定积分的性质课件

1、第二节定积分的性质 第1页，共65页。一、定积分的基本性质 交换定积分的上下限，定积分改变符号，即 上下限相同的定积分等于零，即第2页，共65页。 定积分不依赖于积分变量的记号，即 如果在区间 上被积函数 ，则 第3页，共65页。 线性性质： 可积函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即第4页，共65页。证 ：第5页，共65页。 定积分对于积分区间具有可加性，即证明：先设 由于函数在 上可积，在 时，Riemann和 的极限总是存在。 由于此极限与区间 的分割无关，因此可以使 为一个分点，将原有区间分成两个子区间：和第6页，共65页。 此时区间 上的

2、Riemann和就等于子区间 和 上 Riemann和的和，即 在 条件下，上式两端同时取极限即得第7页，共65页。再设 ，由 ，得 证毕第8页，共65页。 保号性质：如果 ，则证明：由 得 第9页，共65页。 保序性质：如果 则 证明：令 ，由得第10页，共65页。 绝对值性质：证明：由 ，根据得 又 故 第11页，共65页。附：按绝对值不等式性质若则因此，由第12页，共65页。 定积分估值定理： 设 和 分别是函数 在闭区间 上的最小值和最大值，则证明：由 根据定积分的保序性质有 第13页，共65页。故 定积分中值定理： 如果函数 在闭区间 上连续，在上至少存在一点 ，使得第14页，共65

3、页。证明： 设 和 分别是函数 在闭区间 上的最小值和最大值 .将估值定理不等式各侧同除以 得到 由于数值 介于函数 在闭区间 上的最小值和最大值之间 第15页，共65页。 因此，按连续函数的介值定理，在 上至少存在一点 ，使得 积分中值定理的几何解释 函数曲线下面积与矩形面积相等。第16页，共65页。 定积分第一中值定理： 如果函数 在闭区间 上连续，函数 在 上可积且不变号，则在 上至少存在一点 ，使得 第17页，共65页。证明：设 ，若则根据定积分保序性质 又由于有（保号性）第18页，共65页。在 上至少存在一点 ，使得 证毕按连续函数的介值定理第19页，共65页。【例题】根据定积分的性

4、质，比较下列函数的大小。(1) 与解：由于在 上因此在 上故第20页，共65页。第21页，共65页。(2) 与解：由于在 上因此在 上故第22页，共65页。第23页，共65页。解：(3) 与由于在 上比较 和 的大小。令则当 时， ， 为单调增加且故即所以第24页，共65页。第25页，共65页。(4) 与解：由于当 时故因此在 内第26页，共65页。第27页，共65页。【例题】估计下列定积分之值 解：被积函数化为 在区间 上单调减少，故故（根据估值定理）按定积分的估值定理，第28页，共65页。 解：被积函数 ，在区间 上单调增，所以 故第29页，共65页。 解：被积函数在区间 内 ， 单调减故

5、 按定积分的估值定理，第30页，共65页。 函数在给定区间小于零。第31页，共65页。二、积分上限的函数和它的导数 按前述定积分的定义可知，若函数 在区间 上连续，则函数在 上可积分，即其几何意义如图：第32页，共65页。 设函数 ， 为区间 上任一点因此函数 在部分区间 上可积。 显然，此时在区间 上的定积分 的积分值应为其上限 的函数。即第33页，共65页。 在这个表达式中， 既是积分上限又是积分变量，为避免混淆，把被积表达式的积分变量改写为 ，因此有称为积分上限的函数显然第34页，共65页。积分上限函数的几何解释： 积分上限函数为区间 内曲线下的面积，显然，若上限 变化，则其面积值也随之

6、变化。第35页，共65页。积分上限的函数的重要性质 ：定理：如果函数 ， 为闭区间 上任一点，积分上限的函数 在闭区间 上可导，其导数为 第36页，共65页。证明：设 ，当积分上限 有一个增量 时，将引起上限函数增量为 第37页，共65页。根据定积分的中值定理有按导数定义有注：由于 时，必有 ，且第38页，共65页。因此 积分上限函数在闭区间 端点 处的右导数 第39页，共65页。由于 时，必有 ，故其中 积分上限的函数在闭区间 端点 处的左导数 第40页，共65页。由于 时，必有 ，故其中结论：连续函数 取变上限积分后的函数 的导数就是 本身。 即积分上限函数的导数是被积函数本身。第41页，

7、共65页。定理（原函数存在定理）即连续函数的原函数一定存在。上述定理也可以表述如下：第42页，共65页。【例题】 设变上限积分的函数为 ，则由自变量增量 引起的函数增量 设 ，则第43页，共65页。【例题】求下列变限积分所确定函数的导数 解： 解： 第44页，共65页。 解：第45页，共65页。 ，式中 为可导函数。解：解：令 复合函数的导数第46页，共65页。解：解：函数乘积的导数第47页，共65页。解：解：方程两侧同时对 求导：得故第48页，共65页。 解：参数方程的导数第49页，共65页。【例题】 求极限 解： 此极限为“ ”未定型，可以应用LHospital法则求解 第50页，共65页

8、。【例题】求下列函数的极限型解：第51页，共65页。型解：型解：第52页，共65页。三、 Newton-Leibniz公式 此外，还有 按原函数和积分上限函数的概念， 是被积函数 在闭区间 上的一个原函数。 第53页，共65页。定理：如果函数 是连续函数 在区间 上的任意一个原函数，那么-Newton-Leibniz公式 第54页，共65页。证明：由于且 即 和 都是连续函数 在区间 上的原函数. 二者相差一个常数 若令 ，则若令 ，则第55页，共65页。两式相减得Newton-Leibniz公式讨论： Newton-Leibniz公式的意义：连续函数在区间上的定积分是此函数任意一个原函数在该

9、区间上的增量。第56页，共65页。 -反映了定积分与微分的关系。积分是微分的逆运算。 由定积分的中值定理第57页，共65页。 表明定积分的中值定理和微分的中值定理在Newton-Leibniz公式中实现了圆满的统一。注：这里所有的 是一一对应的 。由微分中值定理第58页，共65页。按定积分中值定理： 若 在 上连续，则在 内至少存在一点 ，使成立。按微分中值定理： 若 在 上连续，在 内可导，则在 至少存在一点 ，使成立。第59页，共65页。按Newton-Leibniz公式 所以 表明：积分中值定理和微分中值定理在Newton-Leibniz公式 中得到统一，且 ， 是一致的。第60页，共65页。【例题】用Newton-Leibniz公式计算定积分 解：由于， 是 的一个原函数因此被积函数是