高等数学竞赛讲义多元微分学

1、第三部分多元函数微分学一、多元函数的概念、极限与连续性内容要点一、多元函数的概念二、二元函数的极限三、二元函数的连续性.二元函数连续的概念.闭区域上连续函数的性质定理1(有界性定理)设 f (x, y)在闭区域D上连续，则f(x, y)在D上一定有界定理2(最大值最小值定理)设 f (x,y)在闭区域D上连续，则f (x,y)在D上一定有最大值和最小值 max f (x, y) = M (最大值)，min f (x, y) = m(最小值) (x,y).D(x,y). D定理3(介值定理)设f (x, y)在闭区域D上连续，M为最大值，m为最小值，若m c EM ,则存在(x0, y0)亡 D

2、,使得 f (x0, y0) =C典型例题一、求二元函数的定义域例1求函数z =arcsinx十*：xy的定义域 3例 2.求函数 z = d4-x2 -y2 +ln(y2 -2x+1)的定义域二、有关二元复合函数例 1 设 f (x + y,x - y) =x2y + y2,求f (x, y)例2设z =6+ f (J7-1),当y =1时，z=x,求函数解：由条件可知x=1 + 6一1),令 Jx -1 = u,则 f(u) =x1 = (u+1)2 -1 = u2 + 2f (x) = x2 2x, z = y x 7(a #0常数)三、有关二元函数的极限例1讨论lim (1 x y红解

3、：原式=lixyx2xy(x y)而 limxT：yaxy.1 t令 t = xy lim (1) = e： t又lim；二axy(x y)-1lim 、：？yy a y(1 2) x1 二原式=ea2例2讨论回yx 0 x y解：沿y = lx原式=limlx3- 2lx441 l2沿 y =lx ,原式=lim ；丁 x 0 x4 l例3讨论1雪弁x,原式的极限不存在解:x4 y2 - 2x2(x2 - y)2 -0)3 x2y|2 0-2x y2x2|y1=2y一,1 I1-而“月。y|2 =0； y0 20=0用夹逼定理可知原式=0:、偏导数与全微分内容要点一、偏导数与全微分的概念二、

4、复合函数微分法一一锁链公式三、隐函数微分法典型例题例1设u = f (x, y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y = y(x)及z = z(x)分别由下列两式确定exy xy = 2 和 e 1 x-zfzez 1解四. fx fy dy dxdxdz fzd；由 exy -xy =2 两边对x求导,得e及y + xdy(y + x2)=0 dxdx解出 曳=一)(分子和分母消除公因子(exy -1) dx xx -z,x sintx sin(x - z) /d dz、由 e = ddt两边对 x求导，行e = (1 - 一)o t(x - z) dx解出dx sin( x - z)所以dud

5、x。巨1-维乌三x x .:y sln(x-z) cz例2设u = f (x, y, z)有连续偏导数，z=z(x, y)由方程xex - yey = zez所确定求 du解一：令 F(x,y,z)=xex-yey-zez 得F； = (x+1)ex, F； = -(y + 1)ey,F； = -(z +1)ez则用隐函数求导公式得：z.:xFxFz：zy1y一二e二 yz1-:u:xz=fxf z 一 二二 x:u：:yfyfz = fy - fz二 yjyz - 1du = dx- dy= (fxfz 1 e*dx(fy- fz -1 ey)dyfxfyz 1z 1例 3 已知 F(x，)

6、=0 确定z = z(x, y)其中F(u,v),z(x, y) z z均有连续编导数，求证 x y =z1fyz z1Gx=Fu，Gz根据隐函数求导公式工二 Gx _zFufx -Gz xFu yFv贝U得 x y = z 二 x二 y证：F(u,v) =F，Y) =G(x,y,z) =0Fv 1,Gz =FuT)匕(一2) TOC o 1-5 h z zzz.z Gy _zFv =-G?= xF； yFv例4设z= f(x y,x+y )+g(x+ky) , f,g具有二姐连续偏导数，且 g不恒为0.,-2.2.2若z+2工z+4=4f2；,求常数k的值(2005)x二x：y 二y例5设二

7、元函数f (x,y)有一阶连续的偏导数，且f (0,1)= f (1,0)。证明：单rr白C位圆周上至少存在两点满足方程y f (x, y) - x f(x,y) = 0。(2002) HYPERLINK l bookmark62 o Current Document L、Lixy例6 曲面z =x2/2+y 2-2平行平面2 x +2 y -z=0的切平面方程是 2x+2y-z-5=0.(首届中国大学生数学竞赛 2009)三、多元函数的极值和最值典型例题一、普通极值、最值例1求函数z =x4 + y4 -x2 -2xy 一 y2的极值-:z3 c c：z3 c c解 一 =4x -2x -2

8、y, 一 =4y -2x -2y二 x二 y要求=0,得x + y:x.:y33=2x = 2 y故知x = y,由此解得三个驻点x =1在点y =0,y =1,2 r二 z 22 =12x:x-2,=二-2, .x t yJ:z2 c2 = 12 y - 2二 y(1, 1)处；：2z(1,1) tx=10,2zB =.:x；:y(1,1) = -2, C(1,1)=10一 _ 2 一 =AC-B =96又 A=10 0,（1,1）是极小值点极小值Z(1,1) = 2在点(-1,-1)处；：2z(二,)ex=10,.2二 z:x Fy（,）二-2,j2z -2 -y(,_1)=10:=AC

9、-B2 =96 0A =10 0,（_1,一1）也是极小值点极小值Z（二）=一2在点(0, 0)处.2A=g r J x(0,0).2-2,B = z:x：y(0,0)-2, :z一 2二 y(0,0)A = AC - B2 = 0不能判定这时取x =苒y = Y （其中8为充分小的正数）则4 一 2_取 x = y =时 z = 2- 4 ；：二 0由此可见（0,0）不是极值点求函数f( x,y ) = 4x4 +y4 - 2x2 - 2啦xy -y2 的极值 (2008)求函数一,2 .2 .r t .f(x,y)=x + 4y +15y 在 c =0,z 0)用拉格朗日乘子法 ,令 53

10、2150=F(x, y,z, 1)= xyz1502 Fx :-x = 0 x yz 25Fy1502xy z2y =09Fz1502 xyz2 1z =04F.=flj2252322J -1 =022(4)450用x乘(1) +y乘(2) +z乘(3)得十2九=0 xyz TOC o 1-5 h z ,450则 2=(5)xyz将(5)分别找代入(1), (2), (3)得532x -, y -, z -3-.3-.3532所以P点坐标为（一产，-丁=,=）而取小体积 V =15/3 ,33 .3例2求坐标原点到曲线C:2,22.x +y -z =12x y - z = 1的最短距离。222

11、2解：设曲线C上点（x, y, z）到坐标原点的距离为d,令W = d =x+y+z,约束条件x2 +y2 -z2 -1 =0, 2x- y z_1 = 0用拉格朗日乘子法，令F = F (x, y, z, ,)=(x2y2 z2) + ； (x2y2 - z2 -1) 1 (2x - y - z -1)Fx = 2x 2 x 2=0(1)Fy =2y 2 y -=0(2)Fz = 2z - 2 z -=0(3)F . = x2 y2 -z2 -1 =0(4)F ： = 2x -y -z -1 =0(5)首先，由（1）, （2）可见，如果取 九二1，则N=0,由（3）可知z = 0,再由（4）

12、, （5）得22x y -1 =0, 2x -y T = 0 x =0)=-14x =53这样得到两个驻点P1(0,-1,0),4 3B（一,0）其次，如果取九=1,由（3）得以=0,再由 5 5(1) (2)得 x = 0, y = 0这样(4)2成为-z =1,是矛盾的，所以这种情形设有驻点。最后，讨论九二1,九1 T情形，由（1） （2）, （3）可得2x=,y =, z=代入(4),(5)洎去附导3人9九十8 = 0此万12(1)2(1 - )程无解，所以这种情形也没有驻点。综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1,由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为 1。另外，由

13、于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。例3已知函数z = f(x, y)的全微分dz=2xdx2ydy,并且f (1,1) = 2f(x,y)在椭圆域 TOC o 1-5 h z 2、D =(x,y) x 设 L =x2 - y2 2 (x2 L -1), +? E1 上的最大值和最小值 。解法1由dz =2xdx -2ydy可知22z = f (x,y) =x - y C,再由 f (1,1) =2,得C =2,故 -22_z = f (x, y)= x _y 2开开令= 2x = 0 = -2y = 0,解得驻点(0,0).；x：:y2在椭圆 x2 += 1, z =x2 (44x2)+2，即4z =5x2 -2(-1 x 1),其最大值为zx量=3,最小值为z = x=0=-2,再与f (0,0) =2比较，可知f(x, y)在椭圆域D上的最大值为3,最小值为-2。解法2同解法1,得驻点(0,0)