弹性力学答案

1、说明下列应变状态是否可能.TOC o 1-5 h zc(x2+y2)cxy0奇=cxycy20000k丿解:若应变状态可能,则应变分量应满足协调方程。二维情况下,协调方程为:沁+汪=江dy2dx2dxdyd2d2d2d2x+y=c(x2+y2)+(cy2)=2cdy2dx2dy2dx2d2V82亠=(2cxy)=2c8x8y8x8y显然满足方程,故该应变状态可能。2、设T=T=T,其余应力分量为零，求该点的主应力及对应于最大主应力的主方向。xyyz解：I01I=bb+bb+bbT2T2T2=2T22xyyzzxxyyzzx0T0I二T0T=030T0G32T2G=0解得Q=v2t,Q=0,Q=

2、：2t123设对应于b的主方向为l,m,n，有厂一P2tT0、ri0、T一込TTm=00T一；2tn0丿k丿k丿k丿又有l2+m2+n2=1求得l=3、方板，z向厚度h=10mm,边长a=800mm，且平行于x,y轴，b=360MPa,b=t=t=0,&=0，若E=72Gpa,u=0.33，求b和此板变形后的xzxzxyyy尺寸。解：（1）求by1=bU(b+b)=0yEyxzb=U(b+b)=118.8MPayxz2)求x1=bu(b+b)=0.00446xExyz伸长Aa=xa=0.00446x800=3.56mmx(3)厚度变化1=bu(b+b)=2.19x10-3zEzxy.Ah=2.

3、19x103x10=0.022mm4、平面应变问题中某点的三个应力分量为b=100Mpa,b=50Mpa,t=50Mpa,xyxy求该点的三个主应力及。设弹性模量E=200GPa,泊松比V=O2。x1、8分b=130.9MPa1b=30MPa2b=19.1MPa32、6分1v2v=bb=0.00042xEx1vy4、用逆解法求解圆截面柱体扭转问题的解.（提示:假定bybztxy=0AX解：（1）如图所示，由材料力学知距离圆心O点任意距离卩处的切应力TpI二,Ip=jp2dxdypTTTOC o 1-5 h zt=-tsin0=psin0=yxzIpIpppTTt=tcos0=pcos0=xyz

4、IpIpppQ=b=b=T=0 xyzxy(2)检验是否满足平衡微分方程和应力调协方程将应力分量分别代入平衡微分方程bij,j+Fbi=0(ij=x,y,z)和应力调协方程1d2TOC o 1-5 h z2o+=0 x1+ud2x1d220+=0y1+ud2y1d22o+=0z1+ud2z1d22t+=0 xy1+u6x6y1622t+=0yz1+u6y6z1622t+=0zx1+u6z6x1orV2o+o=0ij1+ukk,ij(where&=o+o+o=oxyzii可知均满足方程.(3)检验是否满足边界条件侧面:面力p=p=p=0,方向余弦l=cos0,m=sin0,n=0 xyz0=0=

5、，代人Pi=jnj，能精确满足.端部:(bz)z=0,l二0满足MxMybydxdy=0,满足zbxdxdy-0,满足Xdxdy=0,利用圣维南原理，近似满足zxY=JJtdxdy=0,利用圣维南原理，近似满足zyT=ff(xT-yT)dxdy,利用圣维南原理，近似满足zyzx可知利用圣维南原理,也可满足。故这些应力分量是圆截面柱体扭转问题的解5、不计体力，设一物体内的位移分量为u=v=0,w=w(z)求位移函数w=w(z).解:(1)由几何方程,求得应变分量:=0,xydw=0,=zdzYxy=Yyz=y=0zx(2)由物理方程,求得应力分量:bij60=2卩(1+u)(1-2u)ijij+

6、九06,ijkkdwQ二Q=XxydzdwQ二(X+2p)zdzT=T=T=0 xyyzzx（3）利用平衡微分方程求解:doxdxdT+dTzxdz=0+yxdydQdTdTy+zy+xy=0dydzdxdQdTdTz+xz+yz=0dzdxdy前两个方程满足，由第三个方程有d2w（九+2p）=0dz2对该式积分得：W=C1Z+C2（cc为常数）1,2不考虑刚体位移，则C2二0W=CZ6、求应力分量（可假设Qx=0）用半逆解法。解：假设bx9=yf(x)+f(x)12代入双调和方程：dx4+江=0dx4f(x)=Cx3+Cx2+Cx+CTOC o 1-5 h z2345f(x)=Cx3+Cx2

7、+Cx+C67899=y(Cx3+Cx2+Cx)+Cx3+Cx2(次项不要)23467由公式ayd29d29,t.=dx2小Qxdyay=y(6C2x+2C3)+(6C6x+2C7)Txy=一(3C2x2+2C3x+C4)边界条件：TOC o 1-5 h z左边：9)=0,(t)=0 xx=0 xyx=0有C=04右边：(Q)=0,(t)=qxx=hxyx=h有一3Ch22Ch=q(1)23上边(g)=0yy=0有C=C=067而t显然不满足，应采用圣维南原理xyxyTOC o 1-5 h zJhtdx=Jh(3Cx22Cx)dx=00 xy023即Ch3+Ch2=0(2)23联立(1)，(2

8、)得qC=,C2h23应力分量的最后解答为g=0 xyxg=2q(13)yhhxxt=q(3一2)xyhh7、分析下列应力函数可解决什么样的平面应力问题3F/xy3、q2申f=（xy）+y2TOC o 1-5 h zf4C3C22解：（1）经验证，该应力函数满足双调和方程（2）求应力分量d29g=0yax2a293Fy2t=-=(1)axay4CC23)建立如图所示坐标系，考虑物体边界条件上下边界：y=c,o=0,t=0yxy左边界：o=qx而t的合力为Fxy解决问题：悬臂梁在自由端受轴向拉力和横向集中力作用。8、契形体顶部受力偶x解：可设9=f（e）,求得9=Acos20+Bsin20+C9

9、+D利用反对称，A=D=0最后得，Msin2a一2acos2a,CMcos2asin2a一2acos2a9、如图边长为a的方板，其应力解是否为o=qsin（巧/a）,o=0,t=0?说明理由。x0yxy解：虽然该解满足边界条件和平衡微分方程，但不满足协调方程。10、设有应力场o=y2,o=x2,o=t=t=t=0，它是否能成为某弹性力学问xyzxyyzzx题的解11、图示1/4薄圆板，一边固定一边受线性分布荷载。试分别写出直角坐标和极坐标系的边界条件。12、在极坐标中，9=C0可否作为应力函数?如可，求出应力分量，并考察此应力分量可表示何种有意义的工程问题。13、悬臂梁沿下边受均布剪力，而上边

10、和x=l的一端不受荷载时，可用应力函数9=s（xy一一+说明此解答在哪些方面是不完善的。44c4c24c4c2解：1、验证是否满足V4申=0，满足;2、求应力分量TOC o 1-5 h zd292x6xy216lybx=s(-+)dy24c4c24c4c2d2912y3y2T.=-=S(_+)xdxdy44c4c23、验证边界条件上边(b)=0,满足，(T)=0,满足主要边界：yy=-cyxy=-c下边(b)=0,满足，(T)=S,满足yy=cyxy=c（b）=0,满足xx=l次要边界：（T）=0,不可能精确满足，xyx=l利用圣维南原理,c（T）bdy=0,满足-cxyx=l4、此解答在固定端和自由端附近有较大误差。14、试确定应力函数9=cp2（cos29-cos2a）中的常数c值，使满足图中边界条件b）=0，（T）=s（;b）=0，（T）=-s;。并证明契顶没有集中力或集中99=ap99=a99=-ap99=-a力偶。解：1、验证是否满足V=0，满足;2、