牙轮钻头的岩屑破碎机理及可钻性的分形法

1、牙轮钻头的岩屑破碎机理及可钻性的分形法作者：中国石油天然气股份有限公司渤海钻探第一钻井公司 40615队工程师：李富摘要：为满足高速优质钻井的要求，需要对岩石可钻性做出快捷、精确的判 断。利用分形几何理论，研究了钻井过程中牙轮钻头的破岩机理及岩屑的破碎概 率等问题。根据Bond裂纹学说，建立岩石可钻性极值和岩屑分形维数的关系模 型。关键词：牙轮钻头；岩石可钻性；分形维数；破碎机理；等破碎概率中图分类号：TE21;TE921正文岩石破碎机理研究是石油钻井工程中一个重要分支，主要研究钻 头与地层岩石之间的作用关系及岩石的破碎规律问题，是决定钻进效 率的基本因素之一。目前确定可钻性指标的方式是在室内

2、通过测试岩 石试样的力学性能，或模拟真实钻进条件用微钻头来研究可钻性指 标。微钻头法测定结果符合程度高，但由于室内试验滞后于实际钻进， 费用高，周期长，妨碍钻井速度的提高。为解决以上问题，引入分形 理论，提出一种用岩屑粒度分布分形维数来确定可钻性级别的测试方 法，简称分形法。该方法以井底返出岩屑作为研究对象，可以边取样 边测定，实现随钻随测，从根本上解决了传统的取心法德滞后性、费 用高等缺点。1分形概念分形几何学是一种定量的研究和描述自然界中极不规则且看似 无序的复杂结构、现象或行为ide新方法，主要内容是研究一些具有 相似性的不规则曲线和形状；具有自反演性的不规则图形；具有自平 方性的分形变

3、换以及自仿射的分形集等等。由于没有特征尺度，分形 体不能用一般的测度进行度量，描述分形的特征参数叫做分形维数， 简称分维，用D表示。分形的基本特征是自相似性，而且自然界中 的自相似性或标度不变性常常是统计意义上的。在实际应用中，这种 自相似性可以是数学意义上的严格自相似，也可以是“拟自相似性”。 通常把几何上并不明显的自相似性转变成统计意义上的自相似性，文 中所研究的砂岩破碎体就是在统计意义下的自相似性。分形几何理论在20世纪70年代后建立后，迅速在物理学、地理 学、冶金学、材料科学和计算机图形学等领域得到应用，例如，在结 构性岩体爆破破碎分形、矿山岩体断裂构造分形、岩石分形强度理论、 岩石破

4、裂、岩石损伤的研究方面。钻井过程中的岩石破碎问题可以用 分形理论来描述钻井上返岩屑的分形规律，进而确定岩石破碎的难易 程度。2牙轮钻头的砂岩破碎体分形石油钻井中使用的钻头分为刮刀钻头、牙轮钻头及金刚石钻头等 三大类，其中牙轮钻头占完成进尺的80%-90%。本模型选择的钻头 即为牙轮钻头，地层岩性为砂岩。岩屑颗粒尺度大于了的岩屑颗粒数 量N与r成幂律关系N=Cr d （1）某时刻t时，粒径为x的砂岩碎屑的质量分布函数为M（x,t）。则dt时间内，粒径介于xx+dx的砂岩碎屑的质量为/ t M(x,t)/ xdxdt碎屑质量可分为两部分：砂岩碎屑以速率S (x)破碎为下一级 粒径的碎屑和由粒径为a

5、的砂岩碎屑破碎成粒径介于x-x+dx的砂岩 碎屑的质量/ t M(x,t)/ xdx=-S (x) M(x,t)/ xdx+f xx maxs(a) M(a,t)/ a B(x,a)/ xdxda (2) 式中，B(x,a)表示由粒径a的碎屑破碎成粒径为x的砂岩碎屑的质量 分布函数。砂岩碎屑的质量保持不变。试验表明，S (x) =Kxb，B (x,a) =(x/a) b。为简单起见，令M(xmax，t) =1，则变为 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark19 o Current Document M (x,t) =1-exp(-kxbt)(3)令kt=xc-b，

6、xc相当于度量尺寸，可以假设xc=1。所以，当x1(xc=1) 时有 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document M (x,t) =xb(4)可见，牙轮钻头破碎砂岩得到钻屑的质量分布是分形。由式(1) 可以得到砂岩破碎体的D表达式D=3-b(5)式中，b为M (x,t) /Mx在双对数坐标下的斜率值，M (x,t) /M 为直径小于x的碎屑颗粒的累计百分含量。3等概率砂岩破碎体破碎机理 3.1取砂岩破碎体试样以大庆油田升深2-7井上返岩屑为试验对象，该井位于松辽盆地 东南断陷区徐家围子断陷代升平构造上，上返岩屑由牙轮钻头破碎地 层岩石得到，层位取自327

7、03520m，岩性为砂岩、页岩、泥岩为主。 每隔10m取样一次，每隔样本质量大约在200g左右，自然干燥，岩 性描述后装袋并记录井深。井底三牙轮钻头轮齿对岩石的破碎主要是冲击、压碎、剪切作用。 适用于软和中硬地层的剪切作用是通过牙轮钻头锥顶的超顶、复锥和 移轴产生滑移来实现的，破岩产物多以片状岩屑为主。3.2岩屑破碎体的等破碎概率上返岩屑虽然粒度不同、形状各异，但从宏观来看，至少存在一 个近似的三角锥体。若从几何角度出发，用三角锥体的变化来模拟岩 石的破碎过程，则有：在钻头轮齿的作用下，岩石由一个大的三角石 块以线性相似比一Y =1/3、等破碎概率Pc破碎成几个近似的小三角形 石块，由于破碎碎

8、屑颗粒间相互摩擦、挤压或与钻头碰撞同样的方式 发生的再次破裂，部分石块再一次破碎成更小的三角形石块。如此破 碎在一定的尺度范围内进行下去。此过程可以用下面的方程式描述Nm=27 (1-Pc)1+27Pc+(27Pc)2+(27Pc)3+(27Pc)m-i (6)Nm+1=27 (1-Pc)1+27Pc+(27Pc)2+(27Pc)3+(27Pc)m (7)得Nm+1/ Nm27 Pc(8)有式(1)可得27 Pc =3d由于岩石破碎体的岩石体积尺寸分布区间广，下面用归纳法 给出一个普遍的推导。假设边长为h的立方体岩块破碎为h/r的n个 子单元，岩屑破碎过程是严格的自相似，每次破碎将是以Pc破碎

9、为n个下级碎屑颗粒，相似比Y (0V 1)，同理可以推导得 TOC o 1-5 h z n Pc =Y -d(10)赵中岩提出的另一个模型，假设立方体破碎技术为B, 一次一个 单元破碎为B3个子单元。若将他们进一步分为可进一步破碎单元Nf 和不破碎的坚固单元A,则N广Bd(11)赵中岩进一步证明，分形维数与破碎体形状无关。注意到N广Pc B3,式(10)可变为Pc =Bd-3(12)由式(12)可知，砂岩破碎体Pc，不仅与其D，也与每级破碎单元 B有关。其中B=2,3,4，.，m。在图1中看到，岩石破碎单元基 数B=2时，初始值偏大；而在B=4,5或值更大时？扁小趋于0且又 过于接近，所以岩石

10、破碎单元基数B=3时是最合适的。当B确定后， Pc是随D增大而增大的指数式。当Pc =0.5时，破碎与未破碎的体积 相等的临界状态，即D=2.37时，为临界破碎分维。岩石的Pc是钻头 破碎岩石能力的表现，也是该组岩屑的整体破碎程度的表征。分形指数图1岩石的灯破碎概率随分形维数变化关系3.3岩石破碎体试验结果将所取25组岩屑试样一一进行筛分，按照式（4）计算D。实验结果表 明：统计的相关性系数在0.96以上，相关程度极高，D在2.22.6 之间变化，牙轮钻头对岩石的Pc分布在0.3-0.7之间，见表1。表1 实验结果岩性组数DPc砂岩102.3-2.60.4-0.7页岩82.3-2.50.4-0

11、.6泥岩72.2-2.40.3-0.5实验研究表明：砂岩碎屑的破碎过程分为2个阶段：（1）在低围 压作用下，起破碎为沿胶结带破裂，砂粒保持完整，这时砂岩碎屑以 砂粒和胶结物碎屑为主；（2）随着围压的增加，其破碎为孔隙破裂，砂粒相互接触，在接触处产生高压缩应力，砂粒发生沿品或穿品破裂， 破碎难度大幅度增加。由于上返岩屑取自3270-3520m，地层岩石的 围压大，钻头破碎单位体积岩石耗功随之增大，对钻头而言岩石可钻 性极值增大了，单位时间内破碎体积减小，粒度变小。使得岩屑粒度 趋向细粒端，造成分形维数较高。3.4破碎能耗与破碎体粒度分布的关系岩屑分形模型破碎能耗u的微分表达式为du = -c4(

12、13)X 4 - D式中，C为常数。式(13)概括了所有D取值的粒度分布与破碎能耗的 关系。当D值取值为2,2.5和3时，对比式(13)积分就得到了岩石破 碎比功三大学说中的比功表达式Rittinger新表面学说比功a表达式 TOC o 1-5 h z a = K (土 - )(14)Bond裂纹学说比功a表达式a=Kbdm-土)(15)Kick相似学说比功a表达式a = K lg(d)(16)k dm式中，Kr,Kb和Kk均为材料常数；dm为粒度平均值，mm； d为初始 粒度mm。破碎比功三大学说在解释破碎能耗对岩石作用方式完全不同，但 在分形模型破碎能耗微分表达式中得到了统一。因此，确定D

13、不仅 可以得到粒度分布，而且又是判别破碎能耗对岩石作用方式的依据。 试验表明升深2-7井岩屑破碎体D变化区间近似Bond裂纹学说破碎机理，可见其能耗对岩屑的作用主要用来增加裂纹使岩屑破碎。4砂岩破碎体分维与可钻性的关系众所周知，岩石可钻性极值Kd与微钻时T之间的关系式K =log；(17)研究表明，砂岩破碎体D与砂岩抗压强度之间存在着近似的 正比关系。笔者研究发现：岩心的压入强度Py、微钻头可钻性极值 Kd和岩石破碎体D液存在着近似的正比关系。Py和Kd是岩石可钻性 的重要描述参数，岩石破碎体D与他们建立关系，也就与岩石可钻 性就爱那里关系。由功等于功率(W)与时间(s)的积W=NT(18)即

14、T=W/N(19)式中，W可以由式(15)与破碎体积V的积得出，W=a V,式(15)中 dm是一个含有D和d的函数，且随D的递减的指数函数，而d可以 根据岩屑尺寸实际情况来确定。N为牙轮钻头破碎岩石所需的功率， N=CPnDh，P为钻压，n为转速，Dh为钻头直径。所以式(19)得T = aV / CP 气)(20)将式(20)代入式(17 )中aV欧(21)至此，建立D与Kd之间的函数关系，根据室内微钻头试验得到由D表示的分级标准如下表，表中1-4级为软，5-8级为中，9-11级为硬。表2中数据来源于松辽盆地岩心。岩屑D随Kd增大而 增大，且D和Kd由明显的对应性。一定区域的D代表着不 同K

15、d的大小，而且分级区间大小适宜。由于PDC钻头岩屑 与牙轮钻头岩屑在尺度和分布上有很大区别，所以分级表具 体分布区间有待于进一步研究。Kd1234567891011D1.731.731.851.952.072.182.292.402.512.622.741.851.952.072.182.292.402.512.622.742.85表2牙轮钻头可钻性极值的分形维数表征5现场精度检验应用可钻性分形模型(21)编制的地层可钻性预测软件，并制备相 应测定工具，对松辽盆地东南断陷区徐家围子断陷带升平构造、松辽 盆地中央断垄区安达一肇州背斜带、松辽盆地西部断陷区古龙断陷北 部葡萄花构造中临近3 口井进行取样测试。共取试样75组，测试项 日有：岩心的室内微钻头试验、试验岩屑的分维和上返岩屑氛围等。 实验结果表明：(1)岩样破碎体D和Kd存在线性相关关系，其相关 性因子为0.826；(2)取心破碎得到碎屑D和分级表中D之间误差波 动为2%-11%，整体平均值为6.08%；临井上返岩屑和分级表中D之 间误差波动为1%-9%，整体平均值为4.19%； (3)试验中砂岩的预测 效果明显要高于泥页岩的预测值，由此造成整体预测误差增大。根据 以上试验结果，笔者对分级进行了相应的修正，使其精度得到进一步 提高。