理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案

1、第一章 质点力学1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：式中及为常数，试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。 解 ：由题可知，变加速度表示为由加速度的微分形式我们可知代入得 对等式两边同时积分可得 ：（为常数）代入初始条件：时， 故即又因为所以 对等式两边同时积分，可得：1.8 直线在一给定的椭圆平面内以匀角速绕其焦点转动。求此直线与椭圆的焦点的速度。已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为式中为椭圆的半长轴，为偏心率，常数。解：以焦点为坐标原点则点坐标 对两式分别求导 故如图所示的椭圆的极坐标表示法为 对求导可得（利用） 又因为 即 所以 故

2、有 即 （其中为椭圆的半短轴）1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。证：质点作平面运动，设速度表达式为 令为位矢与轴正向的夹角，所以 又因为速率保持为常数，即 为常数对等式两边求导 所以 正交.1.11 质点沿着半径为的圆周运动，加速度矢量与速度矢量间的夹角保持不变。求质点的速度随时间而变化规律。出速度为。解 由题可知速度和加速度有关系如图所示 两式相比得 即 对等式两边分别积分 即 此即质点的速度随时间而变化的规律1.19 将质量为的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即。如上抛时的速度为，试证此质点又落至投掷点时的速度为上升时 下降

3、时题图则两个过程的运动方程为： 上升 下降： 对上升阶段: 即 对两边积分 所以 即质点到达的高度.对下降阶段： 即 由=可得 1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。 ， 解 （a）保守力满足条件对题中所给的力的表达式 ，代入上式所以此力是保守力，其势为 (b)同（a），由所以此力是保守力，则其势能为 1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有势能：0试求中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；求质量为的粒子作半径为的圆运动的动量矩及能量。解 （a）因为质子与中子之间引力势能表达式为 故质子与中子之间的引力 （b）质量为的粒子作半径为的圆运动。动量矩 由（

4、a）知 提供粒子作圆周运动的向心力，方向是沿着径向，故 当半径为的圆周运动 两式两边同乘以 即 又因为 有 做圆周运动的粒子的能量等于粒子的动能和势能之和。所以 1.43 质点所受的有心力如果为 式中及都是常数，并且，则其轨道方程可写成 试证明之。式中（为积分常数）。证 由毕耐公式 质点所受有心力做双纽线运动故 故 证 由毕耐公式 将力带入此式 因为 所以 即 令 上式化为 这是一个二阶常系数废气次方程。解之得 微积分常数，取，故 令 所以 第二章习题.2.1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为,所对的圆心角为2，并证半圆片的质心离圆心的距离为。 解 均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知

5、质心一定在轴上。有质心公式 设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元， 又因为 所以 对于半圆片的质心，即代入，有 2.2 如自半径为的球上，用一与球心相距为的平面，切出一球形帽，求此球形冒的质心。解 建立如图图所示的球坐标系把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加设均匀球体的密度为。则 由对称性可知，此球帽的质心一定在轴上。代入质心计算公式，即2.5 半径为，质量为的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动，求绕此轴的动量矩。解 因为质点组队某一固定点的动量矩 所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的取和变为积分。如图图所示薄圆盘，任取一微质量元， 所以圆盘绕此轴的动量矩=2.

6、6 一炮弹的质量为，射出时的水平及竖直分速度为及。当炮弹达到最高点时，其内部的炸药产生能量，使此炸弹分为及两部分。在开始时，两者仍沿原方向飞行，试求它们落地时相隔的 距离，不计空气阻力。解：炮弹达到最高点时爆炸，由题目已知条件爆炸后，两者仍沿原方向飞行知，分成的两个部分，速度分别变为沿水平方向的，并一此速度分别作平抛运动。由前面的知识可知，同一高处平抛运动的物体落地时的水平距离之差主要由初速度之差决定。进而转化为求，。炮弹在最高点炮炸时水平方向上无外力，所以水平方向上的动量守恒： 以质点组作为研究对象，爆炸过程中能量守恒：联立解之，得 所以落地时水平距离之差=2.16 雨滴落下时，其质量的增加

7、率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。解 这是一个质量增加的问题。雨滴是本题。导致雨滴变化的微元的速度。所以我们用书上p.138的（）式分析 雨滴的质量变化是一类比较特殊的变质量问题。我们知道处理这类问题常常理想化模型的几何形状。对于雨滴我们常看成球形，设其半径为，则雨滴质量是与半径的三次方成正比（密度看成一致不变的）。 有题目可知质量增加率与表面积成正比。即 为常数。我们对式两边求导 由于=，所以 对式两边积分 以雨滴下降方向为正方向，对式分析 （为常数）当时，所以 第三章习题解答的均质棒，一端抵在光滑墙上，而棒身则如图示斜靠在与墙相距为的光滑棱角上。求棒在平衡时与水平面所成的角

8、。解 如题图所示，均质棒分别受到光滑墙的弹力，光滑棱角的弹力，及重力。由于棒处于平衡状态，所以沿方向的合力矩为零。即 由式得： 所 3.5一均质的梯子，一端置于摩擦系数为的地板上，另一端则斜靠在摩擦系数为的高墙上，一人的体重为梯子的三倍，爬到梯 的顶端时，梯尚未开始滑动，则梯与地面的倾角，最小当为若干？解 ：梯子受到地面和墙的弹力分别为，受地面和墙的摩擦力分别为，。梯子和人的重力分别为，且。设梯长为，与地面夹角为。由于梯子处于平衡，所以 且梯子沿过点平行于轴的合力矩为零。即：又因梯子是一个刚体。当一端滑动时，另一端也滑动，所以当梯与地面的倾角达到最小时， 由得： 所以 ， 3.10一均质圆盘，

9、半径为，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时轴过点垂直纸面向外。均质圆盘的密度为。设盘沿顺时针转动，则沿的方向有 即 为转盘绕轴的转动惯量：（为盘的质量）， （为盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动）=由得 又因为 故 所以 得 绕其轴转动。空气阻力矩与角速成正比，比例常数为。如转动部分对其轴的转动惯量为，问经过多少时间后，其转动的角速减为初角速的一半？又在此时间内共转了多少转？解 如题图所示，设轴通过点垂直纸面指向外。则对轴有：设通风机转动的角速度大小为，由于通风机顺时针转动。所以，将代入上式得： 。又由于，解得：故当时，。又由于 （为通风机转动的角度）设， 故当时，时间内通风机转动的转数 ，边长为与，重为，绕竖直轴以初角速转动。此时薄