2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2练习：1.3.2函数的极值与导数含解析

1、应用莱巩固提升r4壕强一二病症。A基础达标.设函数 f(x) = xex,则()x=1为f(x)的极大值点x=1为f(x)的极小值点x= 1为f(x)的极大值点x= 1为f(x)的极小值点解析：选 D.求导得 f(x)=ex+ xex=ex(x+1),令 f(x)=0,解得 x= - 1,易知 x= 1 是函数f(x)的极小值点. TOC o 1-5 h z .函数f(x)= ln x-x在区间(0, e)上的极大值为(). eB. 1. 1 -eD. 01.一解析：选 B.函数 f(x)的定乂域为(0, +8), f(x) = -1.令 f(x)=0,得 x=1.当 xC (0, x1)时，

2、f(x)0,当 xC(1, e)时，f(x)0 得 x3.故f(x)的递增区间为(一8, 2)和(3, +8)4.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A . 1a2B. 3a6C. a6D. a2解析：选C.由题意知f(x) = 3x2 + 2ax+(a+6)=0有两个不相等的根，所以A0,解得a6 或 a0, f(x)在R上单调递增，所以f(x)无极值.当 k0 时，由 f(x) = 0,得 x= In k;令 f (x)0 ,得 xln k;令 f(x)0 ,得 xln k,所以 f(x)极小=f(ln k)= e1n k kln k=

3、 k(1 In k)= 0,所以 1 In k=0,即 k= e.答案：e8.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(一1, 1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围 为.解析：由题意，f(x)= 3x2+2xa,则 f(1)f(1)0 ,即(1 a)(5a)0,解得 1a5, 另外，当a=1时，函数f(x)=x3+x2x 4在区间(一1, 1)上恰有一个极值点，当 a = 5时， 函数f(x)=x3+x25x 4在区间(一1, 1)内没有极值点.故实数 a的取值范围为1, 5).答案：1, 5)9.已知 f(x)= ax3+bx2+cx(aw0)在 x= + 时取得极值，且 f(1)=

4、1.(1)试求常数a, b, c的值；(2)试判断x= 1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由.解：(1)由已知，f(x)=3ax2+2bx+c.且 f( 1)=f(1)=0,得 3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.又 f(1) = 1,所以 a+b + c= 1. 13所以 a=2, b=0, c= 2.(2)由(1)知 f(x)=2x3-2x,所以 f(x) = 3x2 23= 2(x- 1)(x+ 1).当 x1 时，f(x)0 ;当一1x1 时，f(x)0,所以函数f(x)在(一8, 1)和(1, + OO)上是增函数，在(一1, 1)上为减函数.所以当 x =-1时，函数取得极

5、大值f(1)=1;当x= 1时，函数取得极小值 f(1)= 1.10.求下列函数的极值.(1)f(x)=3+31n x； x(2)f(x)= sin x cos x+ x+ 1(0 x2 nt)3解：(1)函数f(x)=-+31n x的定义域为(0, +8) xf(x)= 一3 3_ x2+ x3 (x1)zx令 f(x) = 0,得 x=1.当x变化时，f(x), f(x)的变化情况如下表:x(0, 1)1(1, 十0)f(x)一0十f(x)单调递减3单调递增因此当x=1时，f(x)有极小值3,无极大值.(2)由 f(x)= sin x cos x+ x+ 1, 0 x2 &知 f x) =

6、 cos x+ sin x+1, 0 x/2sin(x+j, 0 x2 5令f(x) = 0,从而, 兀 V2.sin(x+4)= 2, .3又因为0 x2时，f(x)单调递增，即f(x)0.所以当 xv2 时,y=xf(x)0;当 x= 2 时，y = xf(x)=0;当一2vxv0 时，y=xf(x)v0;当 x=0 时，y=xf(x)=0;当 x 0 时，y = xf (x) 0.结合选项中图象知选 C.12,若函数f(x) = x3-3ax+ 1在区间(0, 1)内有极小值，则a的取值范围为 解析：f(x)=3x2 3a.当aw。时，在区间(0, 1)上无极值.当 a0 时，令 f(x

7、)0,解得 x或 x/a.令 f(x)0 ,解得VaxJa.若f(x)在(0, 1)内有极小值，则 0Va1.解得0a0,x取足够小的负数时，有 f(x)0 , 所以曲线y= f(x)与x轴至少有一个交点.由(1)知f(x)极大值=f-3尸27+ a,f(x)极小值=f(1) = a 1.因为曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点，所以f(x)极大值0,一 5即27+a0, .5 ，所以a1，所以当a C8,1 , + oo)时，曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点.14.(选做题)已知函数 f(x)=(x2+ax+a)ex(aW2, x4R).当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理解：(l)f(x)=(x2+x+1)ex,f(x)= (2x+ 1)ex+ (x2+ x+ 1)ex= (x2+ 3x+ 2)ex,当 f(x)0 时，解得 x1,当 f(x)0 时，解得一2x2.列表如下：x(OO ,