高考数学复习专题直线与圆位置关系

1、第66炼 直线与圆位置关系一、基础知识：1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2、圆的标准方程：设圆心的坐标C a,b ,半径为r ,则圆的标准方程为:2U 22x a y b r3、圆的一般方程：圆方程为 x2 y2 Dx Ey F 0,.、22 . 一 一-x , y的系数相同(2)方程中无xy项(3)对于D, E, F的取值要求：D2 E2 4F 04、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：(1)几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径 为r ,圆心到直线的距离为 d,则：当r d时，直线与圆相交当r d时，

2、直线与圆相切当r d时，直线与圆相离(2)代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数。设直线：Ax By C 0,圆：x2 y2 Dx Ey FAx By C 09；消去y可得关于x的一元二次方程，考虑其判别式的符号x2 y2 Dx Ey F 00,方程组有两组解，所以直线与圆相交0,方程组有一组解，所以直线与圆相切0,方程组无解，所以直线与圆相离5、直线与圆相交：弦长计算公式： AB 2 AM 2jr2 d26、直线与圆相切：是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心(1)如何求得切线方程：主要依据两条性质:到切线的距离等于半径例：已知圆的方

3、程为：x24及圆上一点P lj3 ,求过P的圆的切线方法一：利用第一条性质:kOP、/3,所以可得切线斜率切线方程为：y ,31 ,整理后可得：x方法二：利用第二条性质:设切线方程l为:即 kx y .3 kdok2 1整理可得：3k2 2、,3k0.3k20 解得:l:y 3 Tx,一 3x y(2)圆上点的切线结论:圆x2 y2r2上点X0,y0处的切线方程为X0Xy0yr2 上 点 P x0,y0处的切线方程为x a x0 a y b y0 b(3)过圆外一点的切线方程(两条切线)：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。(要注意判断斜

4、率不存在的直线是否为切线)7、与圆相关的最值问题(1)已知圆C及圆外一定点 P,设圆C的半径为r则圆上点到P点距离的最小值为PMPCPCr (即连结PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点CAB 2r2 d2 ,若AB最小，则d要取最大，在圆中 CP为定值,在弦绕P旋转的过程中，d CP ,所以d CP时，AB最小(3)已知圆C和圆外的一条直线1,则圆上点到直线距离的最小值为PMdC i r ,距离的最大值为PNdC(过圆心C作1的垂线，垂足为 P , CP与圆C交于M ,其C(2)已知圆C及圆内一定点P,则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN反向延长线交

5、圆C于N-(4)已知圆C和圆外的一条直线1 ,则过直线1上的点作圆的切线，切线长的最小值为 PM解：|PM| J|CPr2 ,则若PM最小，则只需 CP最小即可,所以P点为过C作1垂线的垂足时，CP最小过P作圆的切线，则切线长 PM最短8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含(1)可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆01,02的半径为r1,r2, O1O2 dd r1r201,。02 外离d r1r2。01,。02 外切r1r2 d r1 r2 001,。02 相交d r1r2001,。02 内切d r1r20。1,。02内含(2)可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位

6、置关系。但只能判断交点的 个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直 接判定。二、典型例题:例1:已知直线ax y 20与圆心为C的圆4相交于A,B两点，且力ABC为等边三角形，则实数A、3八.3B.C.D.思路：因为ABC为等边三角形且 C为圆心，所以该三角形的边长为2 ,由等边三角形的性质可知高为耳,即C到AB的距离为 B 由圆方程可得:C 1,a,所以利用点到直线距离公式可得:dC AB、a2 1,3 2a3 a2答案：D2:圆心在曲线上,且与直线2xA.C.思路：不妨设圆心22a 1a石B.0相切的面积最小的圆的方程为25D.21252a,一 其中

7、 a 0 5a半径为因为直线与圆相切，所以有若圆的面积最小，则半径最小，则22a 1aJrmin以圆方程为：答案：A例3:设点m,12O : x2使得OMN30 ,则m的取值范围是（A. 3, , 3B.C.2,2D.3 -33 , 3思路：由圆的性质可知：圆上一点T，与M ,O所组成的角OMT ,当MT与圆相切时,OMT最大。所以若圆上存在点 N ,使得 OMN 30 ,则 OMT 30，由M m,1和22x y 1可知过M且与圆相切的一条直线为y 1 ,切点T 0,1 ,所以在直角三角形OMT 中，tanOMTTMTM答案：A4：设m,n R ,若直线 m0与圆x1相切，则n的取值范围是（

8、A.B.,1,3 U 13,C.2 2 .2,2 2.2D.,22,2 U2 2 2,:通过圆方程可知圆心1,11 ,因为直线与圆相切，所以dC lmn所以m n函数“性质可知m,22.2 U 2m 1 m m 12 J 2,2，“ ，2,进而由对勾m 1答案：D小炼有话说：本题由于R,所以对于m21 2不能使用均值不等式，而要通过换m 1元转换为常见函数求得值域 例5：若圆x整理后 y2 4x 4y 10 0上至少有三个不同的点到直线 l : y kx的距离为2g,则直线l斜率的取值范围是思路：本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与k找到联系。通过 22图像可知该条件与

9、圆心到直线的距离相关。圆万程为：x 2 y 218,即圆心为2,2，半径r 3亚，作出图像可知若至少有三个不同的点到直线l距离为26，则圆心到直线的距离应小于等于后，所以dC2k 2k2 1222k 2 2k2 1 ,解得：k 2 -.3,2.3答案：23,2例6:直线y x22m与圆x y 16交于不同的两点M,N,且其中O是坐标原点,则实数 m的取值范围是（A.2 .2,2U 2,2 2B.4 2, 2 2 U 2 2,4 x 2C.2,2D.2 2,2 2思路:不妨设 MN的中点为A ,则可知OMON 2OA ,从而16中，可知OA为圆心。到MN的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦心距的

10、关系可得：-|MN|OA16mN,2j310A 可得：23OAOA16 ,解得：OA2,即doMN2 ,所以 m2五,2&答案：D例7：在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C:x23 2 2,点A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆C于P,Q两点，则线段PQ的取值范围是（A.3B.C.32.14 一D. ,2 23思路：如图设 AC,PQ交于M,认PM的范围即可，由圆方程可得r 乱设 PCM所以 |PM| | PC sinV2sinsin|ap| JacAC则有PQ 2 PM ,只需确,在RtPCA中，可得:PM. 2 ：1ACACAC2x2 9答案：BAC一 2一一 一一,下面确定AC的范围

11、。设A x,0 ,因为C 0,3 ,所以9,从而解得| PM例8：已知圆M2x cos y2sin 1 ,直线l : y kx下面四个命题:(1)对任意实数k与，直线l和圆M相切;(2)对任意实数k与，直线l和圆(3)对任意实数使得直线l和圆M相切;(4)对任意实数k,必存在实数使得直线l和圆M相切.其中真命题的代号是 思路一（代数运算）：四个命题均和直线与圆位置关系相关，所以考虑圆心到直线的距离和半半径为1 ,所以径的大小关系：由圆M 方程可知圆心M cos ,sin2dM l与1的大小关系，从而有:kcos sindM l 产=_ ,为了便于计算，不妨比较M l.k2 1dM l 1222

12、2kcos sin k 1 k cos 2sin cos ksin2k21k2 1k2 12sin k cosk2 1,21 221 cos k 2sin cos k 1 sink2 1所以对任意的实数 k,，直线l和圆M有公共点，但不一定相切。故（1）错误（2）正确；2（3） （4）与相切有关，所以考虑 dM l 1 ,由上式可得：sin k cos，从而可得，对于任意的实数，不一定会存在k,使得等式成立。例如 sin0时，不成立；但对于任cos 1意的k ,总有k ，使得成立，即直线与圆相切。所以（3）错误，（4）正确，sintan综上所述，正确的是（2） （4）kx过定点0,0 ,所以直

13、线与思路二（数形结合）：通过观察M cos ,sin ，可知M为单位圆上的点。则必有OM 1,又因为0M的半径为1,所以可得0M过原点。而直线l : y圆必有公共点。（2）正确。因为 0,0在圆上，所以可知若直线与圆相切，则原点为切点，故切线也只有一条。 所以（1）错误。对于（3） （4）,通过前面的结论可知对于任意的一个圆 M , 均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以（4）正确。而（3）忽略了一种情况，当圆心 M位于x轴上时，此时切线为 y轴，虽有切线但斜率不存在，所以不能表示为y kx的形式。所以（3）错误答案：（2） （4）例 9：:设 A(1,0), B(0,1)

14、，直线 l : y ax,圆 C : x22a y 1 .若圆C既与线段AB又与直线l有公共点，则实数 a的取值范围是思路:本题a的取值范围为两个条件的交集。先处理圆C与l有公共点：由圆方程可知圆的圆心为a,00,1.52,半径方面，考虑圆a2 11a4 a2 1 ,解得:C与AB有公共点,因为该圆半径不变，圆心在x轴上移动，所以可根据a的符号进行分类讨论：a0显然成立,0时，由图像可知圆心的最远端为在A的右侧且到 A的距离为1,即0 a2,当 a 0可知圆最左端的位置为与线段AB相切的情况，AB :xdC AB2。所以J2 a 0 ,综上所述:圆与线段 AB有公共点时,2 a1 .5答案:1

15、 、2,15例10:已知 ABC的三个顶点A( 1, 0), B(1,0),C(3,2),其外接圆为圆(1)求圆H的方程;(2)若直线l过点C ,且被圆H截得的弦长为2,求直线l的方程;M, N ,使得点(3)对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围 解：(1)思路：求圆的方程关键在于确定圆心坐标，条件中给了三个点，考虑两点所成线段 的垂直平分线为直径(过原点)，所以选择两组点，求出两条直径，即可解出圆心。在本题中 抓住A 1,0 ,B 1,0 ,关于y轴对称。从而得到圆心在 y轴上，设其坐标为H 0,y再根据BHCH ,即可

16、解出y值。从而得到圆心坐标，然后计算半径即可得到圆的方程 由ABC外接圆为圆H可得:H在AB垂直平分线上.A1,0,B 1,0H在y轴上 设H 0,yBH|1cH0,3BHCHBH1 y2 32,10H : x2 y2310(2)思路：已知弦长和半径，可求出弦心距。直线过C从而可设出直线方程，再利用弦心距解得直线方程即可设 l : y 2 k x 3 kxy 2 3k 0由弦长为2和r 丽可得:dH l12 3dH l3 2 3k,k2 11 3kk24l :y 2 - x 334x3y当斜率不存在时，l : x3,联立方程:10弦长为2,符合题意综上所述：l的方程为4x 3y 6(3)思路一

17、:(代数方法)由B,H34,坐标可求出BH的方程:3x y 30,其线段上一点N x, y ,则中点M由M , N在圆C上可得(设圆C的半径为两个圆可。所以22r 10m222 r2则存在M,N即方程组有解。方程组中的方程222 r2,4r2,只需两个圆有公共点即223 6m 24 n 3r3m n 3 0整理后可得： 212m 10 9r对任意m 0,1恒成立。可得:232r5 ,再有线段BH与圆29r2 10r2 ,由M ,N在圆上可得：2,整理后可得：2 r2，若M,N存在，则方程组有解4r2即圆心为C 3,2 ,半径为r的圆与圆心为m,3m 1 ,半径为2r的圆有公共点2-22 ,23

18、2C无公共点，即m 3 n 2 r在m 0,1恒成立。解得：r 一，从而510232口 八 g一 r ,即可求得r的氾围95解：-/B 1,0 ,H 0,3 BH 的方程为：x y 1 3x y 3 0 3设P m,nP在线段BH上3m n 3 0且 m 0,1 n 3 3mm x n y m x 3 3m y TOC o 1-5 h z 设 N x, y - M 为 PN 中点 N , ,-2222、一一22设圆C: x 3 y 2222x 3 y 2 r2m x 3 3m3 TOC o 1-5 h z 22222x 3 y 2r22x m 6 y 3m 1根据两圆位置关系可知：2r r C

19、C2r r ,即：22r43 6m 2 3m 1 3r在m 0,1恒成立2222r m 3 3m 1 9r ,整理后可得：r2 10m2 12m 10 在m9r2 10m2 12m 100,1恒成立r210m2 12m 10min=22_9r 10m12m 10max2310m2 12m 10 10 m532532f m ,105232r529r2 1010 2 32 科/曰 104.10一 r2 一，解得：r 9535-10 -若M为PN中点，则P在圆C外23m 1在m 0,1恒成立22r 10m12m10 min324.105综上所述：r4,105思路二（数形结合）：通过图像可观察出，若对

20、于线段BH上任意一点P均满足题意，则需达到两个条件：第一，P在圆外，可先利用坐标判定出CBH , CHB为锐角，从而 C在BH上的投影位于线段 BH上，所以r dC BH ；第二，P到圆上点的最小距离（记为 dmin ）应小-一 1 .于或等于到圆上点取大距曷（记为d max）的一半，即dmin二dmax ,否则，若d min工dmax当2 1圆上取其他M,N点时，PMdmin,PN dmax,由不等式的传递性可知：PM - PN ,2M不可能为 PN中点。因为 P在圆外，所以可知在圆上任意一点中，dminPC r ,dmax PC r ,代入可得 PC3r恒成立。综上r3rdC BHPC即可

21、求出r的范围max解：B 1,0 ,H 0,3 ,C 3,2 ,若对任意P点，已知条件均满足 则P在OC外BH 1,3 ,BC 2,2 ,HB 1, 3 ,HC 3, 1BH BC 0, HB HC 0CBH , CHB为锐角C在BH上的投影位于线段 BH上r dC BH1 PN2min2dmax-11 -依题意，若对任意 P点，均存在 M ,N使彳导PM设P到圆上点的最小距离为dmin ,到圆上点最大距离为 dmax ,则有:否则若dminPM12d imaxPNdmaxPN ,导致不存在满足条件的 M , N,-P在圆外dmin PC r, dmax PC r ,代入可得：八1八八PC r

22、 - PC r PC 3r1 r PCmax由图可知：、.*CH| J3 -13 -2 3 2 J10BC| J 3 1 22 0 2 2我CH BC 即 PC CH100iiiax,00r .00 4 00,353综上所述：r 三、历年好题精选l ,若存在点Q C ,使得221、设圆 C : x y 3 ,直线 l : x 3y 6 0 ,点 P x0, y0A.OPQ 60 （O为坐标原点）,则x0的取值范围是（B.0,6C. 0,1D.C. 2,2、已知 A x,y |x x 1 y 1 y , B取值范围是（）0, . 2B.-,2x,y |x2 y2 a ,若A B ,则实数a的D.

23、二y2 5相切的直线的方程是A. 2x y V5 0 或 2x y 而 02x y 近 0 或 2x y 75 02x y 5 0 或 2x y 5 02x y 5 0 或 2x y 5 0（2015 ,江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点1,0为圆心且与直线mx y 2m 1 0 m R相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 -12 -225、（2014,湖北）直线11 : y x a和l2：y x b将单位圆C : x y1分成长度相等的四段弧，则a2 b2 226、（2014,全国卷）直线11和12是圆x y2的两条切线，若11与12的交点为1,3 ,则li与12夹角的正切值等于 （2

24、016 , 吉安一中高三期中）已知圆 C :22_2_x y（62m）x 4my 5m6m0,直线 1 经过点（1,1）,右对任意白勺实数 m,直线1被圆C截得的弦长都是定值，则直线1的方程为 8、已知M a,b ab 0是圆O : x2 y2 r2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线1： ax by r2,则（）A.m/ 1 ,且1与圆相交B. m 1 ,且1与圆相交C.m/ 1,且1与圆相离D. m 1,且1与圆相离229、（2015,广东）已知过原点的动直线1与圆Ci：xy 6x 5 0相交于不同的两点 A,B（1）求圆Ci的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）

25、是否存在实数k,使得直线L:y k x 4与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.习题答案：1、答案：B解析：依题意可知 OP2 x2 y2,由P x0,y0 1可得：y0 6一x03OPQ在PQ与圆相切时取得最大值若OP变长，则 OPQ的最大值将变小当 OPQ 60,且PQ与圆相切时，PO 2若存在点Q C,使得 OPQ 60：则POV。6 Xo32V。解得:X。0，52、答案:解析：A: x2半径的圆A的内部,21 r ，-即A为以21为圆心，叵为22集合B为圆心在原点,半径为ja的圆b的内部。则A B表示圆A在圆B的内部，在坐标系中作出圆 A,数形结合即可得到圆B半径的范围为范围为2,3、答案：D解析：由平行关系可设切线方程为2x5,所以切线的方程为2x V 5 0或2x224、答案：x 1 y 2解析：方法一： mx v 2m10可知动直线过定点所以可算出圆心与定点的距离为、,2，所以半径最大的圆即为以该定点为切点的圆，所以r -一 2,圆方程为:V2 2方法二：由相切可知rm2