统计中的决策问题教师版2

1、统计与概率中的决策问题第一类回归分析中的“决策”【例1】(2018莆田3月教学质量检测)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解 年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：吨)和年利润z(单位：千元)的影响，对近13年的 年宣传费Xi和年销售量yi(i = 1,2,，13)数据作了初步处理，得到如图 2311所示的散点图及 一些统计量的值.工tf拿挈三图 2311d -.由目攵点图知，按y=a+bX, y= c+-建立y关于x的回归方程是合理的.令s=，X, t= x11,经计算得如下数据：Xxyst10.15109.943.040.1613Msyi13 s y13tiyi 13 t

2、 y13百s 13 s之133t2-13t 21342-13y 213.94-2.1011.670.2121.22且(S, yi)与(ti, yi)(i = 1,2,，13)的相关系数分别为1 = 0.886 与2= 0.995.从以上模型中选择更优的回归方程，并用相关系数加以说明；(2)根据(1)的选择结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x, y的关系为z= 10yx.根据(2)的结果回答下列问题:(i )年宣传费x= 20时，年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据U1,V1 , U2,V2 ,L , Un,V

3、n ,其回归直线V U 中的斜率和截距的最小二nUjVjn uv乘估计分别为i 1 iin 2 2uin ui 1 id 一.【斛析】（1）由于|门|四1,故y= c+-更优. x13iMtiyi13 t y 2.10_=3= e =T0, = y t= 109.94+ 10X 0.16= 111.54.Et2-13720.21i = 1则y关于x的回归方程为=111.54 X(3)由题意，年利润 z= 10y x=1 115.4 1-0+x ,（i ）当x= 20时，年利润的预报值是=1 115.4 嘿+ 20 =1 090.4.晋 X x=1（ii）由基本不等式得，年利润的预报值=1 11

4、5.4 100+x 1 115.4 2095.4,当且仅当x= 10时等号成立，故年宣传费x为10时，年利润的预报值最大.【例2】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：吨）和年利润z （单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费 Xi和年销售量yi（i 1,2,3,4,5,6）的数据作了初步统计，得到如下数据:年份201120122013201420152016年旦传费x （万兀）384858687888年销售量y （吨）16. 818. 820. 722. 424. 025. 5经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似

5、满足关系式y a xb（a,b 0）, 即|1】.=1门上+加日。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：sZ (In x. In y. , r-lfl k (h x) 46lnyii 1Z仇蜡L75. 324. 618. 3101. 4（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程;（2）规定当产品的年销售量y （吨）与年宣传费x （万元）的比值在区间内时认为该9 7年效益良好。现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好年的数量为，试求随机变量 的分布列和期望。（其中e为自然对数的底数，e 2.71828L ）附：对于一组数据 u1,v1 , u2,v2 ,L , un,vn,其回归直线v u中

6、的斜率和截距的最小二乘估计分别为nuivin uvL Vn 2_ 2,u n ui 1 i【解析】【答案】（1） y e7x； （2）见解析.【解析】试题分析二（1）先运用转化的思想对了 = /两边取对教得Inf =】口叮+如比？再换元呼号=皿岭=hyv= Ino+fr- J借助屈谩中给的娄据r求得：五二士学=4-L斤= = 3一051进而算得 Z （玲号）二 （ku加pJ = 753 A 以：=Z（lnxf）3 =101.4 ,-1啕一研国）75.3-6x4 1x3.05 0.2- 1黑样一盟101.4-6x（4.1）*得a e ,故所求回归方程为+=.&（2）先借助题设条件y x49,81

7、,于是求出x 58,68,78 ,即6年中有三年是效益良好年”,借助 0,1,2,3求得P型C3c3 c2CTc；c3CT20；pC3C；CT1,从而求出分布列和数学期望。20解： 对卜=口-/：（q白。）两边取对数得lay=3+砧* 令/=1叫:弊=In力 TOC o 1-5 h z 得F=ln曰十b-Rj由题给额据，得：u - I v =- 3.05,2分百6而后Z3耳）=工（岫1叫）= 753,2：=工（1M i =101.4,于是In。= v-bu= 3.05x 4.1 =1 ?1（以国）一灯网7）753-6x4.1x3.05 OJ7裙-汽101.4-6x（4.1）：84 2导=也故所

8、求回归方程为了二t工0,1,2,3 ,由题得P0 3C3 C3C620;PC3c29c6320，x 49,8158,68,78 ,即6年中有三年是效益良好年”,30C3c3C6i20所以的分布列如表所示，且3。221 一P 2 C3C3- ; PC3201.*P1二20g 20L20y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组(yii 1y)3930 ，线性回归模型的残差平方和(yii 1?)2236.64， e8 06053167 其中 xi, yi温度x/C212324272932产卵数y/个61120275777【例3】一只药用昆虫的产卵数 观测数据如下表：661 61 6xi

9、 x (yi y) 557, i 1经计算得：x - xi 26, y - yi 33,6 i i6 i i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1,2, 3, 4, 5, 6.(I)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程y? = b?x+c?(精确到0. 1);(R)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为7=0. 06e0 2303,且相关指数R2=0. 9522.(i)试与(I )中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.(ii)用拟合效果好的模型预测温度为 35 C时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数). TOC o 1-5 h z 附：一组数据(x1,y1), (x2,y2)

10、, . . . ,(xn,yn),其回归直线P= ?x+夕的斜率和截距的最小二乘估计为 nn2? i 1 x X (yi y)02i 1(yi ?i)b) 一2-, j?= y- bx；相关指数 R2=1 -.nA?-,n21 xi xi 1(yi y)【解析】【答案】(I ) ?=6. 6x-138. 6. (H)(i)答案见解析;(2)190.【解析】试题分析：(I)根据所给公式及数据求得b?, a,从而可得线性回归方程. ( U ) ( i打艮据所给数据求出相关指数为R2 0.9398,通过比较可得回归方程为a=0. 06e0 2303x的拟合效果好.(ii)当x=35时，求出？=0.0

11、6e0 2303x的值即为预测值.阚解析:A工“：一仍的(1)由题意得，=邑金一2：。二1生6,，&二33-品 6 26=7翼.g;4关于，的线性回归方程为$-6.&-1%,凯()由解激据求得的线性回归方程为3T尤.丹相关才留故为把二 1 二产 一、)= 1，兆*斗、1-0.0602 = 0.9398.二小可 必。画为 0. 9398。. 9522,以回归方程岁句.0叱 却立比线性回归方程-138. 6拟合效果更好.(ii)由(i)得当温度 x=35 C时，?=0. 06e0 2303 35=0 . 06 e8 0605.又e8。605= 3167 ?=。06 3167 19阶).即当温度x=

12、35 C时，该种药用昆虫的产卵数估计为 190个.【练习1】在2017年初的时候，国家政府工作报告明确提出，2017年要坚决打好蓝天保卫战， 加快解决燃煤污染问题，全面实施散煤综合治理.实施煤改电工程后，某县城的近六个月的月 用煤量逐渐减少，6月至11月的用煤量如下表所示：月份67891011用煤量y (千吨)4.5*32.521.2(1)由于某些原因，y中一个数据丢失，但根据6至9月份的数据得出少样本平均值是 3. 5, 求出丢失的数据；(2)请根据6至9月份的数据，求出y关于x的线性回归方程? bX a?；(3)现在用(2)中得到的线性回归方程中得到的估计数据与 10月11月的实际数据的误

13、差来 判断该地区的改造项目是否达到预期，若误差均不超过 0. 3,则认为该地区的改造已经达到 预期，否则认为改造未达预期，请判断该地区的煤改电项目是否达预期？(参考公式：线性回归方程？ bX/其中b?i 1 XiXyiy1xxn_ 2i 1 xix2 1xinxy_2nx【答案】（1） 4; （2） ?0.7x 8.75; （3）该地区的煤改电项目已经达到预期【解析】试题分析：（1）设丢失的数据为m,则4.5 m 3 2.5 3.5 4,即可得到丢失的数据; 用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程？&a ; （3）当x 10时， ? 1.75,1.75 2 0.25 0.3 当 x 11 时，

14、 ？ 1.05,1.05 2 0.15 0.3,所以，该地区的煤改 电项目已经达到预期.试题解析:（1）设丢失的数据为叫WJ4.54W+342.5 =3.5x4得恻=4,即丢失的数据是人由数据求得五=75，由公式求得b = =-05TGF $r-bx =-Sk0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828附:2,2n adbcK =; ra+b c+d a+c b+d解析由题意，得：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1x = 45X 0.1 + 55 X 0.15+ 65 X 0.2+75X 0.3+ 85X 0.15+95X0.1

15、 = 70.5(分).这4 000名考生的平均成绩x为70.5分.(2)2X2列联表如下:K24 000X 720X 10201180X 1080 21800X 2200X1900X21004 000X 540 000 24 000X 54X 54二18X22X 19X21X 108 = 18X22X19X21 不合格合格合计男72011801900女108010202100合计180022004 00073.8210.828.故有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关.【例2】党的十九大报告指出，要推进绿色发展，倡导 简约知适度、绿色低碳”的生活方式，开 展创建低碳生活，绿色出行”等行动.

16、在这一号召下，越来越多的人秉承 能走不骑，能骑不坐， 能坐不开”的出行理念，尽可能采取乘坐公交车骑自行车或步行等方式出行，减少交通拥堵，共建 清洁、畅通高效的城市生活环境.某市环保机构随机抽查统计了该市部分成年市民某月骑车次数，统计如下:年01010,20203030,4040,5050,6018岁至31岁812206014015032岁至44岁1228201406015045岁至59岁25508010022545060岁及以上2510101942联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年 人，60岁及以上为老年人.(I)若从被抽查的该月骑车次数

17、在 40,60的老年人中随机选出两名幸运者给予奖励，求其中一名幸运者该月骑车次数在 40,50之间，另一名幸运者该月骑车次数在 50,60之间的概率；(n)用样本估计总体的思想，解决如下问题：(i)估计该市在32岁至44岁年龄段的一个青年人每月骑车的平均次数；(ii)若月骑车次数不少于30次者称为 骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不 超过0. 001的前提下认为 骑行爱好者”与青年人”有关？参考数据：一2、P (Kk)0. 500. 400. 250. 150. 100. 050. 0250. 0100.0050. 001k0.4550. 7081.3232. 0722. 706

18、3. 8415. 0246. 6357.87910.82822n ad bcK2=abcd acbd【答案】(I )旦；(H) (i) 41次；(ii)能在犯错误的概率不超过 0. 001的前提下认为 骑 15行爱好者”与青年人”有关.【解析】试题分析：(I )由题意，得到从该月骑车次数在 40,50)的4位老年人和50,60的2位老年人中各抽取一人的概率，进而利用古典概型的概率计算公式，即可求解其概率；(H) (i)利用平均数的计算公式，即可求解该市在 32岁至44岁年龄段的一个青年人每月骑 车的平均次数；(ii)根据题意，得出如下2 2列联表，利用K2的计算公式，求解K2的值，即可作出判断

19、.试题解析:3 ）问题即从该月骑车次数在%,效）的4位老年人和5Q 6刃的2位老年人中随机抽取两人，每一段各抽取一人的概率,将6位老人分s比为。R&d和4人则所有的抽法有（已勾，（弭也（凡一人 出,（凡8 L （瓦叽（瓦一）色山（瓦），仁心 （公孙 （g）j （GH）j （dJ） （4刁）共I纤礼故所求概率为p=-.1512 5 28 15 20 25 140 35 60 45 150 55 16830(R) (i)41 (次)410其中满足条件的抽;魂色，（口劣），（ARI也8,ClA ?（,何，淖）共旦骑行爱好者非骑行 爱好者总计青年人700100800非青年人8002001000总计15

20、00300180012 28 20 140 60 150（ii）根据题意，得出如下2 2列联表2颖率图表：设备改造后样本的频数分布表质量指标 值15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45频数4369628324(1)完成下面的2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量 指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计(2)根据图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较;(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格昴.进行等级细分，质量指标值落在 25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量

21、指标值落在20,25)或30,35)内的定为二等品， 每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价 120元.根据表中的数据，用该组样本 中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率 代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的 概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望.P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.6352n adbc附：K ;；7a+b c+d a+c b+d解根据图和表得到2X2列联表:设备改造前设备改造后合计合格品172192364不合格品28836合计2

22、00200400将2X 2列联表中的数据代入公式计算得:K2=2n adbca+b c+d a+c b+d400 X 172X8-28X 1922=12 210200X200X364X36.12.210 6.635,有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. 172 43(2)根据图和表可知，设备改造前产品为合格品的概率约为272=53,设备改造后产品为合200 5019224 格品的概率约为赤=24；显然设备改造后广品合格率更局，因此，设备改造后性能更优.(3)由表知:一等品的频率为1 I 一 2,即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为12二等品的频率为13,即从所

23、有产品中随机抽到一件二等品的概率为 31 3;二等品的频率为1 一，-6,即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为16.由已知得：随机变量 X的取值为：240,300,360,420,480.1 11P(X=240) = 1X6=36，P(X=300) = C2x1X 1=1, 3 6 9111115P(X=360) = C2X-X- + -X- = ,2 6 3 3 18 1 1 1P(X = 420) = C2x-X- = -,2 3 31 1 1P(X = 480) = 2X2 = 4.随机变量X的分布列为:X 240 300360420 480P11511369183411 5 1-1

24、. E(X)= 240X 芯 + 300 X 5+ 360 X 玄+ 420X 不 + 480X 400.3691834【练习11某学校为了推动数学教学方法的改革，将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革，经过一年的教学实验，将甲、乙两个班的学生一年来的数学考试成绩取平均数再取整，绘制成如下茎叶图, 规定不低于85分(百分制)为优秀，甲班学生成绩的中位数为 74分.乙班0 I 2 2 3 3 62 33344 5 6 7 7 8 9135662 4 5 ft 7 7 H 9 99附:K2=n adbc 2P(K2k0)0.10

25、0.050.025k02.7063.8415.024, 其中 n=a+b+c+ d.a+b c+d a+c b+d(1)求x的值和乙班学生成绩的众数；(2)完成下列2X2列联表，如果有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学方法改革有 关”的话，那么学校将扩大教学改革范围，请问学校是否要扩大改革范围？说明理由.甲班人数乙班人数合计优秀人数不优秀人数合计解析(1)因为甲班学生成绩的中位数为74分,所以 70+ x+ 75 = 2X74,解得 x= 3.由茎叶图知，乙班学生成绩的众数为 78分，83分.(2)完成2X2列联表如下:甲班人数乙班人数合计优秀人数61319不优秀人数342761合计40

26、4080o 80 X 6X27 13X34 2由表中数据可得 K2 = -40 x40 x19x61一弋3.3822.706.所以有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学方法改革有关”，学校可以扩大教学改革范 围.【练习2】环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数 PM 2.5溶度, 制定了空气质量标准：空气污染指数(0,50(50,1001(100,150J(150,2001200,300空气喷埴等级 优良轻度污染中度污染重度污染严也污染某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指 数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定

27、从2016年11月1日起在空气质量重度污染 和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号 的车辆双号出行(尾号为字母的，前 13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车， 若11月份被限行的概率为0. 05.(1)求频率分布直方图中m的值；(2)若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：空气质量优良轻度污染中度污染篁度污染严重污染天数11277L 3 .1

28、根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2 2列联表，并回答是否有90%的 把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.空气质枭优.良空飞质总污染合计限行前限行后合计参考数据:P（K2 k。）0. 150. 100. 050. 0250. 0100. 005k2. 0722. 7063. 8415. 0246. 6357. 8792参考公式：K,240 90 22 38 90得K23.214 2.706,所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车 n-a- , 其中 n a b c d .abcdacbd【答案】(1) m 0.003. (2) 180 60 128 112尾气的

29、排放有关.试题解析：(1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0. 05,所以空气重度污染和严重污染的概率应为 0.05 2 0.1,由频率分布直方图可知：0.004 0.006 0.005 m 50 0.1 1 ,解得m 0.003. . 见解析.5【解析】试题分析：(1)王先生的车被限行的概率为505,空气重度污染和严重污染的概率应为0.05x2=04,由频率分布直方图可知：(S004+0 006+0 0054)/50+0=L 睥得胴=0Q(B ：(2)空气质量良好与重度污染的天气的概率之比为 0.3:0.15 2:1 ,按分层抽样从中抽取6天, 则空气质量良好天气被抽取4天，记作A

30、1， M A3, A4 ,空气中度污染天气被抽取2天,记作日,B2,穷举得至少有一天空气质量中度污染的概率为3； (3)列联表，由表中数据可5（2）因为空气质量良好与重度污染的天气的概率之比为03:0.15 = 2:1,按分层抽样从中抽取6天，则空气廉量良好天气被抽取4天J记作4，4 J &， 4空气中度污染天气被抽取：天，记作我,岛， 从这6天中随楣螂U天，所包含的基本事件有；（4,4） J （4舄），（44），（4用（4劣L （44）, （44）,（心鸟），（网 见），I4.4）, 1&4），（4.L （4.即，（儿.当）,记事件d为，至少有一天空气质量中度污染二 则事件w所包含的圣本事件

31、有： （4.易）j（4, （4耳），（4涡），（4,（4岗卜（鸟渴）共9个,033故尸（/）=，即至少有一天空气质量中度污染的概率为| .（3）列联表如下：空气质量优、良空气质量污染合计限行前9090180限行后382260合计1281122402 240 90 22 38 90由表中数据可得K2 3.214 2.706,180 60 128 112所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.【练习3】为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用传统教学和导学案”两种教学方式,61 04 21 03 29g765在甲、乙两个平行班进行教学实验。为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班

32、级各随机抽 取20名学生的成绩进行统计，得到如下茎叶图。记成绩不低于 70分者为 成绩优良”。g 59 9 48 8 5 14 3（I ）请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳,并说明理由;（n ）构造一个教学方式与成绩优良列联表， 并判断能否在犯错误的概率不超过 0. 05的前提 下认为成绩优良与教学方式有关” ？2 n ad bc(附：K2 ，其中n a b c d是样本容量)abcd a c b d独立性检验临界值表:0.100.050.0250.0102.7063.8415,0246.635【答案】(I )答案见解析；(R )答案见解析.【解析】试题分析：(I)根据茎叶图，从数据的分布情

33、况或平均数或中位数几个方面来说明理由.(R)根据条件得到列联表，根据表求得K*后与临界值表对照可得结论.试题解析：(I )乙班(导学案”教学方式)教学效果更佳.理由1、乙班大多在70以上，甲班70分以下的明显更多；理由2、甲班样本数学成绩的平均分为：70. 2;乙班样本数学成绩前十的平均分为：79. 05, 高10%以上.77 + 78=775 ,高 10%, 68 + 72理由3、甲班样本数学成绩的中位数为 P= 70,乙班样本成绩的中位数2以上.(n )列联表如下:甲班乙班总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040.40(10 x4- 10)c 16)由上表可得=土 3,

34、956 3.841 20 x20 x26x14所以能在犯错误的概率不超过。，0$的前提下认为T成陵优良与教学方式有关【总结】独立性检验的方法及注意事项(1)解题步骤：)构造2 X冽联表；计算K2;查表确定有多大的把握判定两个变量有 关联.(2)注意事项：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的K2相比较；另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p,所以其有关联的可能性为1-p.三、数学期望中的决策问题【例1】(2018衡水摸底联考)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,， 8,其中X5为标准A, X3为标准

35、B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6 元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合 相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数 X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且Xi的数学期望E(Xi) = 6,求(2)为分析乙厂产品的等级系数a, b的值；X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数数据如下:3 8 57 5 33 4 4组成一个样本,3 5 36 3 48 3 4用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望;(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个

36、工厂的产品更具可购买性？ 说明理由.注：产品的“性价比产品的曹慧警学期望 “性价比”大的产品更具可购买性.解(1)因为 E(Xi) = 6,所以 5X0.4 + 6a+7b+8X0.1=6,即 6a+7b=3.2,又由Xi的概率分布列得0.4+a+b+0.1 = 1, a+ b= 0.5,a=0.3, 由得b=02(2)由已知得，样本的频率分布列如下:X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1所以,E(X2)= 3X0.3 + 4X

37、0.2+5X0.2+6X0.1+ 7X0.1+8X0.1 = 4.8, TOC o 1-5 h z 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下:6因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6,价格为6元/件，所以其性价比为6=1,因为4 8.乙厂产品的等级系数的期望等于 4.8,价格为4元/件，所以其性价比为 詈=1.2,据此，乙厂 的产品更具可购买性.【例2】甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超 过45件的部分每件提成8元.(1)请将两

38、家公司各一名推销员的日工资 y(单位：元)分别表示为日销售件数n的函数关系工】；(2)从两家公司各随机抽取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图：若将该频率视为概率，请回答下列问题：记乙公司一名员工的日工资为 X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑, 请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.解(1)由题意得，甲公司一名推销员的日工资 y(单位：元)与销售件数n的函数关系式为：y= 80+ n, nCN ,乙公司一包推销贝的日工负 y(单包：兀)与销售件数n的函数关系式为: 一 一*1

39、20 n45, n N .记乙公司一名员工的日工 资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值 为120,128,144,16。10+ 10 P(X=120) = - = 0.2,P(X= 128)=痂=03、40 八，P(X= 144)=而=O/，10 P(X=160) = 100= 0.1,所以X的分布列为:X120128144160P0.20.30.40.1X 的数学期望 E(X)= 120X0.2+ 128X 0.3+ 144X 0.4+ 160X 0.1 = 136(元).由条形图知，甲公司一名员工的日均销售量为42X 0.2+ 44X 0.4 + 46X 0.2+ 48X 0.1 +

40、 50X 0.1 = 45 件,甲公司一名员工的日均工资为125元.由知乙公司一名员工的日均工资为 136元.故应该应聘乙公司.方法归纳解决概率与统计综合问题的一般步骤【例3】某超市计划销售某种食品，现邀请甲、乙两个商家进场试销10天.两个商家提供的返利方案如下：甲商家每天固定返利 60元，且每卖出一件食品商家再返利 3元；乙商家无周定返利，卖出30件以内（含30件）的食品，每件食品商家返利 5元，超出30件的部分每件 返利8元.经统计，两个商家的试销情况茎叶图如下：甲g g g g A2 0 10 3乙S 9 Q2 1110 10（1）现从甲商家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都小于

41、30的概率；（2）若将频率视作概率，回答以下问题：记商家乙的日返利额为x （单位：元），求x的分布列和数学期望；超市拟在甲、乙两个商家中选择一家长期销售，如果仅从日平均返利额的角度考虑，请利 用所学的统计学知识为超市作出选择，并说明理由.【答案】（1） -; （2）见解析；见解析. 3【解析】试题分析：（1）结合组合知识，利用古典概型概率公式即可求两天的销售量都小于30的概率；（2）X的所有可能取值为：140, 145, 150, 158 , 166,根据古典概型 概率公式，求出各个随机变量对应的概率，从而可得X的分布列，进而可得期望值；先求出甲商家的日平均销售量，从而可得甲商家的日平均返利额

42、，再由得出乙商家的日平均返利 额，比较返利额的大小可得结论.试题解析:（1）记号摭的酉天销售量都d吁招，力事件C2 1则 .0）设乙商家的日销售量为力贝I当 方部 时，心28工5=140.当 X29时，4加工3=14力当 *40 时 j Jf-3Ox5=15O;当的我时,黄心28=15$ j当 去32时，JN30,5/2丈8=1前；所以了的所有可能取值为；140114力150, 158. 166.所以X的分布列为X140145150158166P111211055510所以 EX=140X+145X1+150X1+158-+166X1=152. 8.1055510依题意,甲商家的日平均销售量为

43、二2曲0. 279乂。.4+3CML 2+31加.1+32x0, 1=29, 5所以甲商冢的日平i湖利额为；60+2, 5x3-145. 5元由得乙商家的日平均返利额为152. &元（用8.5元），所以推荐该超市选择乙而家长期销售.【例4】某快递公司收取快递费用的标准是： 重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的 包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg (不足1kg，按1kg计算)需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：包裹重量(单位：kg)12345包裹件数43301584公司对近60天，每天揽件数量统计如下表:包裹件数范围0 100101

44、200201 300301 400401 500包裹件数(近似处理)50150250350450天数6630126以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101 400之间的概率；(2) (i)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；(ii)公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台 工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利 润更有利？【答案】(1) 98; (2)(i)15元；(ii)答

45、案见解析. 125【解析】试题分析：1先计算出包裹件数在101 400之间的天数为48,然后得到频率，估计出概率，运用二项分布求出结果(2)运用公式求出每件包裹收取的快递费的平均值 (3)先将大 数转化为频率，分别计算出不裁员和裁员两种情况的利润，从而作出比较解析；C1)样本包更件数在101-400之间的天数为43频率/ = ： =60 5故可估计概率为:，显然未来3天中，包裹件数在101400之间的天触X服从二项分布“即入.3故所求概就= ,I 5J15J 5 125(2) (i)样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：kg）12345快递费（单位：元）1015202530包裹件数4

46、3301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为10 43 15 30 20 15 25 8 30 4 15 （元）,100故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.（ii）根据题意及（2） （i）,揽件数每增加1,可使前台工资和公司利润增加15-5 （元），3将题目中的天数转化为频率，得包裹件数范围0 100101 200201 300301 400401 500包裹件数（近似处理）50150250350450天数6630126频率0.10.10.50.20.1若不裁员，则每天可揽件的上限为 450件，公司每日揽件数情况如下:包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽

47、件数Y50150250350450频率0.10.10.50.20.1EY50 0.1 150 0.1 250 0.5350 0.2 450 0.1 260冲公司平均每日亲闲的期望值为260乂 5 -3x 100 = 10州（元）j3裁员1人f则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下:包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数Z50150250300300频率0.10.10.50.20.1EZ500.1 150 0.1 250 0.53000.2 300 0.1 235故公司平均每日利润的期望值为 235 5 2 100 975 （元）.因975 1000,故公司将前

48、台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.【练习1】(2017 全国卷I )为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(小，(7 2).(1)假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(仙3(t, n+3(t)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(以一3(t, +3(t )之外的零件，就认为这条生 产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法

49、的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 ,10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9516116/16经计算得 x =16百xi=9.97, $=716万 Xi x 2=176 *X216 x 2) = 0.212,其中 xi为抽取的第i个零件的尺寸，i = 1,2,16.AA用样本平均数x作为N的估计值N ,用样本标准差s作为b的估计值总利用估计值判断 是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(：3： , 1 + 3：)之外的数据，用剩下的数据估计 祖和(精确至I 0.01).附：

50、若随机变量Z服从正态分布N(n,62),贝UP(n3(tvZ1)= 1 P(X= 0)= 1 0.997 416=0.040 8.X 的数学期望 E(X)= 16X0.002 6= 0.041 6.(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(卜3(t,仙+36之外的概率只有0.002 6, 一天 内抽取的16个零件中，出现尺寸在(以一3(t,仙+ 3 6之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.：由x =9.97, s=0.212,得/勺估计值

51、为 尸9.97, 而估计值为6= 0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(:一3：, : + 3%之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(131, 1 + 3%之外的数据9.22,剩下数据的平均数为1-X (16X 9.97 9.22)=10.02. 15因此 而估计值为10.02.16万x2= 16X 0.2122+ 16X 9.972=1 591.134,剔除(；3, ； + 3%之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为 右X(1 591.134- 9.222-15 15X 10.022)枳.008,因此 力勺估计值为40.008=0.09.【练习2】(2018 全国卷I )

52、某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200件，每一箱产品在交付用 户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取 20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的 概率都为p(0p0；当 pC(0.1,1)时，f(p)400,故应该对余下的产品作检验.【练习3】随着互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系，解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制求y关于x的线性回归方程，并预测M公

53、司2017年4月的市场占有率；(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用 4年，但由于多种原因(如骑行频率 等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型 的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如右表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本， 假设每辆单车的使用寿 命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是 M公司的负责人，以每辆 单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型

54、？ a? y bx.参考公式：回归直线方程为? bX a?,其中t?1年2年3年4年.总计A2035S510100B10如4020100n_i 1(Xi X) y yni 1 xini 1xi yi nxyn 22i 1xi nx【答案】(1)预测M公司2017年4月份(即x 7时)的市场占有率为23%;(2)见解析.【解析】试题分析：1求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论2分别求出每款车相对应的数学期望，然后对比即可得到结论xi x 17.5 , i 1解析：(1)由题意：x 3.5, y 16,xi x yi y 35 ,i 1b?巨 2,0,1 = 175 阮)搀辆B款车可使用1年，

55、2年，3年,斗年的概率分别为01，03, 0.4, 0.2,，每辆3款车的利润数学利ii物(500-1200)x0,1+(1000-1200)x03 + (1500-1200)x0.4+(2000-1200)x0,2 = 150 (元1175 150 ,J应该采购d款车.【练习4】207年8月8日晚我国四川九赛沟县发生了 7. 0级地震，为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，事后并进行了测试(满分100分)，根据测试成绩评定为 合格”(60分以上包含60分)、不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：合格”定为10分，不合格”定为5分.

56、现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:等级不合格合格得分20,4040,6060,8080,100频数6a24b(1)求a,b,c的值;(2)用分层抽样的方法，从评定等级为 合格”和不合格”的学生中抽取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为 ，求 的分布列及数学期望E ;设函数f .（其中D表示的方差）是评估安全教育方案成效的一种模拟函 数.当f 2.5时，认定教育方案是有效的；否则认定教育方案应需调整，试以此函数为参考依据.在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？ 【答案】（1）见解析.（2）见解析.（3）见解析.【解析】试题分

57、析：（1）由频率分布直方图可求出，得分在 20,40的频率从而可得学生答卷数以及分在80,100的频率，于是可得b的值，又6 a 24 b 60,进而可得a,c的值；（2）抽取的10人中合格”有6人，不合格”有4人， 可取40, 35, 30, 25, 20 ,根据组 合知识，利用古典概型概率公式求出随机变量对应的概率， 即可得分布列，利用期望公式可得结果；（3）利用（2）的结论，由方差公式求出 D 16,从而得f 2 2.5,故需要调整安全教育方案.试题解析；1）由频率分布直方图可知，得分在20,40）的频率为0.005x20 = 0.1,捌由取的学生答卷数上卷二60,又由频率分布直方酮知，

58、得分在80,100的频率为5 2下斯以6 = 60血2 = 12.1J?又6+口424+ 5= 60 ,号门+ 占=30ja = 1S , c = 0.015 .60 x20（2）合格”与不合格”的人数比例为36: 24 3:2,因此抽取的10人中合格”有6人，不合C41格 有4人，所以 有40, 35, 30, 25, 20共5种可能的取值.P 40 二,，1435C；C；C4021，P 30咕？P 25咕巴44Cw7Cw 3520C：1C140210的分布列为40353025201432173521018341所以 E40 35 30 25 20 32 2)可得口

59、= (40奖丫 乂元+ (3532) 乂亏+(3032)江+(25 32)父港十(2032)父元二161所以：)=一 二二2e2卞.八J，d() 16故可从认为该校的安全教育方案是无效的,需要调整安全教育方案.【练习5】2018年元旦期间，某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动，消费每超过400元均可参加1次抽奖活动，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘 (如图)，转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域，则顾客可直接获得该区域对应面额(单位：元)的现金优惠，且允许顾客转动 3次.方案二：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图，转盘停止转动时指针若

60、指向阴影 部分，则未中奖，若指向白色区域，则顾客可直接获得 40元现金，且允许顾客转动3次.(1)若两位顾客均获得1次抽奖机会，且都选择抽奖方案一，试求这两位顾客均获得 180元 现金优惠的概率；(2)若某顾客恰好获得1次抽奖机会.试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的数学期望；从概率的角度比较 中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】(1) (2)见解析该顾客选择第一种抽奖方案更合算729【解析】试题分析：(1)由图可知，每一次转盘指向60元对应区域的概率为p ,，设 每位 33顾客获得180元现金奖励”为事件A ,则P A C； 1 工，结合乘法概率公式得到这两位27顾客均获得1