -2x n 1 n( 1-0 ) n(n -1) 2(nf(n1)(2)(n), =_ f ( n4)_ f( n/) - f (0) f (n)n(n-1) 2 nl n(n-1) 2( n0) n!因为。在0和x之间；J在0和。之间；4在0和之间，所以S在0和x之间,设彳=改(0 00 x所以ln x物出y=xq+tanx(Tn刈=一妈而1-lim -x x 0 - csc x= lim*0 x )0 x网晨) xtanx 0)e =

8、1,2 .ln ln arctan xlim ln y = limx :：x_)二71lim=lim -x_J :/、/2、(arctan x)(1 x )_2一 x-limarctanx7,求极限雪+xsinx -1) ln(1 x)x2 ln x解：lim -x )0 -xsinx -1)ln(1 x)2.x ln x1=limx_0sin x lnxe 一 1xln xlim - x 0 -ln(1 x)ln(1 x)sinx lnx-1elim x0 xln x, sinx cosxln x =limxQ1 ln xcosxln x1 ln xsin xln x所以lim x_0 -s

9、inx -1)ln(1 x)2x ln x二18.讨论函数f(x)(1+x”/xe 一在点x = 0处的连续性解：设,lny Jnx1x7ln(1 x) - xln 1 x -1Llim lnx 0 ：n=limln(1 x) -xx0：u所以limx0：.|2 x1x=limx 0 2xlimlim 口2x Q x(1 x)2x Q x(1 x)函数在x=0处，不连续。9.设函数f(x)具有二阶导数,解：limx0f (x) x=limx010.试确定常数解：limx0f(0)f (x)-12xsin 3x Asin 2x Bsin xf (0) =0, f(0) =1, f(0) =2试求

10、limx 0f (x) - xf (x) - f (0)=1f (0) = 1x -0y = x*(sin3x + Asin2x + Bsinx)当 xt3cos3x 2Acos2x Bcosx5x40时存在有有使得函数有极限，必须3cos0+2Acos0+Bcos0=0 ,即3+2A+B=03cos3x 2Acos2x Bcosx-9sin3x -4Asin 2x - Bsin x20 x327cos3x 8Acos2x Bcosx60 x2有使得函数有极限，必须27cos0+8Acos0+Bcos0=0 ,即27+8A+B=0于是可得，A=-4,B=5第3节泰勒公式,1 1.当址=1时，求

11、函数f(x)=的n阶泰勒公式。解:所以其中xf (x) =- , f (n)(x) =，在 x0=1 处 f (n)(x) = (1)nn!xxf(x) =1-(x-1) (x-1)2(-1)n(x-1)nRn(x)Rn =I?就 一1严=Tn)： (x -1严(n 1)2.求f (x )= xex的n阶麦克劳林公式。解：f (x) =ex xex =(1 x)ex f (x) =ex (1 x)ex = (2 x)exf (n)(x) =(n x)ex 所以f(0) =nf (x)= xex = x x23nxxRn(x)2! (n -1)其中Rn(X)=f，)n.1x(n 1)!(n )e

12、 n 1 x3.利用泰勒公式求极限:(n 1)! x2 _ -2 cosx - e 2I” - 4 x 0 sin x2 x2cosx -e 2斛：lim4i sin x12145x?1 461 x x o(x ) -(1 一 一 - x o(x )224284(x o(x)1124利用泰勒公式求极限2,lim x - x ln(1解：limx-1x -x2 ln(1 二)limx -x一X 2x+ o工1x2力25,利用泰勒公式求极限limex sin x -x(1 x)tanx解:exsin x -x(1 x)2 Jhx tan x(1 xlimx012133133x - x o(x )(

13、x - - x o(x ) - x(1 x)2662 ,，、x (x o(x)x=lim x021133x ( 一 )x o(x ) x(1 x) x2(x o(x)6,利用泰勒公式求极限lim (Vx6 +x5 - Vx6 -x5Xf 二lim x , TH解：lim (Vx6 +x5 -Vx6 -x5) = l x .x11(1/1 N 16x6x=lim x 1 +o i- 1+o I I = 一W刀3.若 f(x)在a,b上具有 n 阶导数，且 f (a)= f(b)= f(b)= f”(b)=i = f(n,(b) = 0证明在(a,b以至少存在一点 ，使得f色)=0。证明：f(x)

14、在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)=f(b)=0,由罗尔定理知存在：W(a,b)使得f =0；f(x)在匕上连续，在(4,b)内可导，且 f(a)=f(b)=0,由罗尔定理知存在Gw代 1,b)使得f ( 2)=0 ；以此类推可知：有&1b,且f(n-1)(En-1)=0f(n-1)(x)在%,b上连续，在(风,b)内可导，且 f(n-1)(4-1)=f(n-1)(b)=0,由罗尔定理知存在 &-1,b)使得f()=01_ _，-o f(x),F(x)在a,b上满足 x.设 00 B.C. f (x)在a,b上单减且 f (b) 0 ,又 f (a) 0 ,则(D )。f (x)

15、在a,b上单增且f(b)0,二阶导数f(x)0是y= f (x)的图形单调增加的(A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件4.若点(1,3)为曲线y =ax3+bx2的拐点，则(A )。3 ,93 ,9A. a= - ,b= B. a= - ,b = - C.a = - 22225.确定函数的单调区间：y -2x3 -6x2 -18x-7解：y =6x2 12x18=6(x3)(x 1)令 y =0 得 x=-1,x=3当x0,函数单调增加；当-1x3时，y3时，y0,函数单调增加；D. aJb 226,确定函数的单调区间：y2刎 .2(1 x2) -2x2x解：y2 2(

16、1 x2)22xx222(1-x2)2 2(1 x2)2令 y =0 得 x=-1,x=1当x-1时，y0,函数单调减小；当-1x0,函数单调增加；当x1时，y0 时，1 十 xln(x +，1 +x2) 11 +x2证：设 f (x) =1 +xln(x +d1 +x2) - Ji +x2 ,则 f(x)在0,+s)上连续, 且 f(0)=0,在(0, + 9)内可导,f (x) = ln( x 11 x2) xx i1 x22x1 +.2J1+x2J,2、1=ln(x . , 1 - x ) , xx 0时,f(x)f(0)=0 ,即 1 xln(x . 1 x2). 1 x21 38,证

17、明：若 x 0,则 sinxx x 。 61 3证明：设 f (x) =sin xx+ x ,则f(x)在0,+)上有连续导致，且 f(0)=0, 62f (x) =cosx -1 +-x，且 f (0) =0f (x) = -sin x + x ,且 f (0) =0f (x) = -cosx十1至0 ,所以f (x)在0,+ 0单调递增，当 x0 时，f “(x) A0 ,从而 f (x) A f (0) = 0 ,所以 f(x)在0,+ cc)单调递增，f(x)f(0)口 一1 3即 sin x x - x6.利用函数图形的凹凸性，证明不等式:x y x ye e 厂2e(x#y)。证明

18、：设 f(t)=e)贝U f(t)=et, ft)=et0,f(x) f(y) f函数图像是凹的，所以当x之e 2x时有.讨论方程ln x =ax (a 0)有几个实根？解：设f(x)=lnx-ax , f(x)在(0,+ 8)内连续，且可导。_ .1f (x) - -a,f (x)=。 xx*11 1I 一，一 4令 f (x=0)，得 x= 。f 一 | = ln1=Tna -1 是取大值。右 aa Ja当 a=e 时，f 1 = 0。a.J1、 一 一 .f 1 = 0,则 a=e 1。a.J1当x 一时，a一 . .11 , 一, 1. 1 一f (x) = a = (1ax )a 0

19、,在(0,一 上单倜增加。当 0 x一时， x xaaf(x)一时，f (x) = (1 ax ) 一时，f(x)f( 一)e-1 时，f( )=-lna-10 , f(x)无零点。lnx=ax 无解。a当 a0 , a1 一一1因为lim f(x)=-0,必有xi-,满足f(x1)0,由零点定理，(xi,一 )有零点。当 xT0aax0, f(x)在(0,1上单调增加。f(x)在(0,1上有唯一解。aaa1. 一 ,lim f (x) = -0 ,必有x2,满足f(x2) 1时，f (x)0 , f(x)在1 ,+oo)上单调减小，f(x)在1 ,+g)上有唯一解。所以当0 x 1 aaaa

20、时，lnx=ax有两个解。总之，当0ae-1时，lnx=ax 无实根。11.求曲线y =ea6nx的凹凸区间。arctanx解：y =earctanx earctan x二e122(1 x )-2x；2、2(1 x )arctanx二e1 -2x1arctan 1令y =0,得x =,此时y = e 2(1 x ) 21当x 0,曲线是凸的 21当x一时，y J0,曲线是凹的。2第5节函数的极值与最大值最小值.设函数f(x)可导，则f(xo)=0是在点处有极值的(B )。A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非必要又非充分条件D )。.函数y = f(x)在x = x0处取得极大值，则(A

21、. f(%)=0 B. f(x0) 0 C. f(%)=0或1()0 D. f(x0) = 0或不存在2.函数f(x)=x +ax +bx在x=1处有极值为一2,则(B )。A.a = -3,b=0 B.a=0,b = -3 C.a=3,b=0 D.a=0,b=3.求函数y=excosx的极值解：y =excosx+exsinx=ex(cosx+sinx),y =ex(cosx+sinx)+e x(-sinx+cosx)=2e xcosx令 y =0 得 cosx+sinx=0 = tanx=-1, x = kn - 4cos = . 2e40,2kj：*当 x=2kn -一时，y = 2e

22、4 4函数取极小值y = e2k 二-一 二14 cos =4当 x=(2k+1)n 时， 45一+ 2k二号函数取极大值y =e 4=2e2 2k 二二e 422k 二千3 二!4 cos42k二江=-.2e 4 ：二 0 ,cos42 2k 二四e 4216求函数y =xx的极值1 ln x解：y=xx =exln x1Tnx、! x /令 y =0 得 x=e。当0 x0,函数单调增加；当 xe时，y0,函数单调减小，所以 x=e是极大值 1点，y极大=ee7.方程exy+y=0所确定白函数y = y(x)的极值。 2c解：e y(2xy x y) y = 0 x2y-2xyey 二2

23、x2yx e令 y =0 得 x=0 或 y=0。有函数的定义可知，y旬。当x0时，y0时，y0,函数单调增加;所以x=0是极小值点，y极小=-1,一 254，一8.求函数y=x (x0)围成一曲边二角形 OAB ,在曲线弧OB上求一点，使 得过此点所作曲线 y = x 得x0 = - a根据实际问题，最大面积存在，所求x即为最大值点。 11.设f(x)是具有二阶连续导数的偶函数。证明：若 f ”(x) #0,则x =0为f (x)的极 值点。证：f(x)为偶函数，其导函数为奇函数。由于f(x)具有二阶连续导数，所以f(x)必定连续，由f (-x)=-f (x)可得f(0)=0,再由fM 知x

24、=0为极值点。x12.证明当x#0时，有不等式e 1+x。证：设 f(x)=ex-1-x,则 f(x)=ex-1; f(x)=ex0令f (x)=0得x=0 ,所以x=0时唯一的极小值点，就是最小值点，f(x)的最小值是f(0)=0。当x加时，f(x)0 ,即x = 0时，有不等式ex1+x。的切线与OA, AB围成的三角形面积最大。解：y=x2, y =2x在弧线上任取一点(Xo,yo),此点处的切线方程是y-yo=2xo(x-X0)切线与x轴的交点横坐标是 x =；切线与x=a的交点纵坐标是 y = 2x0a-x：2所以切线与OA,AB所围三角形面积为 S=1 2a - x0(2x0a x

25、；)22设 Sx0(x) JjQax。-x。2 (2a - x0)(2a - 2Xo)3 =04A. f(1) , f(0) , f(1) - f (0)C. f (1) - f(0)f(1)f(0)3.设f(x), g(x)是恒大于零的可导函数, 时，有(B )。A. f(x)g(b)f(b)g(x)C. f(x)g(x)f(b)g(b)4.设f(x)具有二阶连续导数，且f(0) =0,” ；(：)=1，则(B )。综合练习一x.设k0,则f(x)=lnx+k在(0,)内零点的个数为(B )。 eA. 3B, 2C,1D,0.设在0,1上 f(x) 0,则有(B )。B. f. f(1) -

26、 f(0) . f(0)D. f (1) - f (0)f(0) f(1)且 f (x)g(x) - f (x)g(x) 0。则当 a x bB. f(x)g(a)f(a)g(x)D. f (x)g(b)f (a)g(a)A. f(0)是极大值B. f(0)是极小值C. (Qf(0)是拐点 D, f (0)不是极值5,已知 lim f(x) f(a) = 1 ,则在 x = 2处(C )。 x a (x - a)A. f(x)导数存在，且f(a) #0 B, f(x)取得极小值C. f (x)取得极大值D. f (x)导数不存在.设f(x)WCa,b,在(a,b)二阶可导。又连接(a, f (a)与(b, f (b)两点的直线与曲 线 y = f (x)相交于(c, f (c) a c bo 试证：(a,b)使得 f(t) =0。解：因为连接(a, f(a)与(b, f(b)两点的直线与曲线 y= f (x)相交于(c, f(c),所以w f(c) - f(a) _ f(b) - f(c) _ f(b)- f(a) c -ab -cb -1有拉格朗日中值定理，存在Ow(a,c)使得f (j)JMfl；c - a存在2c,b)使得J);b - c再由罗尔定理知存在 生(。,与使得f不)=0.设 f(x) WC0,1,在(0,1)内可导，且 f (0) = f (