高二数学选择性必修第二册2020B版-【学案】1第2课时相关系数与非线性回归

1、第2课时Gj措攵相关系数与非线性回归学习目标核心素养1. 了解两个变量间的线性相关系数r,并能利用公式 求相关系数r.（重点）1.通过学习相关系数，培养数学运算的素养.2,能利用相关系数r判断两个变量线性相关程度的大小，从而判断回归直线方程拟合的效果.（重点）3.掌握非线性回归转化为线性回归的方法，会求非线性回归方程，并作出预测.（难点）2 .借助非线性回归方程 的学习，提升数据分析和 数学建模的素养.情壮味导学 情境导学。探新知 换印京卷影W心情境羽人助学助效据隆众资讯数据统计，20172019年截止到10月底的数据显示，聚丙烯期货价格及现货价格二者相关系数为88.70%,其中2017年二者

2、相关系数高达90.86%,2018年降至83.97%,2019年截止到10月底二者相关系数为65.23%.问题：什么是相关系数，如何计算，它有什么作用？I .新知初探.I.相关系数（1）定义：统计学里一般用r 二来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数（简称为相关系 数）.（2）性质|r|01,且y与x正相关的充要条件是r0, y与x负相关的充要条件是r 0)B 散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D,故选B.4.在一次试验中，测得(x, y)的四组值分别为(1,2), (2,0), (4, 4), ( 1,6), 则y与x的相关系数为.20 4X1.5X 1-

3、1 法一：x =1.5, y = 1, )x2= 22，国y2= 56, i与xiyi = 20,相关系数r=f=一1.7 224X 1.5C. y=x+1D . y= x(2)设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r,y关于x 一一. A. 一 A_.的回归直线方程的回归系数为b,回归截距是a,那么必有()A.b与r的符号相同B.a与r的符号相同C.b与r的符号相反D.a与r的符号相同(1)A (2)A (1) v这组样本数据的相关系数为一1,这一组数据(x，y1), (x2, y2),的，yn)线性相关,且是负相关， 56-4X 12法二：观察四个点，发现其在一条单调递减的

4、直线上，故 y与x的相关系数为1.睫畔同厩韩6 合作探究。释疑难 学科木艮町鼠要M 1相关系数的性质【例 1】(1)在一组数据为(xi ,y1),(x2,y2),，(xn,yn)(n2,xi,x2,，xn不全相等)的散点图中，若这组样本数据的相关系数为一1，则所有的样本点(xi, yi)(i=1,2,n)满足的方程可以是().1 一一A . y= 2x+1B . y=x10优教可排除D, B, C,故选A.由公式可知b与r的符号相同.1*，*规法线性相关强弱的判断方法：.散点图（越接近直线，相关性越强）；.相关系数（绝对值越大，相关性越强）.跟进训练1 .如图是具有相关关系的两个变量的一组数据

5、的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的（）5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是B. ED. AA. DC. F因为相关系数的绝对值越大，越接近 1,则说明两个变量的相关性越强.因为点E到直线的距离最远，所以去掉点 E,余下的5个点所对应的数据的相关系数最大.相关系数的计算及应用【例2】 假设关于某种设备的使用年限 x（单位：年）与所支出的维修费用 y（单位：万元）有如下统计资料:x23456y2.23.85.56.57.09例教555已知户 1x2 = 90, 总黄=140.8,*xiyi = 112.3,甲能 8.9,g=1.4.计算y与x之间的相关系数(精确到0.001)

6、,并求出回归直线方程；根据回归方程，预测假设使用年限为 10年时，维修费用约是多少万元?解(1) v x2+3+4+ 5+ 6=4,2.2 + 3.8+5.546.5+7.0 TOC o 1-5 h z y = 5.? ,Li Zxiyi 5 x y = 112.3 5X4X5=12.3, o -ooi*25x2=90 5X42=10, -oi与y2 5 y 2= 140.8- 125= 15.8,0.987.12.312.312.312.3#10X15.8 V158 2XV79 1.4X 8.91.23.人 Ixiyi-5x k 112.35X4X5Ex2-5x2 =90-5X42;i =

7、1a= y bx = 5 1.23X 4 = 0.08.所以回归直线方程为y=1.23x+ 0.08.(2)当 x=10 时，y= 1.23 0+0.08=12.38(万元)，即假设使用10年时，维修费用约为12.38万元.跟进训练2.某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有 如下的对应关系：x2468y30405070计算x与y之间的相关系数，并求其回归直线方程；(2)若实际销售额不少于80百万元，则原料耗费应该不少于多少？解(1)画出(x, y)的散点图如图所示，由图可知x, y有线性关系.46 K再4X=5, y=47.5, Ex2=120, Eiy2=9 9

8、00, )xiy = 1 080,故相关系数r =,xyi 4 x y4411x24二方y、4歹2_1 0804X5X47.50982 70 120-4X52 9 900-4X47.52 .4i 中yi 4 x y 1 080 4X5X47.5b - -4Ex2-4 x2 i = 1120 4X52= 6.5,a= y -bx =47.56.5X5=15.故回归直线方程为y=6.5x+15.(2)由回归直线方程知，A一一.当y80即6.5x+1580l寸，x10.故原料耗费应不少于10百万元.M5TB非线性回归方程探究问题已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，哪一个作为回归模型最好?x1

9、23y35.9912.01y=3X2x1;y=log2x;、=4x;y=x2.提示作出散点图(图略)，观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y=3X2x-1附近.作为回归模型最好.si优教【例3】 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本 组成.每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得 到如下数据：x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y=a+b和指数函数模型v= 06dx分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函 x.数

10、模型拟合的回归方程为，=96.54e 0.2x, In y与x的相关系数ri= 0.94.1参考数据其中Ui =：xi8Ruiyi一u一2 U8Eu2 i=18Eyi i = 1 J8耳y2 i =v0.61X6 185.52 e183.40.340.1151.5336022 385.561.40.135（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程;（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01）,并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根 据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单

11、的概率为0.8,签订10千件订单的概率为0.2;若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为 0.3,签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2） 的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理0优教由.参考公式：对于一组数据(U1 , 5),(U2,明 ，(un, in),其回归直线u= a工 -ui n u u+ B u的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 片一n, a= u 0u ,斗2 nU2工 -3ui 如一n u ui = 1相关系数r= nnEu2 nH2 i5一nJ21 . . b.思路点拨(1)首先可令u = X并将y=a

12、 + b转化为v= a+ bu,然后根据题目所给数据以及线性回归方程的相关公式计算出 b以及a,即可得出结果;计算出反比例函数模型的相关系数 r并通过对比即可得出结果；(3)可分别计算出单价为100元和90元时产品的利润，通过对比即可得出结果.爸 一a 占Uy 8uy b;.u2 8-u2 i=1 TOC o 1-5 h z 解(1)令u=1,则y=a + b可转化为y=a+bu,因为刀M等MdS,所以 人入183.4-8X0.34X45611008X0.115O.61则a=一b u =45 100X0.34= 11,a所以丫= 11 + 100u,a 100所以y关于x的回归方程为y= 11

13、 + .1(2)y与;的相关系数为： x2 =工 2 1uiyi n u y612 - 2二一10.61X6 185.5 i? 1吁 8ui?8y= 0.99.j怪因为|ri|0.711 附，e 0.36x+ 32 0.711 8= eln 0711 8= e a34,所以0.36x+3.62 d0.34,解得x11因此预测在收购该型号二手车时车 辆的使用年数不得超过11年.课堂知汉卦实 课堂小结”提素养 风基盲在扫除口必备素养口.判断变量的相关性通常有两种方式：一是散点图，二是相关系数r,前者只能粗略的说明变量间具有相关性，而后者从定量的角度分析变量相关性的强 弱.只有当两变量间呈线性相关关

14、系时，才可以求回归系数，得到回归直线、一 A A A 一.方程y=bx+a;若两变量间的关系不是线性相关关系，应观察分析其散点图，找 出拟合函数，通过变量代换把非线性回归问题转化为线性回归问题.匚j学以致用.两个变量之间的线性相关程度越低，其线性相关系数的数值()A.越接近于1B.越接近于0C,越接近于1D.越小B 由相关系数的含义可得：两个变量之间的线性相关程度越低，其线性相 关系数的数值越接近于0.故选B.如图所示，给出了样本容量均为 7的A, B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为 门，B组数据的相关系数为r2,则( B. r1r2D.无法判定C 根据A, B两组样本数据的

15、散点图知，A组样本数据几乎在一条直线上,且成正相关，相关系数为ri应最接近1, B组数据分散在一条直线附近，也成正相关，：相关系数为2,满足r2V门，即rir2,故选C.3.对于线性相关系数r,叙述正确的是（）A. rC（oo, +oo）,且r越大，相关程度越大B . r C （ 00, + 00 ）, 且|r整大，相关程度越大r-1,1,且r越大，相关程度越大r-1,1,且|r|越大，相关程度越大D 相关系数r是来衡量两个变量之间的线性相关程度的，线性相关系数是 一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大.故选D.若回归直线方程中的回归系数b = 0,则相关系数r =相关

16、系数nn国 xi又 2i51 yi-Vn百1 xi x yi yn耳Ai= 1h 与 b=一2xi x yi y二的分子E xi- x 2i = 1相同，故r=0.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y（百千克）与某种液体肥料 每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图如图所示.m 二一t八Q 24 5 68可千克）（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计 算相关系数r并加以说明（若|r|0.75,则线性相关程度很高，可用线性回归模型 拟合）；12千克时，西红（2）求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为13必措攵柿亩产量的增加量y约为多少？附：相关

17、系数公式nn0.9=0.95.0.3=0.55,=3+4+4+4+5=4.回归方程y = bx + a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =nn方 xi- x y- y 斗yi nx y二 xi-占15春=注0.95一一一3所以与(xi- x)(yi- y) = ( 3)X(1)+(1)X0+0X0+1X0+3X 1 = 6, x a= y b x .=V -32+ -1 2+02+12+32 =廓,因为r0.75,所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.5人i =1(2)b= xi x yi y5E i=1一 2 xi x6 20=0.3.14e危攵人那么 a = 4 5X0.3 = 2.5.所以回归方程为y=0.3x+ 2.