2018考研数学疯狂做真题之高等数学三一元函数积分学答案

1、第三章一元函数积分学【说明】（1）所有重难点题目及其方法总结与结论补充，“超精讲”均有非常详细的讲解!这也是做最大的收获，旨在完善知识体系，对重要题型及其方法结论形成完美补充！此处只简单，便于大家快速确定自己的对错；（2）简单题目了详细（这并不是咱们超精讲，也不是冲刺阶段的重心所在）大题配套了中心严格评分标准！学会按标准来答题.例 1【详解】应选（B）例 2【详解】应选（A）例 3【详解】应选（B）例 4【详解】应选（C）例 5【详解】应选（C）例 6【详解】应选（A）例 7【详解】应选（B）当0 x 时， 0 sin 4ln s i，于是o t ln sin xdx ln cos xdx l

2、n cot xdxc444，故000例 8【详解】应选（D）x 2x2C 或arcsinC ，其中C 为任意常数例 9【详解】应填2 arcsin2 dx dx arcsin x 2 C2 2)24也可令t x ，则1重要题型二 不定积分的计算重要题型一 定积分的定义与性质 dx 2 dt t x i Cn2 ar cs i n C 2 2 ar cs x(4 x)24 t2例 10【详解】应填cotx C ，其中C 为任意常数l n ( s ixn i n )2dxdcxot si n2 x cot cot1)dxx C 32C ，其中C 为任意常数ln(例 11【详解】应填例 12【详解】

3、e) C例 13【详解】arctan ex1e2 xdx arctan e 2x2 xd (e)2分1 dex earctan e 22 xx4分e (1 e 1 (e2 2注：2 x2 x) arctan ex ) C中缺任意常数C扣1分6分例 14【详解】设 x tan u ，则dx sec2 udu1 分duco sudu c o su ( 2 t2aun1)原式=22u sin 2uc os d ( s i un)1 sin2 u3分= arctan(sin u) C5分 arctan C（其中C为任意常数）x6分1 x2例 15【详解】2 C1例 16【详解】设 x tan t ，则

4、xearctan xet tan tdx sec tdt e sin tdt2t33(1 x2 )(1 tan2 t)22又2 et sin tdt etd cos t et cos t et cos tdt et cos t et sin t et sin tdt12故 e sin dt ttsin tco t)C.因此(x 1)exearctan xarctan x 1x1C Cdxe2arctan x3(1 x2 )22其中C 为任意常数.1例 17【详解】应填 (ln x)22arcsin ex例 18【详解】 ln(11 e) x C2 xex1x2 C例 19【详解】例 20【详解

5、】 arcsinx ln xd)dx2分x 26分xx 28分1 x 4 2) 2x C10分3 1例 21【详解】应填124例22【详解】应填 1 sin xsin xf (x) 有一个原函数，则 f2x3重要题型三 定积分的计算 2x222 1 2 0 2 4 1 34例 23【详解】48例 24【详解】应填例 25【详解】应填1 e1 例 26【详解】12例 27【详解】应填令t x 1，则11 122212112f (x 1)dx 1 f (t) 2 tet dt (1)dt 0 t 1 2 1121222例 28【详解】由题意知 f (0) 0 ， f (0) 2 ， f (3) 2

6、 ， f (3) 2 ， f (3) 03(x x) f (x)dx2033| (x x) f (x) (2x 1) f (x)dx200333| (2x 1) f (x)dx (2x 1) f (x) 2f (x)dx00033| 7 (2) 2 2f (x)dx 16 2 f (x) 16 4 2000e2例 29【详解】应填111111d 1 e e e1e222222e2x x x21例 30【详解】应填 ln 32例 31【详解】应填44x t ，则设 20 x cosxdx 0 2t cos tdx 2t sin t 4t sin tdt|2200| 4t cos t 4cos t

7、dt 4002例 32【详解】应填例 33【详解】 4ln 2例【详解】应填2xe2a2 x 0e2a121a1114aaa0e 2dxx e2a( 2a 41) 4e422200012解得a 24例 35【详解】应填2 24sin x|21 cos02 32例 36【详解】应填例 37【详解】 ln(2 2例 38【详解】ln 2423）13例 39【详解】应填3 2tdt2t|0令t x 2 ，则原式=arctan(t2 9)t3304e2例 40【详解】应填例 41【详解】应填5重要题型四 反常积分的计算 sec t tan tdtdx令 x sect, dt .dx sect tan

8、tdt,则于是2 2sec t tan t2x x2 11004例 42【详解】应填令 x sin t ，则22 4xdxsin t cos tdtd (cos t)1 arctan(cos t) 2(2 sin2 t) cos t1 cos2 t00(2 x )21 x20012例 43【详解】应填1 d (1 x2 )xdx1 1102=2 (1 0 2例 44【详解】 1例【详解】应填例【详解】应填例【详解】应填ln 2 ln x 1 ln x ln xd dx ln x dx ln 2(1113例 48【详解】应填 81 1 arctan x 1 1 3112 2 4228例 49【详

9、解】应选（D）例 50【详解】应选（D）例 51【详解】应选（D）例 52【详解】应选（C）6例 53【详解】应选（A）令 x2 t2 u ，则d0 11 d1x2原式x2 f (u) du 0 f (u)du f dx 22 dx2例 54【详解】应填sin x2令 x t u ，则2f (x ) d dx d dx d dxx0 xsin(x t) dt ( sin u )du sin u d2 u sin x2220 x0例 55【详解】应填 xf (x2 )令 x2 t2 u ，则0 d11 d1x2原式x2 f (u) du 0 f (u)du f dx 22 dx22f (x )例

10、 56【详解】 f (x) (x 1)ex 1例 57【详解】应选（D）例 58【详解】 2 2 2,), x 0, 例 59【详解】 f (4 例 60【详解】应选（C）例 61【详解】例【详解】应填例【详解】应填dx ex 1A xe0000714a例 64【详解】应填e )4aA 1 2 (ea )2 d 1 2 e2a d 14a1e2a20(e4a 1) 4a2200例 65【详解】应填4ln 2 4331A (4x x)dx 2 x dx 4 ln 2 4 ln 2x220112例 66【详解】应填例 67【详解】xf1f (x) f ( f (x) 211 f (x)x1 2x1

11、11 xf2 (x)xf (x) f ( f (x) ，321 f (x)1 3x2x由数学归纳法得 f (x) (n 1, 2,3,).4 分n1 nx于是dx 1 ln(1 n)111 xdx 11S 9 分1 nx nn1 nxnn200 lim 1 ln(1 n) 1故lim nS11 分n nnn例 68【详解】 f (x) 3 ax2 (4 a)x ， a 52例 69【详解】 y ax21aax当 x 0 时，由，得 x ，y ，故直线OA 的方程为 y 1 a1 a1 a y 1 x2旋转体的体积为8 a2 x21V a2 x4 dx1a 1 a04 分211aa2a25a2x

12、5 | x3 153(1 a)5(1 a)205352a(1 a)2 a2 (1 a)2dV2 (4a a2 ) 2 da15(1 a)5715(1 a)2dV令 0 ，得唯一驻点a 4 ，故a 4 时体积最大，最大体积为da2V8 分52575124例 70【详解】 y x x2例 71【详解】22 245（I）V (2x ) dx (32 a )a1 分15y2a2V2 a 2a 02dy 2 a a a224443 分（II）V V V 4 (32 a5 ) a4125由V 4 a3(1 a) 0 ，得区间(0, 2) 内唯一驻点a 1当0 a 1时，V 0 ；当a 1时，V 05 分因

13、此a 1时体积最大，最大体积为129 7 分51例 72【详解】 A e 1 ，V (5e 12e 3)226例 73【详解】（I）所求旋转体的体积为 x xaV (a) xa a dx xd aa ln a002x axaaadx aa0 xa ln a ln aln a 09a(ln a 1)（II）V (a) 2ln3 a令V (a) 0 ，得ln a 1，从而a e .当1 a e 时，V (a) 0 ，V (a) 单调减少；当a e 时，V (a) 0 ，V (a) 单调增加，2e所以a e 时V 最小，最小体积为V (e) e2 . ln e 176 24例 74【详解】V 例 7

14、5【详解】应填 24e y dx 2)ee例 76【详解】523 z 3aVx x 3 dx 4 分50 6aa a Vy dy8 分y770756 a 3，即 10 3 a3a 7，解得由V 10V710 分yx75例 77【详解】V 2 ln 2 5 4 例 78【详解】 1 cos 2x 2 A2V 2 A2 sin2 xdx A2dx 23 分12400由 A 0 ，得x Asin xdx Axd cos xV 2222200 20 A x cos2 cos xdx 2 A28 分010 2 A28 2 A ，所以 A 因为V1 V2 ，即10 分42例 79【详解】 例 80【详解】

15、因为 f (x) ， g(x) 在a, b 上连续，且 g(x) 0 ，由最值定理知 f (x) 在a, b 上有最大值 M 和最小值m ，即m f (x) M故mg(x) f (x)g(x) Mg(x)2 分bf (x)g(x)dx Mbm g(bb(f )x (g )x d x x) dx xM( g，)xm da4 分baaag(x)dxabf (x)g(x)dx由介值定理知存在 a,b，使 ) f (abg(x)dxabb )g(x)dx即f (x)g(x)dx f (6 分aa例 81【详解】例 82【详解】例 83【详解】（I）设 M 与m 是连续函数 f (x) 在a, b 上的

16、最大值与最小值，即m f( x) M, x a, bb积分性质，有m(b a) f (x)dx M (b a) ，a 1 b ab即m f (x)dx M2 分a 1 b ab) 由连续函数介值定理，至少存在一点 a,b，使得 f (f (x)dxab即f (x)dx f ()(b a)4 分a11（II）由（I）的结论，可知至少存在一点 2,3，使得3(x)dx )(3 2) ()6 分23又由(2) ( x)dx ) ，知2 3(2对(x) 在1, 2和2, 上分别应用( ) ( 2，) 得日中指定理，并注意到(1) (2) ，( ) (2) (1)0,1 212 11) () (2) 0, 2 ( 39 分 121在1,2 上对导函数(x) 应用日中值定理，有 ) )( ) 0, ( , ) (1,3)2111 分 1221例 84【详解】（I）由积分的性质知对任意的实数tt 2t 202tf (x)dx t f (x)dx f (x)dx 2f (x)dx2 分0令 s x 2 ，则t 2tt0tf (x)dx f (s 2)ds f (s)ds t f (x