连续信号与系统的复频域分析课件

1、第4章 连续信号与系统的复频域分析4.1 引言4.2 拉普拉斯变换4.3 单边拉普拉斯变换的性质4.4 拉普拉斯逆变换4.5 连续系统的复频域分析4.6 S域的网络模型法或运算电路法4.7 连续信号的信号流图4.8 系统函数与系统特性复频域分析是动态电路的一种分析方法，这种方法不是在时间域里直接进行分析和求解，而是变换到复频域的范围内求解。所使用的数学工具就是拉普拉斯变换理论。拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分），是在19世纪末发展起来的。首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)，发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证。后来由法国数学

2、家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密的数学定义，所以称之为拉普拉斯变换方法。4.1 引言返回4.2.1 从傅立叶变换到拉氏变换拉普拉斯（Laplace）变换在电学、光学、力学等工程技术与科学领域中有着广泛的应用。由于它的原函数f(t)要求的条件比傅里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的适用面要广。傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 有定义，在任一有限区间上满足狄利赫利条件，并要求 存在。这是一个比较苛刻的要求，有几种常见的情况就不满足狄里赫利条件：4.2 拉普拉斯变换下一页返回阶跃信号 增长信号 (a0) 周期信号 对这几种傅立叶变换不存在的信号，若乘一衰减因子

3、（ 为实数），构建新的信号： 对于新构建的信号 （ 为实数），如果能选择适当的 使 绝对可积，4.2 拉普拉斯变换下一页返回上一页即满足狄里赫利条件，则该信号的傅里叶变换存在。用 表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义，则有根据傅里叶逆变换的定义，则上式两边乘以 ，得令 , 则 ，代入上式得到4.2 拉普拉斯变换下一页返回上一页4.2.2 双边拉普拉斯变换的收敛域拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛域问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建

4、立一一对应的关系。在以 为实轴， 为虚轴如图4-1所示的复平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的收敛域 （Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的概念。4.2 拉普拉斯变换下一页返回上一页任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定都存在。由于f(t)的双边拉普拉斯变换是信号 的傅里叶变换，因此，若 绝对可积，即则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存在取决于能否选取适当的 。进一步说，由于 ，所以，F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实部 决定，与S的虚部 无关，所以，F(s)的收敛域的边

5、界是平行 轴的直线。4.2 拉普拉斯变换下一页返回上一页4.2.4 常用信号的拉普拉斯变换1单位阶跃函数 的拉普拉斯变换即2函数 的拉普拉斯变换 即 同理可得，当n为正整数4.2 拉普拉斯变换下一页返回上一页3 指数函数 (a是实常数)的拉氏变换即 4 单位冲激函数 的拉氏变换即 5 正弦函数 的拉氏变换4.2 拉普拉斯变换下一页返回上一页即 同理 从上述可以看出拉普拉斯变换的收敛域的边界位置是由拉普拉斯变换的极点决定的，拉普拉斯变换的收敛域有以下的特征,归纳如下:1）信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的收敛域由平行于 的带状区域构成。收敛域是使 绝对可积的那些S构成的，只与有关，故ROC的边

6、界总是平行于 的直线。4.2 拉普拉斯变换下一页返回上一页2）拉氏变换的收敛域内无极点。3）时限信号的收敛域是整个S平面。4）右边信号的收敛域是最右边极点的右边区域。5）左边信号的收敛域是最左边极点的左边。6）双边信号的拉氏变换如果存在，则它的收敛域是一个带形区域。4.2 拉普拉斯变换返回上一页4.3.1 线性若 则4.3.2 时移性质若则4.3 单边拉普拉斯变换的性质下一页返回4.3.3 复频移性质若则4.3.4 尺度变换性质若则4.3.5 卷积性质若 ， 为因果信号，并且：4.3 单边拉普拉斯变换的性质下一页返回上一页则 4.3.6 复频域卷积分性质 若 ， 为因果信号，并且：则4.3 单

7、边拉普拉斯变换的性质下一页返回上一页4.3.7 时域微.积分性质若则 若f(t)为因果信号，则 ( )，此时，时域微分性质表示为4.3.8 时域积分性质若则4.3 单边拉普拉斯变换的性质下一页返回上一页4.3.9 复频域微分性质若则4.3.10 复频域积分性质若则4.3.11 初值定理若信号f(t)不包含冲激函数 及其各阶导数，并且4.3 单边拉普拉斯变换的性质下一页返回上一页则信号f(t)的初值为4.3.12 终值定理 若f(t)在 时极限 存在，并且则的终值为4.3 单边拉普拉斯变换的性质返回上一页 4.4.1 查表法对于简单的拉普拉斯逆变换可以用查表法。常见的拉普拉斯逆变换如表4-2所示

8、。4.4.2 部分分式展开法设F(s)是S的有理真分式 （nm）式中系数 ， 都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。 4.4 拉普拉斯逆变换返回二阶常系数线性微分方程的一般形式为：式中， 、 和 、 、 为实常数；f(t)为因果信号，因此， 、 均为零。设初始时刻 ，y(t)的单边拉普拉斯变换为Y(s)，对上式两端取单边拉普拉斯变换，根据时域微分性质得即4.5 连续系统的复频域分析下一页返回 和 是在 时刻的初始值，由 时刻系统的初始状态决定。A(s)称为系统的特征多项式，A(s)=0称为系统的特征方程， A(s)=0的根称为特征根；Y(s)的第一项 只与初始值 、

9、 有关，与系统的输入无关，因此，它是系统零输入响应 的单边拉普拉斯变换；Y(s)的第二项 只与输入有关，而与初始值 、 无关，因此，它是系统零状态响应y(t)的单边拉普拉斯变换。求得逆变换，得到系统的全响应：4.5 连续系统的复频域分析下一页返回上一页其中零输入响应：零状态响应：4.5 连续系统的复频域分析返回上一页根据元件上的电压、电流关系列写电路系统的微积分方程，然后对方程取拉氏变换的方法，在分析电路响应时有许多优点，但是对比较复杂的网络(多网孔节点)，以及对初始条件的处理（需要标准化或等效）还有许多不便之处，可以将初始条件“自动”引入， 充分体现拉氏变换优越性。若把RLC系统（电路）中的

10、激励（独立源）和响应都用其象函数表示，R,L,C元件用其复频域的模型表示，就得到RLC系统的复频域模型。如前所述，在复频域中，R,L,C元件上的VAR都是代数关系，而KVL、KCL在复频域也成立。因此，在复频域中，RLC系统的激励与响应的关系是关于S的代数方程。4.6 S域的网络模型法或运算电路法下一页返回用于分析正弦稳态电路的各种相量分析法，如阻抗串联并联、电源模型等效互换、等效电源定理、网孔分析法、节点分析法等，都可借鉴用于RLC系统的复频域分析。4.6.1 元件的S域模型1电阻元件R设线性时不变电阻R上电压u(t)和电流i(t)为关联参考方向，则R上电流和电压关系(VAR的时域形式为u(

11、t)=Ri(t)电阻元件在时域中的电路模型如图4-10（a）所示。4.6 S域的网络模型法或运算电路法下一页返回上一页设u(t)和电流i(t)的象函数分别为U(s)和I(s)，对式取拉氏变换，得U(s)=RI(s) 上式是电阻元件VAR的S域形式，图4-10（b）是电阻元件在S域中的电路模型。2电感元件L设线性时不变电感L上电压u(t)和电流i(t)为关联参考方向，则电感元件L上电流和电压关系(VAR)的时域形式为4.6 S域的网络模型法或运算电路法下一页返回上一页电感L在时域中的电路模型如图4-11（a）所示。设u(t)和电流i(t)的象函数分别为U(s)和I(s)，对上式取拉氏变换，根据时

12、域微分性质，得或 3电容元件C设线性时不变电容C上电压u(t)和电流i(t)为关联参考方向，则电容元件C上电流和电压关系(VAR)的时域形式为4.6 S域的网络模型法或运算电路法下一页返回上一页电容C在时域中的电路模型如图4-12（a）所示。设u(t)和电流i(t)的象函数分别为U(s)和I(s)，对式（4-20）取拉氏变换，根据时域微分性质，得或4.6.2 基尔霍夫定律的S域模型设RLC系统（电路）中之路电流i(t)和支路电压u(t)的单边拉普拉斯变换分别为I(s)和U(s)，则KVL、KCL的复频域形式为：4.6 S域的网络模型法或运算电路法返回上一页线性连续系统的信号流图是由点和有向线段

13、组成的线图，用来表示系统的输入输出关系，是系统的一种表示形式。在信号流图中，用点表示信号，用有向线段表示信号的传输方向和传输关系。关于信号流图，还有以下常用术语：1）节点：信号流图中表示信号的点称为节点。2）支路：连接两个节点的有向线段称为支路。写在支路旁边的函数称为支路的增益或传输函数。3）源点与汇点：仅有输出支路的节点称为源点，仅有输入支路的节点称为汇点。4.7 连续信号的信号流图下一页返回4）通路：从节点出发沿支路传输方向，连续经过支路和节点到达另一节点之间的路径称通路。5）开路：一条通路与经过它的任一节点只相遇一次，该通路称开路。6）环：如果通路的起点和终点为同一节点，并且与经过的其余

14、节点只相遇一次，则该通路称为环路或回路。梅森公式(MasonRule)式中，称为信号流图的特征行列式，表示为：4.7 连续信号的信号流图下一页返回上一页其中 表示信号流图中所有环传输函数之和。 是第j个环的环传输函数， 等于构成第j个的各支路传输函数的乘积。 表示信号流图中所有两个不接触环的环传输函数乘积之和。若两个环没有公共节点或支路，则称这两个环不接触。 表示所有三个不接触的环传输函数乘积之和。4.7 连续信号的信号流图返回上一页4.8.1 H(s)的零点和极点系统初始状态为零，则系统响应的拉氏变换与激励拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s)。R(s)=0的根叫做H(s)的零点，E(s)=

15、0的根叫做H(s)的极点。4.8.2 零点和极点对系统函数h(t)的影响几种典型的极点分布：1. 一阶极点在原点4.8 系统函数与系统特性下一页返回2. 一阶极点在负实轴3. 一阶极点在正实轴4. 一阶共轭极点在虚轴上5. 共轭极点在虚轴上，原点有一零点4.8 系统函数与系统特性下一页返回上一页6. 共轭极点在左半平面7. 共轭极点在右半平面4.8.3 H(s)零极点与系统的稳定性一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则该系统是稳定系统。1. 系统的极点与稳定性的关系：1) H(s)的极点全在左半平面，系统稳定。4.8 系统函数与系统特性下一页返回上一页2) H(s)的极点至少有一个极点在右半平面，或虚轴上有二阶极点，系统不稳定。3) H(s)在虚轴上有一阶极点，其余极点全在左半平面，系统是临界稳定的。2. 系统的稳定性对H(s)的要求稳定的必要条件：对稳定系统，多项式E(s)的系数全部都为正实数，且E(s)从最高次幂排至最低次，应无缺项。对于一、二阶系统，该条件为系统稳定的充分必要条件。系统稳定性的判断常用罗斯法则。4.8 系统