相似三角形压轴题精选

1、相似三角形压轴题精选（中位线与位似）一.选择题（共9小题） TOC o 1-5 h z （2014?漳州模拟）4ABC的三边长分别为a、b、c,三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的 三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第2009中点三角形的周长为（）ABCD02008TscSF用io. latbe HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 金上22009（2013?铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2- 8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A . 5.5B. 5C. 4.5D . 4

2、）如图，AB /CD, E, F分别为AC, BD的中点，若 AB=5 , CD=3 ,贝U EF的长是（3. (2012?B . 3B第4题C. 2（2012?烟台）如图是跷跷板示意图，横板 AB绕中点。上下转动，立柱 OC与地面垂直，设 B点的最大高度为 h1.若将横板AB换成木It板AB,且AB=2AB ,。仍为AB的中点，设B点的最大高度为h2,则下列结论正确的A . h2=2h1B.h2=1.5h1C.h2=h1h2=-h12（2011?太原）如图，4ABC中，AB=AC，点D、E分别是边 AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形 DEFG是正方形.若 DE=2cm ,则AC的长

3、为（打“cmCvcmD.A/第6题7.（铜仁地区）如图,E CB DC. 2cm( )B. 32C. 18（锦州）如图所示，在 4ABC中，AB=AC , M , N分别是AB , AC的中点，D, E为BC上的点，连接 DN、EM ,若AB=5cm , BC=8cm , DE=4cm ,则图中阴影部分的面积为（2B. 1.5cm第7题M是4ABC 的边BC的中点，AN平分/ BAC ,且BNXAN ,垂足为 N ,且AB=6 , BC=10 ,MN=1.5 ,贝U AABC的周长是A . 28（2011?江津区）如图，四边形 ABCD中，AC=a, BD=b ,且AC，BD,顺次连接四边形

4、ABCD各边中点，得 到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边中点，得到四边形 A2B2c2D2，如此进行下去，得到四边 形AnBnCnDn.下列结论正确的有（）四边形A2B2c2D2是矩形；四边形A4B4c4D4是菱形； 四边形A5B5c5D5的周长是总坟 四边形AnBnCnDn的面积是一三.42aHiA.B.C.D .管I一第9题（2013?青岛）如图，ABO缩小后变为 ABO,其中A、B的对应点分别为 A、B点A、B、A、B均在图中 在格点上.若线段 AB上有一点P （m, n）,则点P在A B 上的对应点P的坐标为（）B.(m, n)二.填空题（共9小题）ECC

5、.工)2第10题10. （2013?鞍山）如图,第11题D 是 4ABC 内一点，BDXCD, AD=6 ,第12题BD=4 , CD=3, E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD的中点，则四边形11 . （2013?乌鲁木齐）如图, 为.（2012?枣庄）如图所示, 长为.（2012?铁岭）如图，点EFGH的周长是. ABC中，AD是中线，AE是角平分线,CFXAE 于 F, AB=5 , AC=2 ,则 DF 的长DE为AABC的中位线，点 F在DE上，且/ AFB=90 ,若AB=5 , BC=8 ,贝U EF的E、F、G、H分别为菱形 AlBlClDl各边的中点，连接 AiF、

6、BlG、ClH、DlE得四边形A2B2C2D2,以此类推得四边形 A3B3c3D3，若菱形A1B1C1D1的面积为S,则四边形AnBnCnDn的面积为G5HEBi第13题C114. （2012?惠安县质检）如图， 4ABC的面积为1 ,分别取AC、BC两边的中点A1、B1,则四边形A1ABB1的面3 ._.一，积为:，再分别取 A1C、B1C的中点A2、B2, A2C、B2c的中点A3、B3,依次取下去 ，则:4（1）线段AB与A4B4的数量关系是（2）四边形A 5A4B4B5的面积为 （2010?翔安区模拟）如图，DE是4ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交 AB于N,那么Sadm

7、n ：S四边形ANME =.2A DBC A C PD B B G第15题第16题第17题（2012?张家界）已知线段 AB=6 , C、D是AB上两点，且 AC=DB=1 , P是线段CD上一动点，在 AB同侧分 别作等边三角形 APE和等边三角形PBF, G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度 为.（2012?咸宁）如图，在梯形 ABCD中，AD/BC, /C=90, BE平分/ ABC且交CD于E, E为CD的中点， EF / BC交AB于F, EG / AB交BC于G,当AD=2 , BC=12时，四边形 BGEF的周长为 .（2014?槐荫区二模）正方形 AB

8、CD与正方形OEFG中，点D和点F的坐标分别为（-3, 2）和（1, - 1）,则 这两个正方形的位似中心的坐标为 .EZF三.解答题（共6小题）（2013?常德）已知两个共一个顶点的等腰RtA ABC , RtACEF, Z ABC= Z CEF=90 ,连接 AF , M是AF的中点，连接MB、ME.（1）如图1,当CB与CE在同一直线上日求证： MB / CF;（2）如图 1,若 CB=a, CE=2a,求 BM , ME 的长；（3）如图2,当/ BCE=45时，求证:BM=ME .（2011?岳池县模拟）如图所示，在梯形 ABCD中，AD / BC, AD 6的网格，请你分别在图，

9、，的网格中只用直尺各画一个三角形.要求：(1)都与图中的三角形相似，但四个三角形任何两个都不全等.(2)三角形顶点都是网格中小正方形的顶点.相似三角形压轴题精选(图形变换).选择题(共8小题)1. (2012?莆田)如图，在平面直角坐标系中，A (1, 1), B (- 1, 1) , C (- 1, - 2) , D (1, - 2).把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A- B-C-D-A -的规律紧绕在四边形 ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是()A . (1, T)B, (T, 1)C. (T, 2)D, (1, 2)第

10、1题第2题第3题2. (2010?武汉)如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行.从内到外，它们的边长依次为2, 4, 6, 8, , ,顶点依次用 A1, A2, A3, A4, ,表小，则顶点 A55的坐标是()A . (13, 13)B. ( - 13, - 13)C. (14, 14)D. ( T4, - 14)3. (2013?德州)如图，动点 P从(0, 3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点 P的坐标为()A . (1, 4)B, (5, 0)C. (6, 4)D, (8, 3)4. (20

11、12?深圳)已知点P (a+1, 2a- 3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是()A . (a - 1B.-1a32C.-a12D.、3a :5. (2009?黄埔区一模)如图，若 ABC与4ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C的坐标是()A . (0, T)5B. (0, - 3)C. (3, 0)D. (2, 1) TOC o 1-5 h z （2013西河州）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（-1, - 2）,则点P关于原点对称的点的坐标是（）A . （T, 2）B, （1, -2）C. （1, 2）D, （2, 1）（2013?保康县模拟）已知点P关于x轴的对称点是

12、P1,点P1关于原点。的对称点是P2,点P2的坐标为（3, 4）, 则点P的坐标是（）A . （3, 4）B. （-3, 4）C. （3, -4）D. （-3, -4）（2014?江西样卷）如图，把图中的 ABC经过一定的变换得到 ABC,如果图中4ABC上的点P的坐标为（a, b）,那么它的对应点 P的坐标为（）A. (a-2, b)B. (a+2, b)二.填空题(共6小题)(一a 2, b)(a+2, b)9. （2013?聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右,1), A3 (1, 0), A4 (2, 0),向下，向右的方向不断地移那么点 A4n+1 （n为

13、自然数）的坐标为（用n表不）.0动，每次移动一个单位，得到点 A1 （0, 1）, A2 （1,10. （2013?兰州）如图，在直角坐标系中，已知点 A （- 3, 0）、B （0, 4）,对4OAB连续作旋转变换，依次得到11. （2008?达州）已知P1点关于x轴的对称点P2 （3- 2a, 2a-5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则Pi点的坐标是 12. （2012?娄底）如图，A、B的坐标分别为（ 为（2, a）、（b, 3）,贝U a+b=.1, 0）、（0, 2）,若将线段 AB平移到至A1B1, Ai、Bi的坐标分别613. （2012?铁岭）如图，在

14、平面直角坐标系中， ABC经过平移后点 A的对应点为点 A ；则平移后点B的对应点B 的坐标为则点B的坐标是与x轴、y轴分别交于 A、B两点，把4AOB绕点A旋转90后得到AO B参考答案与试题解析.选择题（共9小题）（2014?漳州模拟）4ABC的三边长分别为a、b、c,三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的B.c.产io TOC o 1-5 h z 三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第 2009中点三角形的周长为（）D 二一一.产09解：根据中位线定理，第一个中点三角形的周长是原三角形的工；2第二个中点三角形的周长是第一个中点三角形的工；2第三个中点三角形的周长是第

15、二个中点三角形的2于是，第2009中点三角形的周长为（工也xlxlx工）（a+b+c）=需.99999n2009点评：本题重点考查了三角形的中位线定理，证得中点三角形的周长是原三角形周长的一半以及找到各中点三角 形之间的数量关系是解题的关键.（2013?铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2- 8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A . 5.5B. 5C. 4.5D . 4解：解方程 x2-8x+15=0 得：x1=3, x2=5,则第三边c的范围是：2vcv 8.则三角形的周长l的范围是：10V1V16,，连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的

16、周长m的范围是：5mADHB的中位线，ef=1bh ,2BH=AB AH=AB DC=2 ,EF=1 .故选D.三角形的中位线的判定和性质，解题的关键是连接 DE和AB相交构点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、 造全等三角形，题目设计新颖.（2012?烟台）如图是跷跷板示意图，横板 AB绕中点O上下转动，立柱 OC与地面垂直，设 B点的最大高度为 hi.若将横板AB换成木It板AB,且A B =2AB , O仍为AB的中点，设B点的最大高度为h2,则下列结论正确的 是（）CA . h2=2hiB. h2=1.5hiC. h2=hiD . ,1,h2=hi2考点：三角形中位线定理.专题：压轴

17、题；探究型.分析：直接根据三角形中位线定理进行解答即可.解答：解：如图所示：. O 为 AB 的中点，OCAD, BD XAD ,OC / BD ,OC是4ABD的中位线，hi=2OC,同理，当将横板AB换成木It板A B 且A B =2AB , O仍为AB 的中点，设B点的最大高度为h2,则h2=2OC , hi=h2.故选C.点评：本题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.（2011?太原）如图，4ABC中，AB=AC，点D、E分别是边 AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形 DEFG 是正方形.若 DE=2cm ,则AC的长为（）B G F

18、CA . 3V3cmB. 4cmC. 2V3cmD . 25cm考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质.专题：计算题；压轴题.分析： 根据三角形的中位线定理可得出BC=4,由AB=AC ,可证明BG=CF=1 ,由勾股定理求出 CE,即可得出AC的长.解答：解：二点D、E分别是边AB、AC的中点，DE=-BC,2DE=2cm ,BC=4cm , AB=AC ,四边形 DEFG是正方形. . BDGA CEF,BG=CF=1 ,ec=V5,AC=2 V5cm.故选D.点评：本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质以及正方形的性质，是基础题，比较简单.（20

19、09?锦州）如图所示，在 4ABC中，AB=AC , M, N分别是AB , AC的中点，D, E为BC上的点，连接 DN、EM ,若AB=5cm , BC=8cm , DE=4cm ,则图中阴影部分的面积为（）10B D E CA. 1 cm2B. 1.5cm2C. 2cm2考点：三角形中位线定理.专题：压轴题；整体思想.分析： 根据题意，易得 MN=DE ,从而证得MNOA EDO,再进一步求ODE的高，进一步求出阴影部分的面 积.解答：解：连接MN ,作AFLBC于F. AB=AC ,BF=CF=1BC= 18=4,22在 RtAABF 中，af=7aB2-BF2=V52- 43M、N分

20、别是AB , AC的中点，MN是中位线，即平分三角形的高且MN=8登=4,nm=2bc=de ,2MNOA EDO, O 也是 ME, ND 的中点，阴影三角形的高是 2aF及=1.5及=0.75,2 S 阴影=4X0.75e=1.5.故选 B.B D F EC点评：本题的关键是利用中位线的性质，求得阴影部分三角形的高，再利用三角形的面积公式计算.（2008?铜仁地区）如图， M是4ABC的边BC的中点，AN平分/ BAC ,且BNXAN ,垂足为 N,且 AB=6 ,BC=10 , MN=1.5 ,贝UABC 的周长是（） AN 平分/ BAC ,/ BAN= / EAN , AN=AN ,

21、 / ANB= / ANE=90 , .ABN AEN ,11AE=AB=6 , BN=NE , 又 M是ABC的边BC的中点，CE=2MN=2 M.5=3,ABC 的周长是 AB+BC+AC=6+10+6+3=25 故选D.点评：本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定.解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出 线段相等，进而应用中位线定理解决问题.（2011?江津区）如图，四边形 ABCD中，AC=a, BD=b ,且AC，BD,顺次连接四边形 ABCD各边中点，得 到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边中点，得到四边形 A2B2c2D2，如此进行下去，

22、得到四边 形AnBnCnDn.下列结论正确的有（） 四边形A2B2c2D2是矩形；四边形A4B4c4D4是菱形；四边形A5B5c5D5的周长是空山4四边形AnBnCnDn的面积是C.D.考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质.专题：压轴题；规律型.分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：根据矩形的判定与性质作出判断； 根据菱形的判定与性质作出判断；由四边形的周长公式：周长 =边长之和，来计算四边形 A5B5c5D5的周长；根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积.解

23、答：解：连接A1C1, B1D1 .在四边形ABCD中，顺次连接四边形 ABCD各边中点，得到四边形 A1B1C1D1, A1D1/BD, B1cl/BD, C1D1/AC, A1B1/AC; A1D1 / B1C1, A1B1 / C1D1,.四边形A1B1C1D1是平行四边形； AC，BD ,四边形A1B1cl口1是矩形，B1D1=A1C1 （矩形的两条对角线相等）；，A2D2=C2D2=C2B2=B2A2 （中位线定理），四边形A2B2c2D2是菱形；12故本选项错误;由知，四边形 A2B2c2D2是菱形；根据中位线定理知，四边形A4B4c4D4是菱形;故本选项正确；根据中位线的性质易知

24、，A5B5=-A3B3=iAlBl=-ixiAC, B5c5=B3c3=HbiCi=B 二BD ,22 22 2 222 22 2 2，四边形A5B5c5D5的周长是2. (a+b) =Z也；84故本选项正确;.四边形 ABCD 中，AC=a, BD=b ,且 AC，BD,S 四边形 ABCD=ab2;由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半,四边形AnBnCnDn的面积是上三；2武1故本选项正确；综上所述，正确.故选C.6Ci点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第 三边且等于第三边的一半）.解答此题时

25、，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系.（2013?青岛）如图，ABO缩小后变为 ABO,其中A、B的对应点分别为 A、B点A、B、A、B均在图中 在格点上.若线段 AB上有一点P （m, n）,则点P在A B 上的对应点P的坐标为（）噂n)ii-dB. (m, n)c.(my)考点：位似变换；坐标与图形性质.专题：压轴题.分析： 根据A, B两点坐标以及对应点 A, B点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P的坐标.13解答： 解：ABO缩小后变为AB。，其中A、B的对应点分别为 A、B点A、B、A、B均在图中在格点上, 即A点坐标为：（4,6）,B点坐标为：（6,2）,A 点坐标为：（2,3）,

26、B点坐标为：（3, 1）,线段AB上有一点P （m, n）,则点P在A B上的对应点P的坐标为：（8，工）.2 2故选D.点评：此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键.二.填空题（共9小题）（2013?鞍山）如图， D 是4ABC 内一点，BDXCD, AD=6 , BD=4 , CD=3 , E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD的中点，则四边形 EFGH的周长是 11 .考点：三角形中位线定理；勾股定理.专题：压轴题.分析：利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=）AD, EF=GH=JbC,然

27、后代入数据进行计算即可得解.解答： 解：BDXCD, BD=4 , CD=3 ,bc=bD2 +CD2=5，. E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，. EH=FG=AD , EF=GH= IbC, 22，四边形 EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ,又 AD=6 , ，四边形EFGH的周长=6+5=11.故答案为：11.点评：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的 一半是解题的关键.11 . （2013?乌鲁木齐）如图， 4ABC中，AD是中线，AE是角平分线， CFXAE于F, AB=5 , AC=2

28、 ,则DF的长考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质.专题：压轴题.14分析： 延长CF交AB于点G,证明AFGAFC,从而可得4ACG是等腰三角形，GF=FC ,点F是CG中点, 判断出DF是4CBG的中位线，继而可得出答案.解答：解：延长CF交AB于点G, AE 平分/ BAC ,/ GAF= / CAF , AF 垂直 CG,/ AFG= / AFC ,在4AFG和 AFC中， fZGAF=ZCAF AF=AF , lZAFG=ZAFC AFGA AFC (ASA), AC=AG , GF=CF,又点D是BC中点，DF是CBG的中位线，-1-1,一、1,DF=BG=- (AB -

29、 AG)=(AB - AC)=-.2222故答案为：旦2点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，同学们要注意培养自己的敏感性，一般 出现即是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形.（2012?枣庄）如图所示，DE为4ABC的中位线，点 F在DE上，且/ AFB=90 ,若AB=5 , BC=8 ,贝U EF的长为 .考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线.专题：压轴题.分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出 EF的长解答： 解：AFB=90 , D

30、为AB的中点，DF=-AB=2.5 ,2 DE为4ABC的中位线,DE=)BC=4,2EF=DE - DF=1.5 , 故答案为1.5.15点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中 位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.（2012?铁岭）如图，点E、F、G、H分别为菱形AlBlClDl各边的中点，连接AiF、BlG、ClH、DlE得四边形A2B2C2D2,以此类推得四边形 A3B3c3D3，若菱形A1B1C1D1的面积为S,则四边形AnBnCnDn的面积为_考点：三角形中位线定理；菱形的性质.专题：压轴题；规律型.

31、分析：由E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，得到 A1H=C1F,又A1H/C1F,利用一组边长平行且相 等的四边形为平行四边形得到四边形A1HC1F为平行四边形，根据平行线间的距离相等及平行四边形与三角形的面积公式，可得出四边形A1HC1F的面积等于4HB1C1面积的2倍，等于A1D1F面积的2倍，而这三个的面积之和为菱形的面积S,可得出四边形A1HC1F面积为菱形面积S的一半，再由平行线等分线段定理得到A2为A1D2的中点，C2为C1B2的中点，B2为B1A2的中点，D2为D1C2的中点，利用三角形的中 位线定理得到 HB2=A1A2, D2F=3c1C2,可得出A1A2B

32、2H和C1C2D2F都为梯形，且高与平行四边形22A2B2c2D2的高h相等（设高为h）,下底与平行四边形 A2B2c2D2的边A2D2与x相等（设A2D2=X）,分别 利用梯形的面积公式及平行四边形的面积公式表示出各自的面积，得出三个面积之比，可得出平行四边形A2B2c2D2的面积占三个图形面积的即为四边形A1HC1F面积的2,为菱形面积的同理得到四边形5552A3B3c3D3的面积为菱形面积的（工）,以此类推，表不出四边形AnBnCnDn的面积即可.5解答： 解：.H为A1B1的中点，F为c1D1的中点，A1H=B1H , cF=D1F,又 A1B1D1 为菱形，AB1=c1D1, A1H

33、=c1F,又 A1H / dF,，四边形A1Hc1F为平行四边形，S 四边形 A1hc1F=2Sahb1c1=2Saa1D1F，又 S 四边形 A1Hc1F+SzHB1cl+SzA1D1F=S 菱形 A1B1c1D1=S,S 四边形 A1Hc1F=Js,又 GD1=B1E, GD1 / B1E, GB1ED1为平行四边形， GB1 / ED1,又 G 为 A1D1 的中点，A2为A1D2的中点，同理c2为cB2的中点，B2为B1A2的中点，D2为D2的中点，. HB2=2A1A2, D2F=2c2,22又A1A2B2H和c2D2F都为梯形，且高与平行四边形A2B2c2D2的高h相等（设高为h）

34、,下底与平行四边形 A2B2c2D2的边A2D2与x相等（设A2D2=X）,16 TOC o 1-5 h z . c1,1、， 3. c, S梯形 A1A2B2H =S 梯形 C1C2D2F= （X+X） h=-xh , S 平行四边形 A2B2c2D2=xh , HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 224即 S 梯形 A1A2B2H： S 梯形 C1C2D2F： S 平行四边形 A2B2c2D2=3 ： 3： 4,又 S梯形A1A2B2H +S梯形C1C2D2F+S平行四边形A2B2C2D2=S四边形A1HC1F,- o2 1c一S平行四边形A

35、2B2C2D2 =-S四边形A1HC1F=3S, HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 552.同理S四边形A3B3c3D3=（4 S,以此类推得四边形 AnBnCnDn的面积为（工）5飞或一5 5口一1B1 E G点评：此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，平行线等分线段定理，以及平行四边形与三 角形面积的计算，利用了转化的数学思想，是一道规律型试题，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关 键.14. （2012?惠安县质检）如图， 4ABC的面积为1,分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为W再分别取A、

36、B1C的中点A2、B2, Ag B2c的中点A3、B3,依次取下去 ，则：4（1）线段AB与A4B4的数量关系是A4B4=AB ;16（2）四边形 A 5A4B4B5的面积为 .1024 考点：三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质.专题：压轴题；规律型.分析：（1）根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，求解即可；（2）根据相似三角形的性质通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律即可求出 四边形A5A4B4B5的面积.解答： 解：（1） .AC、BC两边的中点为 A1、B1,l- AB1=aB ,同理：A2B2=A1B1, A3B3=A2

37、B2, A4B4=A3B3,22217A4B4=AB ,16故答案为：A4B4=AB ;16Ai、Bi分别是AC、BC两边的中点，且ABC的面积为1 , AiBiC的面积为 34 4，四边形AiABB 1的面积=4ABC的面积-AAiBlC的面积/=1 -1，44.四边形 A2AiBiB2的面积=AiBiC的面积-4A2B2c的面积=工-上=且=上，第5个四边形的面积=且=-一.45 1024故答案为：二L.1024点评：本题考查了三角形的中位线性质定理和相似三角形的性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结 出一般结论的能力.(20i0?翔安区模拟)如图，DE是4ABC的中位线，M是DE

38、的中点，CM的延长线交 AB于N,那么Sadmn ：S 四边形 ANME = i： 5.考点：三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质.专题：常规题型；压轴题.分析：根据三角形的中位线定理，把各边的关系转化为面积的关系来解答.解目, 解：DE是中位线，所以Saade=;Saabc,4s 四边形 DBCE=Sa ABC，4连接AM , AE=CE ,所以 Saaem =Samec所以Samec=, ABC=-Sa ABC，oe . 3 1、c _5c所以S 四边形 DBCM= ( - - -) SaaBC=zSaaBC，4 Co DM : BC=i : 4,所以 Sandm ： s 四边形 DB

39、CM=i： i5.i8所以SANDM/ABC1Saamn = (- - -) Saabc=8 24所以 S/xndM ： s四边形ANME =1121SzxabcS 四边形 ANME =(二+) Sa ABC =_Sa ABC 12 8247T7：二=i : 5.24 243求出SAADE=Saabc ,便可找到突破口解答.4八计.解答此题，首先根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,（2012?张家界）已知线段 AB=6 , C、D是AB上两点，且 AC=DB=1 , P是线段CD上一动点，在 AB同侧分 别作等边三角形 APE和等边三角形PBF, G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时

40、，G点移动的路径长度 为 2 .A CPD B考点：梯形中位线定理；等边三角形的性质.专题：压轴题；动点型.分析： 分别延长AE、BF交于点H,易证四边形 EPFH为平行四边形，得出 G为PH中点，则G的运行轨迹为三 角形HCD的中位线 MN.再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可.解答： 解：如图，分别延长 AE、BF交于点H. / A=Z FPB=60 , AH / PF,. / B= Z EPA=60 , BH / PE,四边形EPFH为平行四边形， EF与HP互相平分.G为EF的中点，.G为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以 G的运行轨迹为三角形 HCD

41、的中位线 MN . CD=6 -1-1=4,MN=2 ,即G的移动路径长为 2.# 9点评：本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点.（2012?咸宁）如图，在梯形 ABCD中，AD/BC, /C=90, BE平分/ ABC且交CD于E, E为CD的中点,EF / BC交AB于F, EG / AB交BC于G,当AD=2 , BC=12时，四边形 BGEF的周长为2819考点：梯形中位线定理；菱形的判定与性质.专题：压轴题；探究型.分析： 先根据EF / BC交AB于F, EG / AB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形，再由 BE平分/ ABC 且交 CD于E可得出

42、/ FBE=/EBC,由EF / BC可知，/ EBC= Z FEB ,故/ FBE= Z FEB,由此可判断出 四边形BGEF是菱形，再根据 E为CD的中点，AD=2 , BC=12求出EF的长，进而可得出结论.解答： 解： EF/ BC 交 AB 于 F, EG / AB 交 BC 于 G,四边形BGEF是平行四边形， BE平分/ ABC且交CD于E, ./ FBE=Z EBC, EF/ BC,./ EBC= / FEB, ./ FBE=Z FEB, 四边形BGEF是菱形，. E 为 CD 的中点，EF/BC, AD=2 , BC=12,一.EF是梯形ABCD的中位线，EF=- （AD+B

43、C） =-X （2+12） =7,22，四边形BGEF的周长=4X7=28.故答案为：28.点评：本题考查的是梯形中位线定理及菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形BGEF是菱形是解答此题的关键.（2014?槐荫区二模）正方形 ABCD与正方形OEFG中，点D和点F的坐标分别为（-3, 2）和（1, - 1）,则 这两个正方形的位似中心的坐标为（T , 0）或（5, - 2）.0 EB CG考点：位似变换；坐标与图形性质.专题：计算题；压轴题.分析：由图形可得两个位似图形的位似中心必在x轴上，连接AF、DG,其交点即为位似中心，进而再由位似比即可求解位似中心的坐标.解答：解：当位似中心在两正方

44、形之间，连接AF、DG,交于H,如图所示，则点 H为其位似中心，且 H在x轴上， ,点D的纵坐标为2,点F的纵坐标为1, 丁其位似比为2: 1,CH=2HO ,即 OH=-OC,320又 C （ 3, 0）, OC=3 ,OH=1 ,所以其位似中心的坐标为（-1,0）;当位似中心在正方形 OEFG的右侧时，如图所示，连接DE并延长，连接 CF并延长,两延长线交于 M ,过M作MN，x轴，,点D的纵坐标为2,点F的纵坐标为1,丁其位似比为2: 1,EF=1dC ,即EF为4MDC的中位线， 2ME=DE ,又/ DEC= / MEN , / DCE= / MNE=90 ,. DCEA MNE ,

45、. CE=EN=OC+OE=3+1=4 ,即 ON=5 , MN=DC=2 ,则M坐标为（5, - 2）,综上，位似中心为：（-1 , 0）或（5, - 2）.故答案为：（-1, 0）或（5, - 2）本题主要考查了位似变换以及坐标与图形结合的问题，能够熟练运用位似的性质求解一些简单的位似计算 问题.三.解答题（共6小题）（2013?常德）已知两个共一个顶点的等腰RtA ABC , RtACEF, Z ABC= Z CEF=90 ,连接 AF , M是AF的中点，连接MB、ME.（1）如图1,当CB与CE在同一直线上日求证： MB / CF;（2）如图 1,若 CB=a, CE=2a,求 BM

46、 , ME 的长；（3）如图 2,当/ BCE=45时，求证：BM=ME .C图1图2考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.21 专题：压轴题.分析：(1)证法一：如答图 1a所示，延长 AB交CF于点D,证明BM为AADF的中位线即可；证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D,根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB / EF,再根据两直线平行，内错角相等可得/BAM= Z DFM ,根据中点定义可得 AM=MF ,然后利用角边角”证明4ABM和4FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF ,然后求出BE=DE ,从而得到4BDE是等腰直

47、角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出/EBM=45 ,从而得到/ EBM= Z EOF,再根据同位角相等，两直线平行证明MB / OF即可，(2)解法一：如答图 2a所示，作辅助线，推出 BM、ME是两条中位线；解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM ,根据等腰三角形三线合一的性质可得EM XBD,求出4BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；(3)证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出 BM、ME是两条中位线：BM=1dF, ME=1aG ;然后证明 22AOGADOF,得到 DF=AG ,从而证明 BM=ME ;证法二：如答图3b所示，延长BM

48、交CF于D,连接BE、DE,利用同旁内角互补， 两直线平行求出 AB / OF, 再根据两直线平行， 内错角相等求出/ BAM= / DFM ,根据中点定义可得 AM=MF ,然后利用 角边角”证明 ABM和4FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得 AB=DF , BM=DM ,再根据边角边”证明 BOE 和4DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得 BE=DE ,全等三角形对应角相等可得/ BEO= / DEF ,然 后求出/ BED= ZOEF=90,再根据等腰直角三角形的性质证明即可.解答：(1)证法一：如答图1a,延长AB交OF于点D,则易知ABO与ABOD均为等腰直角三角形， A

49、B=BO=BD ,点B为线段AD的中点，又.点M为线段AF的中点，BM为4ADF的中位线， BM / OF.证法二：如答图1b,延长BM交EF于D,/ ABO= / OEF=90 ,AB OE, EFXOE,AB / EF,/ BAM= / DFM ,M是AF的中点，AM=MF ,在ABM和4FDM中，/BAU=/DFH 即二FH,lzamb=zfmdABM FDM (ASA ),AB=DF , BE=OE - BO, DE=EF - DF, BE=DE ,. BDE是等腰直角三角形，./ EBM=45 ,.在等腰直角 OEF中，/ EOF=45,./ EBM= / EOF,MB / OF;2

50、2(2)解法一：如答图2a所示，延长 AB交CF于点D,则易知4BCD与4ABC为等腰直角三角形,AB=BC=BD=a , AC=CD=脏a,点B为AD中点，又点M为AF中点，BM= 2DF.分别延长FE与CA交于点G,则易知4CEF与 CEG均为等腰直角三角形,CE=EF=GE=2a , CG=CF= 2&a,点E为FG中点，又点 M为AF中点，ME=工AG .2CG=CF= . =a, CA=CD= =a,AG=DF= a,BM=ME= lx/2a=la.解法二：如答图1b.CB=a, CE=2a,BE=CE - CB=2a - a=a,. ABM FDM ,BM=DM , 又BED是等腰

51、直角三角形,. BEM是等腰直角三角形，BM=ME= BE=a；(3)证法一：如答图3a,延长AB交CE于点D,连接DF ,则易知4ABC与4BCD均为等腰直角三角形, AB=BC=BD , AC=CD ,点B为AD中点，又点 M为AF中点，BM=1DF.延长FE与CB交于点G,连接AG ,则易知4CEF与4CEG均为等腰直角三角形, CE=EF=EG , CF=CG ,点E为FG中点，又点 M为AF中点，ME=-AG .在4ACG与4DCF中， rAC=CDNACG=NDCF=45，, gCFACGA DCF (SAS),DF=AG , BM=ME .证法二：如答图3b,延长 BM交CF于D

52、,连接BE、DE,. / BCE=45 ,ACD=45 2+45 =13523BAC+ Z ACF=45 +135 =180 , AB / CF, / BAM= / DFM , M是AF的中点， AM=FM , 在ABM和4FDM中， rZBAfl=ZDF! AM=FM ,lzmb=zfndABM 叁、FDM (ASA ), AB=DF , BM=DM , AB=BC=DF , 在ABCE和ADFE中， K 二 DF -ZBCEZDFE=45fl , t CE=FE . BCEA DFE (SAS),BE=DE , / BEC= / DEF ,/ BED= / BEC+ / CED= / DE

53、F+ / CED= / CEF=90 , . BDE是等腰直角三角形，又 BM=DM , BM=ME=工BD ,2故 BM=ME .ECDF答图3bG答图3a24DB答回：LbEBDC答图2aE3答图lbBDC 答图la点评：本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位 线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点.(2011?岳池县模拟)如图所示，在梯形 ABCD中，AD / BC, AD AAGC的为中位线，.EF/BC, EFGC(BC - BG ) =- ( BC - AD ),222即 EF=1 ( BC - AD ).2

54、方法二：如图所示，设 CE、DA延长线相交于 G. E 为 BD 中点，AD / BC ,易得 GED CEB .GD=CB , GE=CE .在CAG中，.E, F分别为CG, CA中点，EF=1gA=1 (GD-AD) =1 (BC-AD),即 EF=1 ( BC - AD ).点评：此题关键是巧妙构造辅助线，借助全等三角形的性质可以发现三角形的中位线，运用三角形的中位线定理就可证明.21 . （2010?顺义区）在 4ABC 中，AC=BC , / ACB=90 ,点 D 为 AC 的中点.（1）如图1,E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF,连接CF,过点F

55、作FHLFC, 交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改 变，直接写出你的结论，不必证明.考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质.专题：压轴题；开放型.分析：（1）延长DF交AB于点G,根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件 AC=BC ,得出 DC=DG ,从而 EC=FG ,易证/ 1=Z2=90 - Z DFC, / CEF=Z FGH=135 ,由 AAS 证 出CEF0FGH. CF=FH .26(2)通过证明 CEFFGH (

56、ASA)得出.解答： 解：(1) FH与FC的数量关系是：FH=FC.证明如下：延长 DF交AB于点G,由题意，知/ EDF=/ACB=90 , DE=DF , DG / CB ,点D为AC的中点，点g为ab的中点，且dc=Tac，2DG为4ABC的中位线，-1 DGrBCAC=BC , DC=DG , DC - DE=DG - DF , 即 EC=FG. / EDF=90 , FHXFC,. / 1 + /CFD=90, /2+/CFD=90, 1 = /2.DEF与ADG都是等腰直角三角形，./ DEF= Z DGA=45 ,./ CEF=Z FGH=135 ,. CEFA FGH , C

57、F=FH .FH与FC仍然相等.理由：由题意可得出：DF=DE ,DFE= / DEF=45 ,AC=BC ,A=/CBA=45 , DF / BC,./ CBA= / FGB=45 , / FGH= / CEF=45 ,点D为AC的中点，DF / BC,DG=-BC, DC= -AC ,22DG=DC ,EC=GF ,/ DFC= / FCB , ./ GFH= Z FCE, 在FCE和4HFG中27rZCEF=ZFGH4EC=GF ，tZECF=ZGFH. FCEA HFG (ASA), HF=FC .点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大.22

58、.几何证明(1)已知：如图1, BD、CE分别是4ABC的外角平分线，过点 A作AF，BD , AG XCE,垂足分别是 F、G,连 接FG,延长 AF、AG,与直线 BC相交.求证：FG=1 (AB+BC+AC ).2(2)若BD、CE分别是4ABC的内角平分线，其余条件不变(如图 1),线段FG与4ABC的三边又有怎样的数量 关系？写出你的猜想，并给予证明.考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质.专题：压轴题.分析：(1)利用全等三角形的判定定理 ASA证得4ABF叁 MBF ,然后由全等三角形的对应边相等进一步推出 MB=AB , AF=MF ,同理CN=AC , AG=NG ,

59、由此可以证明 FG为4AMN的中位线，然后利用中位线定理 求得 FG=-1 (AB+BC+AC );2(2)延长AF、AG,与直线BC相交于M、N,与(1)类似可以证出答案.解答： 解：(1)如图 1, AF BD , /ABF=/MBF,/ BAF= / BMF ,在4ABF和4MBF中，Zafb=ZmfbBF=BF,1 /ABF二 N MBF ABFAMBF (ASA) MB=ABAF=MF ,同理：CN=AC , AG=NG ,.FG是AAMN的中位线28fg=1mn ,2=-(MB+BC+CN ),2=1 (AB+BC+AC ).2(2)图 2 中，FG=1 (AB+AC BC)2理由

60、如下：如图 2,延长AG、AF,与直线 BC相交于 M、N ,由(1)中证明过程类似证 AABFANBF ,NB=AB , AF=NF ,同理 CM=AC , AG=MGFG=_MN ,2MN=2FG ,BC=BN+CM - MN=AB+AC - 2FG,FG=- (AB+AC - BC),2答：线段FG与ABC三边的数量关系是 FG=1 (AB+AC - BC).2点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解此题 的关键是作辅助线转化成三角形的中位线.(2009?潍坊)在四边形 ABCD 中，AB BC, DCXBC, AB=a , DC=b