环境工程仿真与控制电子教案含经典例题讲解

1、环境工程仿真与控制电子教案含经典例题讲解前 言 “环境工程仿真与控制” 是环境工程专业一门新的课程。开设该课程的目的，是贯彻我国关于信息化带动工业化的方针，将信息技术引入环境工程专业教学。 该课程的教材环境工程仿真与控制为教育部“九五”规划教材，也是面向21世纪教材，于2001年由出版发行；环境工程仿真与控制（第二版）为教育部“十五”国家级规划教材，于2005年由出版发行。 “环境工程仿真与控制电子教案 ”覆盖 环境工程仿真与控制（第二版）的主要内容，即仿真、过程控制、动态分析及人工智能。 使 用 说 明 本电子教案利用 MS PowerPoint 编制，计有 ppt 473张，在内容章节编排

2、上基本与原教材同步。为简化起见，将第五章的“复杂系统控制”的内容并入第二章“过程控制”中。 本电子教案设置“超链接”及“返回”点击，便于用户在不同章节的 ppt图片间进行检索，同时利用字体色彩的变化及动画效果使教案生动、易懂。 本电子教案可供为环境工程专业本科生及研究生开设“环境工程仿真与控制”课程的教师使用，也可供环境工程专业的本科生及研究生或从事环境工程仿真与控制的专业技术人员作为学习“环境工程仿真与控制”教材的参考资料。 第 1 章 仿真第 2 章 过程控制第 3 章 动态分析第 4 章 人工智能目 录第 1 章 仿 真第 一 节 模型的建立 一、模型分类 二、简单系统建模 三、复杂系统

3、建模第 二 节 模型的分析 一、四阶龙格库塔法 二、有限差分法第 三 节 MatLab/SimuLink 应用第 一 节 模型的建立一、模型分类二、简单系统建模三、复杂系统建模一、 模型分类 按原理分：机理、统计、人工智能 按数学形式分：代数、微分、偏微分按模型参数分：集总、分布按变量间关系分：线性、非线性按时间特性分：连续、离散按时变特征分：稳态、非稳态二、简单系统建模 建模方法守恒定律（一进一出一反应 ） 包含：质量、动量、COD、电荷、能量等 式中：V 反应器体积； dj /dt 组分j 在V内的浓度 随时间 t 的变化率； qi、qo 分别是流入或流出 V的液体流量； ji、jo 分别

4、是组分j在进水和出水中的浓度； Rjn 第n个反应中组分j 生成或消失时浓度变化的速率。简单系统建模举例 例1.1 液槽水量模型 例1.2 带溢流堰液槽液位模型 例1.3 调节池水质模型 例1.4 曝气池溶解氧浓度模型 例1.5 污泥耗氧速率模型 例1.6 污泥生长及氮的消耗模型 例1.7 异养菌好氧生长与有机碳消耗模型液槽水量模型（无反应） m in m out式中：m in 进水流量，kg/s； m out 出水流量，kg/s； M 储水量，kg。进水流量阶跃上升出水流量同步阶跃上升储水量不变时（稳态）例带溢流堰液槽液位模型 （仅考虑水量） 从溢流堰流出的水量计算公式为（Francis 堰

5、）：式中： 流体密度； n 溢流堰数量； L 溢流堰长度； 1.5指数，与溢流堰形状有关； h 溢流堰上方液面高度； A 液槽面积； H 溢流堰高度。进水流量阶跃上升出水流量非同步上升例调节池水质模型（考虑浓度稀释） q in , Ss,in q out , Ss,out式中：Ss,in 进水基质浓度； Ss,out 出水基质浓度。进水基质浓度阶跃下降出水基质浓度非同步阶跃下跌V，Ss例曝气池溶解氧浓度模型 （传质改变浓度） 式中：So,in、 So,out 进、出水溶解氧浓度； So,s 曝气池饱和溶解氧浓度； KLa 溶解氧传质系数； (KLa)CW 纯水中溶解氧传质系数； (So,s)C

6、W 纯水中溶解氧饱和浓度； 、 比例常数； Ka与曝气装置有关； qa 空气流量。空气流量阶跃上升出水溶解氧浓度非同步阶跃上升例污泥耗氧速率模型（反应改变浓度）将等量污泥分别置于一系列试瓶中，密封后经不同时间间隔依次测定各瓶中的溶解氧浓度，将反应时间对溶解氧浓度作图，可得如图所示曲线。式中：rmax 污泥最大耗氧速率； KO 溶解氧半饱和常数。017h内溶解氧浓度线性下降，17h 后非线性下降例污泥生长及氮的消耗模型（双耦合反应）式中： Xb 微生物浓度； V 反应器体积； qin、 qout 进、出水水量 ；Xb,in 、Xb,out 进、出水微生物浓度； rb 微生物反应速率； Sn 氨氮

7、浓度； Sn,in、 Sn,out 进、出水氨氮浓度； rn 氨氮反应速率。 二个组分浓度相互关联例异养菌好氧生长与有机碳消耗模型 （三耦合反应）式中：Xh 微生物浓度（COD）； V 体积； qin、 qout 进、出水水量 ；Xh,in、 X h,out 进、出水微生物浓度（COD）； rh 微生物反应速率； Ss 可溶基质浓度； Ss,in、 Ss,out 进、出水可溶基质浓度； rs 可溶基质反应速率； So 溶解氧浓度；So,in 、So,out 进、出水溶解氧浓度； ro 溶解氧反应速率。三个组分浓度相互关联例三、复杂系统建模 例1.8 活性污泥过程数学模型 例1.9 厌氧消化过程

8、数学模型 例二沉池一维浓度分布模型 例沉淀池二维流场模型多 相多组分多尺度多目标 活性污泥模型 描述活性污泥过程 反应机理 可与过程进、出部分构成 完整模型 1987年由 IAWPRC（IWQ）发布 学习环境工程仿真技术的良好范例 活性污泥过程分析软件（如EFOR）的基础 1982 ASM课题组成立（IAWPRC）1987 （IAWPRC）1995 （IAWPRC，IAWQ）1999 ASM No.2D （IWQ）1999 ASM3 （IWQ） 例1. 活性污泥过程示意图A.TS.T进水出水废弃污泥空气例COD 守恒质量守恒电荷守恒 2. ASM1 建模原理例3. 建模方法 （1） 合理假定

9、（2） 系统分割 （3） 建立基本方程 （4） 建立相关方程 （5） 建立组分总反应速率方程 （6） 统一单位 （7） 确定参数 （8） 建立组分总速率方程 例（1）曝气池 pH 及温度正常（2）池内微生物种群和浓度正常（3）池内污染物浓度可变,但成分及组成不变（4）微生物营养充分（5） 二沉池无反应，仅作固液分离4. 合理假定例异养菌好氧生长 异养菌缺氧生长 自养菌好氧生长 异养菌衰减 自养菌衰减可溶有机氮的氨化被吸着缓慢降解有机碳的“水解”被吸着缓慢降解有机氮的“水解”8 个子过程5. 系统分割例(1) 过程13 个组分例易降解有机碳，Ss缓慢降解有机碳，Xs可溶性可降解有机氮，Snd颗粒

10、状可降解有机氮，Xnd溶解氧，So氨态氮，Snh硝态氮，Sno碱度，Salk异养菌，Xbh自养菌，Xba可溶惰性有机碳，Si颗粒惰性有机碳，Xi微生物衰减产物，Xp(2) 组分6. ASM1 组分与子过程的关系（化学计量系数）例式中： h,max 异养菌最大比生长速率； Ks 相应于Ss的饱和常数； Ko,h 相应于So在异养菌好氧生长中的饱和常数； 脚标子过程的编号。7. 建立基本速率方程（1）异养菌好氧生长例 式中： Kno Sno 在异养菌生长中的饱和常数； g 校正系数。例（2） 异养菌缺氧生长式中：a,max 自养菌最大比生长速率； Knh Snh在自养菌生长中的饱和常数； Ko,a

11、 So在自养菌生长中的饱和常数。例（3） 自养菌好氧生长式中：bh 异养菌衰减一级速率方程动力学常数。 式中：ba 自养菌衰减一级速率方程动力学常数。例（4） 异养菌衰减（5） 自养菌衰减式中：Ka 有机氮氨化动力学常数。例（6） 有机氮氨化 （或 氨氮增加）式中：Kh 水解动力学常数； Kx 水解反应常数； h 缺氧水解校正因子。（7） 易降解有机碳 Ss 增加 （即缓慢降解有机碳XS水解的反过程) Xbh ： Xbh ，(dSs/dt)7 ， (dXs/dt)7 Xbh 含胞外酶，对 XS 水解有催化作用Xbh ：(Xs/Xbh)/Kx+(Xs/Xbh) ，(dSs/dt)7 ， (dXs

12、/dt)7 Xbh 过多时，胞外酶过多，产生水解竞争与包埋作用，影响 XS 水解例式中：(dSs / dt )7 被吸着缓慢降解有机碳的“水解” 子过程速率方程。（8） (易降解有机氮 Snd 增长)（即缓慢降解有机氮 Xnd 水解的反过程) (dSnd/dt)8 = (Xnd / Xs) Kh(Xs/Xbh)/Kx+(XS/Xbh) So/(Ko,h+So) + h(Ko,h/(Ko,h+So) Sno/(Kno+Sno) Xbh = Kh(Xnd /Xbh)/Kx+(XS/Xbh)So/(Ko,h+So) + h(Ko,h/(Ko,h+So) Sno/(Kno+Sno) Xbh例8. 相关

13、方程例（共 8 组） 与异养菌好氧生长有关 与异养菌缺氧生长有关 与自养菌好氧生长有关 与异养菌衰减有关 与自养菌衰减有关 与氨氮增长有关 与易降解有机碳增长有关 与易降解有机氮增长有关 根据微生物生长与基质消耗的关系，利用异养菌产率系数 Yh 及微生物生长引起基质消耗的事实，可得： （1）与异养菌好氧生长有关 例 易降解有机碳被溶解氧生化氧化时，会发生电子得失。有机碳失COD，溶解氧与细胞得COD；有机碳失去的COD数，等于溶解氧与细胞各自所得COD的加和。例根据异养菌生长时的需氮量确定一个系数ixb例根据电荷守恒，碱度消耗量为氨氮的1/14。例(2) 与异养菌缺氧生长有关例(3) 与自养菌

14、好氧生长有关例9. 各组分总反应速率方程(1) ASM1内一览表(1)易降解有机碳，(dSs /dt )R(2)缓慢降解有机碳，(dXs/dt )R(3) 易降解有机氮，(dSnd/dt )R(4)颗粒状有机氮，(dXnd/dt )R(5)溶解氧，(dSo/dt )R(6)氨态氮，(dSnh/dt )R(7)硝态氮，(dSno/dt )R(8) 碱度，(dSalk/dt )R(9) 异养菌，(dXbh/dt )R(10)自养菌，(dXba /dt )R(11)可溶惰性有机碳，(dSi /dt )R(12)颗粒惰性有机碳，(dXi/dt )R(13)微生物衰减产物，(dXp /dt )R例 在异

15、养菌好氧生长（子过程1）中消耗 在异养菌缺氧生长（子过程2）中消耗 在被吸着缓慢降解有机碳的“水解”（子过程7）中生成（2）易降解有机碳总反应速率方程例必要性：13个方程联立求解，涉及有机碳、有机氮、微生物等不同物质 方法： 有机污染物，COD (mg/L) C18H19O9N 溶解氧，-COD (mg/L) 微生物，COD (mg/L) ( 1mg MLVSS = 1.42 mg COD） C5H7O2N NH3-N， N (mg/L) （1g N 相当于4.57g COD，转换系数 已包括在数学模型的方程中） NO3- -N， N (mg/L) （1g N 相当于2.86g 负COD，转换

16、系数 已包括在数学模型的方程中） 碱度, HCO3- (mol/L) 10. 统一组分浓度单位例11. 方程系数与常数（1）化学计量系数例类型符号单位默认值范围 化学计量系数Ya g 细胞COD / 氧化 g N0.240.070.28Yh g 细胞COD / 氧化 g COD0.670.460.69fp 无量纲0.080.08ixb g N / g 细胞COD 0.0860.086ixp g N / g COD 0.060.06（2）动力学参数例12. 组分进出系统关系例 13. 简化ASM1（1）部分可溶组分例（2）部分颗粒组分例 （1） 3 类假定（CSTR、运行正常、二沉池无反应） （

17、2） 空间无分割、组分（13）与子过程（8）分割 （3） 8个基本方程（生长、衰减、氨化、水解） （4） 22个相关方程（生长系数、质量守恒、经验常数） （5） 用 COD 统一单位（DO、NH3-N、NO3-N、微 生物） （6） 19个参数（5个化学计量、14个动力学） （7） 建立模型（13个总动力学方程、联立）例13. ASM1 小结厌氧消化模型F 水流量；i 进水；Z 除H与OH- 外的净电荷；S 含S 组分；HS 挥发酸；S- 酸根；D 溶解态；C 碳酸类组分；X 颗粒物；Bx 有毒物质；Q 气流量；QH2O 水汽流量；QCO2 CO2流量；pT 气体总压；pCO2 CO2分压；p

18、H2O 水汽分压。例1. 过程概况 (1) 厌氧消化速率由产甲烷段控制； （1.产脂肪酸段；2.产乙酸段；3.产甲烷段） (2) 基质消耗量及产物生成量与微生物的生成与消耗量成简单数量关系； (3) 反应器气相或液相内为CSTR 例2. 合理假定3. 系统分割 (1) 反应器内分为气相与液相两部分； (2) 液相内对组分与过程进行分割，空间不分割； (3) 气相内对组分与过程进行分割，空间不分割。 例4. 基本速率方程(1) 微生物生长：V (dX/dt ) = qiXi - qX + XV -KdXV式中： = max S /(Ks + S)； Ks饱和常数； Kd微生物衰减速率常数。(2)

19、 有机物消耗:V (dS/dt ) = qiSi - qS + X/Y(XS )V式中： Y(XS)微生物对基质的生长系数。例5. 校正方程(1) 乙酸浓度抑制校正： = max 1/(1 + Ks/S + S/KT) 式中：KT酸抑制系数。（上式代入基本方程对微生物生长速率进行校正） (2) 有毒物质抑制校正:(dX/dt )killed = KBBX，V (dBX/dt ) = qiBX,i - qBX式中：KB有毒物质抑制速率常数； BX 有毒物质浓度 。（上式并入基本方程对微生物生长速率进行校正） 例(3) 温度影响校正： max (T ) = max(350C)exp(T-35) k

20、D,T(T) = kD(350C)exp(T-35) （上式代入基本方程对微生物生长速率进行校正） (4) pH 影响校正: = max 1/(1 + Ks Ka/H+S- + H+S-/ KaKT) （上式并入基本方程对微生物生长速率进行校正） 因 HS H + + S - ，故 S HS= H+S-/Ka例(5) 液相 pH 校正： (CO2)D +H2O H+ + HCO3- , H+= Ki CO2D/HCO3-（上式代入 校正项4 进行校正） (6) 金属离子浓度对HCO3-影响校正: V (dHCO3-/dt) = V d(Z-S-)dt 式中：Z= M+-A-, M+ 为除 H+

21、 以外的全部阳离子，A- 为除OH- 以 外的全部阴离子, M+ - A- HCO3- + S-（上式代入 校正项5 进行校正） 例(7) 气相 CO2 分压校正： RG = dCO2 D / dt = KLa (CO2 D* - CO2 D) , CO2D* = KpCO2 G式中： KLa CO2气液传质系数； K亨利常数； *饱和值。（上式代入 校正项5 进行校正） (8) 微生物作用校正: RB = dCO2D/dt = Y(CO2X) X 式中： Y(CO2X)CO2 的比生成系数。（上式代入 校正项5 进行校正） RG=f(pCO2G)或 pCO2G =f(RG)例(9) 化学反应

22、校正( pH 变化不大时）： RC = dCO2D/dt q(HCO3-i- HCO3-o) / V + d(Z-S-)/dtH+/Ki（上式代入 校正项5 进行校正） 推导：由校正项5可知，CO2D = H+HCO3-/Ki,故 dCO2D/dt =(1/Ki) dH+HCO3-/dt =(1/Ki) H+dHCO3-/dt+ HCO3-dH+ /dt pH 变化不大时， dH+/dt 0,可得dCO2D/dt =(1/Ki)H+dHCO3-/dt根据校正项6，即dHCO3-/dtR = d(Z - S-)dt，再考虑一进一出， 即可得上式。例（10）气体流速校正： VGdCO2G/dt =

23、 -RGV - QCO2G pCO2 / pT = DCO2 G dpCO2/dt = pTDd CO2G / dt =pTD-RGV /VG - QCO2G/VG = - pTDRGV /VG - QpCO2/VG式中： Vco2为CO2分体积；VG为气相体积；V为液相体积；CO2G为气相CO2浓度；Q为流出气体流量；pCO2/pT分别是CO2分压与气体总压； D为气体质量与体积的转换因子。（上式代入 校正项7 进行校正）pCO2/pT= VCO2/VG = VCO2 MCO2/ VG MCO2 =DCO2G例6. 厌氧消化数学模型（1）液相例（2）微生物相例（3） 气相Qco2= -DVR

24、G 说明当液相CO2浓度大于其平衡浓度，则CO2由液相进入气相，RG为负值， QCO2为正值，Q值增大；当液相CO2浓度小于其平衡浓度，则CO2由气相进入液相，RG为正值， QCO2为负值，Q值减小。例（4） 模型整合例二沉池一维颗粒浓度分布模型 例1. 工艺概况2. 空间一维分割 例3. 合理假定 体元层为CSTR； 体元层颗粒浓度由沉降与对流控制； 体元层内无反应、无扩散。例4. 基本速率方程(1) 速率us = umax exp(-bX) 式中： us颗粒沉降速率； umax颗粒最大沉降速率； X颗粒浓度； b常数。uu = Qu /A式中： uu 水流上升速率； A二沉池截面积。ud

25、= Qd /A式中： ud 水流下降速率； A二沉池截面积。例(2) 通量 Gd, i = udXi式中：Gd 颗粒通过水流下降的沉降通量； ud 水流下降速率。 Gu, i = uuXi 式中：Gu 颗粒随水流上升的上升通量； uu 水流上升速率。 Gs, i = us, iXi (进水口以上且 Xi Xt)= min(us, iXi , us, i+1Xi+1 ) (进水口以上且 Xi Xt, 或进水口以下) 式中：Gs 颗粒随重力的沉降通量； us 颗粒重力下降速率； Xt 颗粒浓度阈值。例(3) 质量守恒 dXi / dt = （QFXF/A + Gd, i-1 + Gu, i+1 -

26、 Gd, i -Gu, i + Gs, i-1 - Gs, i ）/dzi 式中：QF 二沉池进水流量； XF 进水颗粒浓度； Gd, i-1 , Gs, i-1分别为 i 层由上一层(i-1层)获得的输入通量； Gu, i+1 i 层由下一层(i +1层)获得的输入通量； Gd, i , Gs, i分别为 i 层向下一层(i +1层) 的输出通量； Gu, i i 层向上一层(i -1层) 的输出通量； dzi 体元层 i 厚度。例(4) 质量守恒离散化 Xi / t = （QFXF/A + Gd, i-1 + Gu, i+1 - Gd, i -Gu, i +Gs, i-1 - Gs, i

27、）/ zi 式中：QF二沉池进水流量, QF = Qu + Qd； XF进水颗粒浓度； Gd, i-1 , Gs, i-1分别为 i 层由上一层(i-1层)获得的输入通量； Gu, i+1 i 层由下一层(i+1层)获得的输入通量； Gd, i , Gs, i分别为 i 层向下一层(i+1层) 的输出通量； Gu, i i 层向上一层(i-1层) 的输出通量； z i 体元层厚度。例5. 体元层方程(1) 进水口以上，不含顶层 dXi / d t = （ Gu, i+1 - Gu, i +Gs, i-1 - Gs, i ）/ dzi（i = 2, 3, ., m-1)式中： Gu, i = u

28、u Xi， Gu, i+1 = uu Xi+1 Gs, i-1 = us, i-1Xi-1 (若 Xi-1 Xt) = min(us, i-1 Xi-1 , us, i Xi ) (若 Xi-1 Xt) Gs, i = us, i Xi (若 Xi Xt) = min(us, i Xi , us, i+1 Xi+1) (若 Xi Xt) 例(2) 进水口 dXm / dt = (QFXF/A) + Gs, m-1 - Gs, m - Gd, m - Gu, m / dzm式中：m 进水口体元层序号； Gs, m-1 = min(us, m-1 Xm-1 , us, m Xm )； Gs, m

29、= min(us, m Xm , us, m+1 Xm+1 )； Gd, m = ud Xm； Gu, m = uu Xm； QF = Qu + Qd。例(3)进水口以下，不含底层 dXi / dt = （Gd, i-1 - Gd, i +Gs, i-1 - Gs, i） / dzi （i = m+1, m+2, ., n-1)式中： Gs, i-1 = min(us, i-1 Xi-1 , us, i Xi ) Gs, i = min(us, i Xi , us, i+1Xi+1 ) Gd, i = ud Xi Gd, i-1 = ud Xi-1例(4)顶层 dX1 / dt = （Gu,

30、2 - Gs, 1 - Gu, 1）/ dz1 式中： Gu, 2 = uu X2 Gu, 1 = uu X1 Gs, 1 = us, 1 X1 (若 X1 Xt) = min(us, 1 X1 , us, 2 X2) (若 X1 Xt) 例(5)底层 dXn / d t = （Gs, n-1 + Gd, n-1 - Gd, n）/ dzn 式中： Gd, n-1 = ud,n-1 Xn-1 Gd, n = ud,nXn Gs, i-1 = min(us, n-1 Xn-1 , us, n Xn)例6. 二沉池一维模型 (1)连续dX1 / d t = （ Gu, 2 - Gs, 1 - Gu

31、, 1）/ dz1dXi / d t = （ Gu, i+1 - Gu, i +Gs, i-1 - Gs, i ）/ dzi （i = 2, 3, ., m-1)dXm / d t = (qFXF/A) + Gs, m-1 - Gs, m - Gd, m - Gu, m / dzmdXi / d t = （Gd, i-1 - Gd, i +Gs, i-1 - Gs, i） / dzi （i = m+1, m+2, ., n-1)dXn / d t = （ Gs, n-1 + Gd, n-1 - Gd, n）/ dzn例(2) 离散X1 / t = （Gu, 2 - Gs, 1 - Gu, 1）

32、/ z1Xi / t = （Gu, i+1 - Gu, i +Gs, i-1 - Gs, i）/ zi （i = 2, 3, ., m-1)Xm / t = (qFXF/A) + Gs, m-1 - Gs, m - Gd, m - Gu, m / zmXi / t = （Gd, i-1 - Gd, i +Gs, i-1 - Gs, i / zi （i = m+1, m+2, ., n-1)Xn / t = （Gs, n-1 + Gd, n-1 - Gd, n）/ zn例二沉池流场模型（一）模型概述例（二）系统分割（1） 二维分割（网格可均匀，也可不均匀）；（2）网格内对组分进行分割（流体，颗粒

33、物）；（3）网格内对过程进行分割 （流体质量、动量， 湍流动能、动能 耗散，颗粒物质量）。例（三）合理假定 网格内为CSTR； 各网格相对第3维内流场处处均匀； 网格内无反应。例（四）组分a质量守恒方程1. 对流传质流入通量 Jx =maux流出通量Jx+ (Jx/x)dx = maux +(maux/x)dx式中： 流体密度; u 组分 a 流速; ma 组分 a 质量分数。净对流流出质量为：( maux/x)dxdydz例(1) x 方向流入通量 Jy = mauy流出通量Jy +(Jy/y)dy = mauy +(mauy/y)dy(2) y 方向净对流流出质量为：( mauy/y)dx

34、dydz例式中： 流体密度; u 组分 a 流速; ma 组分 a 质量分数。流入通量 Jz = mauz流出通量Jz+ (Jz/z)dz = mauz +(mauz/z)dz(3)z 方向净对流流出质量为：(mauz/z)dxdydz例式中： 流体密度; u 组分 a 流速; ma 组分 a 质量分数。 ( ma) t = - uma （ del, nabla ) ( div uma , divergence of uma ) (a) 用体元体积dxdydz除总的对流流出量可得：( maux/x)+( mauy/y)+( mauz/z)dxdydz/dxdydz uma 注： u = ux/

35、x + uy/y + uz/z (b) 若x、y、z三方向均体元流出量 体元流入量，体元内质量会减少，故 u ma 前要加负号。(4)x、y、z 三方向 单位体积净对流流出质量例2. 扩散传质（1）x 方向流入通量 Jx,d = - a(ma/x)流出通量Jx,d+ (Jx,d/x)dx式中： 扩散系数，gamma, kg/(sm)； ma 组分 a 质量分数。净扩散流出质量为：(Jx,d /x)dxdydz扩散系数的单位为m2/s，但若将流体密度考虑在内，则单位为 kg/(sm)例流入通量 Jy,d = - a( ma/y)（2） y 方向净扩散流出质量为：(Jy,d / y) dxdydz

36、流出通量Jy,d+ (Jx,d/y)dy例式中： 扩散系数，gamma, kg/(sm)； ma 组分 a 的质量分数。流入通量 Jz,d = - a( ma/z)（3）z 方向净扩散流出量为：(Jz,d /z) dxdydz流出通量Jz,d+ (Jz,d/z) dz例式中： 扩散系数，gamma, kg/(sm)； ma 组分 a 质量分数。 (ma) t = - a(ma) (a) 用体元体积dxdydz除总的扩散流出量可得：(Jx,d /x)+(Jy,d /y)+(Jz,d/z)dxdydz/dxdydz = -a(ma/x)/x-a(ma/y)/y-a(ma/z)/z = - a ma

37、 注： u = ux/x + uy/y + uz/z u = ux/x uy/y uz/z (grad u, gradient of u) (b) 若x、y、z三方向均体元流出量 体元流入量，体元内质量会减少，故 - a(ma) 前要加负号，变成 a(ma) 。（4）x、y、z三方向单位体积净扩散流出量例对于 - a(ma)因为 a=a/x +a/y +a/z，ma= ma/x ma/y ma/z所以 - a(ma) = -a(ma)X /x +a(ma)Y/y+ a(ma)Z /z又因为 (ma)X = ma/x ma/y ma/zX = ma/x (ma)Y = ma/ x ma/y ma

38、/zY = ma/y (ma)Z = ma/ x ma/y ma/zZ = ma/z所以 - a(ma) = -a( ma/x)/x+a( ma/y)/y+a( ma/z)/z说明： - a(ma) = ？例 x、y、z 三方向单位体积净流出量：(ma) / t = - uma + a(ma) + S（S 项暂不推导）例3. 对流、扩散传质及源项4. 组分a 小结 (1) 计算 ma 随时间的变化速率； (2) ( ma) / t 与流体对流、扩散及源有关； (3) 式 (ma) / t = - uma + a(ma) + S 有典型意义。例(五) 系统动量守恒方程 对流 (1) x 方向动量

39、 在 x 方向传递单位时间、单位体积流入动量 uxux/dx单位时间、单位体积流出动量ux+ (ux/x)dx ux+ (ux/x)dx/dx式中： 流体密度； u 流体流速。净对流流出动量（舍去二次项）： 2 ux( ux/ x )例 在 y 方向传递单位时间、单位体积流入动量 uxuy/dy单位时间、单位体积流出动量ux+(ux/y)dy uy+(uy/y)dy/dy净对流流出动量（舍去二次项）： ux(uy/y)+ uy(ux/y)例式中： 流体密度； u 流体流速。单位时间、单位体积流入动量 uxuz/dz单位时间、单位体积流出动量 ux+(ux/z)dz uz+(uz/z)dz/dz

40、净对流流出动量（舍去二次项）： ux(uz/z)+ uz(ux/z)例 在 z 方向传递式中： 流体密度； u 流体流速。 ux(ux/x)+uy(ux/y)+uz(ux/z) 推导： 不可压缩流体存在连续方程： (ux/x) + (uy/y) + (uz/z)= 0 因而 ux(ux/x) + ux(ux/x) + ux(uy/y) + uy(ux/y) + ux(uz/z) + uz(ux/z) = ux(ux/x) + uy(ux/y) + uz(ux/z)例 在 x、y、z 三方向单位时间、单位体积净对流流出量 ux(uy/x) + uy(uy/y) + uz(uy/z)例(2) y

41、方向动量在 x、y、z 三方向单位时间、单位体积净对流流出量： ux(uz/x) + uy(uz/y) + uz(uz/z)例(3) z 方向动量在 x、y、z 三方向单位时间、单位体积净对流流出量： (u) / t = - uu 推导： ( u) / t = ux(ux/x)+(uy/x)+(uz/x) +（全微分概念） uy(ux/y)+(uy/y)+(uz/y) + uz(ux/z)+(uy/z)+(uz/z) = ux(u/x)+ uy(u/y) + uz(u/z) = uu 对体元而言为净流出，因而为 - uu 注：u 为流体流速向量 u = ux/x + uy/y + uz/z例(

42、4) 单位体积净对流流出量体元应力体元受外力时因黏度产生的抵御体元变形的能力，包含法向应力与切向应力。法向应力体元抵御本身线变形的能力。切向应力体元抵御本身角变形的能力。F = ma = mv/t例2. 应力(1) 概念zzy y yzxxzyzydxzdydzxyxyxyxzxyzxyxzzx(2) 单位体积的应力（共18个)x x方向法向应力；x x反方向法向应力；y y方向法向应力；y y反方向法向应力；z z方向法向应力；z z反方向法向应力；xy 垂直x轴的y方向切应力；xy 垂直x轴的y反方向切应力；xz 垂直x轴的z方向切应力；xz 垂直x轴的z反方向切应力；yx 垂直y轴的x方

43、向切应力；yx 垂直y轴的x反方向切应力；yz 垂直y轴的z方向切应力；yz 垂直y轴的z反方向切应力；zx 垂直z轴的x方向切应力；zx 垂直z轴的z反方向切应力；zy 垂直z轴的y方向切应力；zy 垂直z轴的y反方向切应力。例zzy y yzxxzyzydxzdydzxyxyxyxzxyzxyxzzx(3) 体元面法向应力 前三平面某点法向应力体元抵御线变形的力x = - p + 2(ux x)y = - p + 2(uy y)z = - p + 2(uz z) p = (1/3)(x + y + z)说明：法向应力向外为正，P 点位于体元中心，计算须使用试差法。 动力黏度，黏性系数； P

44、as = (N/m2)s = kg/(sm)。p 单位面积压力，(kgm/s2)/m2； 法向应力，(kgm/s2)/m2 ；例zzy y yzxxzyzydxzdydzxyxyxyxzxyzxyxzzx法向应力体元抵御线变形的力x= x+ (x/x)dx = -p + 2 (ux x) (p/x)dx + 2 (ux x)/xdxy= y+ (y/y)dy = -p + 2 (uy y) (p/y)dy + 2 (uy/y)/ydy z= z+ (z/z)dz = -p + 2 (uz z) (p/z)dz+ 2 (uz /z)zdz例 后三面某点zzy y yzxxzyzydxzdydzx

45、yxyxyxzxyzxyxzzxx 方向表面相应点净法向应力：x-x = (p/x)dx + 2 (ux x) / xdx y 方向表面相应点净法向应力： y-y = (p/y)dy +2 (uy y) / ydy z 方向表面相应点净法向应力： z-z = (p/z)dz +2 (uz z) / zdz 例 体元六个面某点zzy y yzxxzyzydxzdydzxyxyxyxzxyzxyxzzxx 方向表面净法向应力： (x-x )dydz = (p/x)dxdydz + 2 (ux x) xdxdydz y 方向表面净法向应力： (y-y )dxdz = (p/y)dxdydz + 2

46、(uy y) ydxdydzz 方向表面净法向应力： (z-z )dxdy = (p/z)dxdydz + 2 (uz z) zdxdydz例体元六个面zzy y yzxxzyzydxzdydzxyxyxyxzxyzxyxzzxyx = (ux y) + (uy x) yx = yx+(yx y)dy = (ux y)+(uy x) + (ux / y)+(uy x)/ ydyzx = (uz x) + (ux z)zx = zx+(zx z)dz = (ux z)+(uz x)+ (ux / z)+ (uz x)/ zdz 动力黏度，黏性系数； Pas = (N/m2)s = kg/（sm）

47、例(4) 体元面切向应力 垂直于 x 轴各切向力 zzy y yzxxzyzydxzdydzxyxyxyxzxyzxyxzzxyx - yx = (ux /y) + (uy x)/ydyzx - zx = (ux /z) + (uz x)/zdz 垂直于x 轴切向力合力例zzy y yzxxzyzydxzdydzxyxyxyxzxyzxyxzzxzy = (uy z) + (uz y)zy = zy+(zy z)dz = (uy z)+(uz y)+ (uy /z) + (uz/y)/zdzxy = (ux y) + (uy x)xy = xy+(xy x)dx = (ux y)+(uy x)

48、+ (ux /y)+ (uy x)/xdx垂直于y 轴各切向力 动力黏度，黏性系数； Pas = (N/m2)s = kg/(sm)例zzy y yzxxzyzydxzdydzxyxyxyxzxyzxyxzzxxy - xy = (ux /y) + (uy x)/xdxzy - zy = (uy /z) + (uz/y)/zdz例垂直于y 轴切向力合力zzy y yzxxzyzydxzdydzxyxyxyxzxyzxyxzzxxz = (uz x) + (ux z)xz= xz+(xz /x)dx = (ux /z)+(uz x)+ (ux /z) + (uz x)/ xdxyz = (uy

49、/z) + (uz /y)yz = yz+(yz /y)dy = (uy/z)+(uz y) + (uy /z) + (uz /y)/ ydy 动力黏度，黏性系数； Pas = (N/m2)s = kg/（sm）例垂直于 z 轴各切向力 zzy y yzxxzyzydxzdydzxyxyxyxzxyzxyxzzxxz - xz = (ux /z) + (uz x)/xdx yz - yz = (uy /z) + (uz y)/ydy 例垂直于 z 轴切向力合力zzy y yzxxzyzydxzdydzxyxyxyxzxyzxyxzzx(5) 体元表面净法向应力与切向应力之和垂直 x 轴的表面p

50、x = (x-x)dydz+(yx- yx)dxdz+( zx-zx)dxdy/dxdydz = (p/x)+2(ux x)x+ (ux /y) + (uy/x)/y + (ux/z)+ (uzx)/z 例py = (y-y)dxdz + (xy- xy)dydz + ( zy-zy)dxdy/dxdydz = (p/y) + 2 (uy y)y + (ux /y) + (uy x)/x + (uy/z) + (uz/y)/z垂直 y 轴的表面例pz = (z-z)dxdy +(xz- xz)dydz +( yz-yz)dxdz/dxdydz = (p/z) + 2 (uz z)z + (ux

51、/z) + (uz x)/x + (uy /z)+(uz y)/y例垂直 z 轴的表面 体元表面 垂直x 方向净法向应力与切向应力之和px = (p/x) + 2 (ux x)x + (ux /y)+ (uyx)/y 体元表面 y 方向净法向应力与切向应力之和py= (p/y) +2 (uy y)y + (ux /y)+ (uy x)/x 例(6) 切向应力二维表达( ux) /t+ uxux-(ux /x)/x + uyux-(ux /y)/y (体元动量变化速率) (对流) (法向应力) (对流) (切向应力)= - (p/x)+ (ux /x)/x+ (uy /x)/y-2( k /x)

52、/3 ( 法向应力) （法向应力) (切向应力) (湍流修正)例3. 对流 应力(1) x 方向 动量变化速率 说明： 动量质量 速率 力质量 加速度质量 速率/时间故 动量/时间力即，动量的变化速率的量纲为力的量纲。( uy) /t + uxuy-(uy /x)/x + uyuy-(uy /y)/y(体元动量变化速率) (对流) (法向应力) (对流) (切向应力)= -(p/y) + (ux y)/x + (uy /y)/y -2(k /y)/3 + gy (法向应力) （法向应力) (切向应力) (湍流修正) (重力修正)例(2) y 方向 动量变化速率 说明： 动量质量 速率 力质量

53、加速度质量 速率/时间故 动量/时间力即，动量的变化速率的量纲为力的量纲。 ( ux) /t + uxux/x + uyux/y - (ux /y)/y (体元动量变化速率) (对流) (对流) (切向应力)= - (p/x) -2( k x)/3 (法向应力) (湍流修正) 说明：对大部分流体，有 xx= yy = zz = 0 因 = ( u / x )故 ux/ x = uy y = uz z = 0 例(3) 动量变化二维表达 x 方向( ux) t = - u ux + - p - S (体元动量变化速率) (对流) (应力) (动压力)（源）式中: S -2( k x)/3 例 x

54、 方向化简 ( uy) t+ uxuy/x + uyuy/y - (uy /x)/x (体元动量变化速率) (对流) (对流) (切向应力)= - (p/y) -2(k y)/3 + gy (法向应力) (湍流修正) (重力修正) 说明：对大部分流体，有 xx= yy = zz = 0因 = (u/x )故 ux/x = uy /y =uz / z = 0 例 y 方向 ( uy) / t = - u uy + - p + S (体元动量变化速率) (对流) (切向应力) (动压力)（源）式中： S = -2( k / y) / 3 + gy例 y 方向化简 ( u) / t = - uu +

55、 - p + S (体元动量变化速率) (对流) (切向应力) (动压力)（源） = - uu + (u ) - p + S 比较：组分a、对流、扩散 ( ma) / t = - u ma + a(ma) + S例 x 、y方向合成进水口：流体垂直流速0，水平流速各点相同出水口：流体垂直流速0，水平流速各点相同池水面：流体垂直流速0池 壁：流体垂直流速0，水平流速0例(4) 动量方程边界条件 水流 池壁对流体的剪切张力 0 0 C0.25 k0.5 u / ln (Ex)式中：C 经验常数，约为 ； k 湍流动能； 常数，对于平滑池壁为 ； E 常数，对于平滑池壁为 9.793; x 无量纲距

56、离，为。由此： 0 k u例 池壁 流体静止：压力项 p 处处为0。 流体静止、密度均匀、浮力很小：重力项可不计。 流体密度不均匀、且浮力较大：重力项 ( -r) gy式中：r 流体参考密度。压力项 = p* - rgy y 式中：p* 流场某点压力； r gy y 流体参考静压力。例 压力与重力 (a) 根据“动量质量速率”直接计算体元因对流产生的动量变化速率； (b) 根据 动量/时间力, 先计算体元的法向应力与切向应力，然后计算动量变化速率； (c) 计算体元因对流与应力产生的动量变化速率； (d) 给出边界条件。 例(5) 动量守恒方程小结 ( ) / t = - u + + S式中：

57、 单位质量流体中的动量； u 流体速率（向量）； 流体密度（标量）； t 时间（标量）； 基本扩散系数（标量）； S 源项（标量）。例(6) 动量守恒方程的规范形式（1）平均湍流动能守恒方程（三维） (k) /t = - uk + L+(T/k)k + （体元湍流动能变化速率） （对流） （扩散） (T/2)(:) - （产生） （耗散）式中：k 湍流动能，m2/s2； 湍流动能耗散速率，m2/s3； L 层流黏度； T 湍流黏度，Tk2/； 流体黏度， L + T , kg/(sm)； k 常数，一般为； :（二维）=4(ux x)2 +(uy y)2+2(uy x)+(ux y)。 湍流

58、流体质点不断掺混 物理量作时空随机变动 统计上具有时空确定性量纲统一：kg/(s3m)例4. 系统湍流守恒方程 (k)/t = - uk + L+(T /k)k - （对流） （扩散） （耗散）例（2）平均湍流动能守恒方程 （三维，不计动能产生） k /t + uxk - L+(T /k)(k / x)/x + uyk -L+(T /k)(k /y)/y = T2(ux/x)2+(uy/y)2+(uy/x)+(ux/y)2- 注：湍流动能 k 是标量。例（3）平均湍流动能守恒方程（二维） k /t + uxk-L+ (T /k)(k/x)/x + uyk -L+(T/k)(k /y)/y =

59、- 注：湍流动能 k 是标量。例（4）平均湍流动能守恒方程 （三维，不计动能产生） 进水口： k = 3(Iux)2/ 2式中：I 平均湍流强度，。 出水口： k/x = 0 池水面： k/y = 0例（5）湍流动能边界条件 水流池 壁： k = |0|/ C 0 C0.25 k 0.5 u / ln(Ex)式中： C经验常数，约为 ； k 湍流动能； 常数，对于平滑池壁为 ； E 常数，对于平滑池壁为 9.793; x 无量纲距离，为。 由此： 0 k u注：因方程等号两侧均含 k, 因此可用试差法计算。例 池壁 () / t = - u + L+(T /) + （湍流动能 （对流） （扩散

60、） 耗散速率） C1( /k)(T/2)(:) C2 2/k （动能产生影响） （涡流解体影响） 式中：C1，C2 经验常数，C1 为，C2为； 常数，一般为。流体湍流动能通过切应力转换成流体内能产生耗散量纲统一：kg/(s4m)例7. 湍流动能耗散速率方程（1）平均湍流动能耗散守恒方程（三维） () / t + ux-L+(T/)( /x)/x + uy -L +(T/)(/y)/y = C1(/k)T2(ux/x)2 +(uy /y)2 + (uy/x)+(ux/y)2 C22/k例（2）平均湍流动能耗散守恒方程（二维） () /t = - u + (T/) C2 2/k)上述方程展开、重