高考数学构造新数列与数列中的放缩法大纲版

1、构造新数列与数列中的放缩法数列问题中的构造新数列与放缩法证明不等式在近几年高考题中经常出现。这类题目的难度及区分度往往很大，考生不容易掌握，有时甚至无从下手。现通过几个具体问题的分析 谈谈常用的构造数列的方法与放缩手段，希望对众考生的备考有所帮助例1已知数列a0满足：a1 =1且2an 3an二白(n.2).(2)分析:求数列a n的通项公式;设 mwN +，m n 2,证明(a n + 工)m (m-n+1) 2n2m -1n 时，bnbn 1m -n 1_1),即数列bn是递减数列.因为n2,故只须证b23 一，即证（一）m2a。事m实上，(U)m 1 Cm1m2 2m不等式成立。无独有偶

2、，在不到 1个月的06年全国一卷高考题 22中恰出现了本例中 构造数列求通项公式 an的模型。有兴趣的同学可找做一做。例2设数列an满足a1 =3,an书=2an -n +1(1) 求an的通项公式;1.(2 )右 Ci 1, bn - cn + _ cn , dncncn 1an -n1求证：数列bn dn的刖n项和sn -分析：(1)此时我们不妨设an书十A(n+1)+B = 2(an+An+B)即an书=2an +An A + B与已知条件式比较系数得A= 1, B =0.，an4 (n 1) =2(an n)又a1 1 = 2,二an n是首项为2,公比为2的等比数歹U。, an n

3、=2n,即an =2n +n . TOC o 1-5 h z 一n1一(3) 由(1)知 an =2 +n,. bn =.当 n 之 2 时,2ncn 二G(C2-G)(c3-c2).(Cn-cn,)=1 W出2111二1 -222n=1 时=1 也适1合上式，所以 =2-2口,bndn2n(2n 1 - 2)(2n 1-1)方法一:丁 2n4一222n, 2n由一1 A3 (这步难度较大，也较关键，后一式缩至常数不易想到必须要有执果索因的分析才可推测出.) b d w 1 S - + 1 + + 1 n n 3 2n , n 3 2 3 22 3 2n方法二：在数列中，简单尝试的方法也相当重

4、要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现 此种处理达不到目的.但是当n之3时，我们看：显然6 714 15(211 11+ _ + .67 14151这样Sn =6+ 2n 1 -2) 2n 1 -1)11十 (-)+ + ( (15 30，2n -1 一*11_ n / 一 一n 1-2-12-20,12n 1 -1故sn ：得证.这样也实现了我们的初 3、，1 1由前二项会得到-3 7我们可重新加括号得-172) -201 _1步想法.也易让学生接受易验证当n=1, 2时sn 1.综上sn C133下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题1.例3已知正项数列an满足a =1,qa

5、n4=、；an +2 an, (n N )(n 1)(1) 判断数列an的单调性;(2),、1求证：11 Hn111再证：an an 1故数列an为递增数列.111(2)不妨先证,an- an 1 (n . 1)2an-1an :二 1(n 1)11 原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法 n 2 a a n - an 1 . anan 1 (n 1)2, an 1 (n 1)2)：:7+ +32(n 1)n(n 1)(用到了累差迭加法及2(n 1)n(n 1)这种常用的放缩手段).二1二1 一-Jan 1：n 1(n 1)an=.an1. an(n 1)(n 1)2a an 1 -工 anan(n 1)2 anan2(n 1)2an 1an(n 1)21an(n 1)(n 1)( n 1这种证法还是比较自然的,也易让学生接受JJ当n之2时，上 .1 n