高等数学第六章定积分的应用课件

1、大家好第六章利用元素法解决: 定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用第一节定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ? 第六章 表示为一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”定积分定义一个整体量 ;二 、如何应用定积分解决问题 ?第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式这种分析方法称为元素法 (或微元分析法

2、 )元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值三、已知平行截面面积函数的 立体体积第二节一、 平面图形的面积二、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六章 一、平面图形的面积1. 直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 例1. 计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积 . 解: 由得交点例2. 计算抛物线与直线的面积 . 解: 由得交点所围图形为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有例3. 求椭圆解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式2.

3、极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为对应 从 0 变例5. 计算阿基米德螺线解:到 2 所围图形面积 . 例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解:(利用对称性)二、平面曲线的弧长定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,即并称此曲线弧为可求长的.定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(2) 曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分) :因此

4、所求弧长(3) 曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分) :(自己验证)例11. 计算摆线一拱的弧长 .解:例12. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解:三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别 , 当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有例13. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)方法2 利用椭圆参数方程则特别当b = a 时, 就得半径为a

5、 的球体的体积例14. 计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 0 t 2解: 绕 x 轴旋转而成的体积为利用对称性 绕 y 轴旋转而成的体积为注意上下限 !注注分部积分(利用“偶倍奇零”)例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角,解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?提示:内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方

6、程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程直角坐标方程3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积旋转体的体积绕 x 轴 :绕 y 轴 :思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示: 交点为弧线段部分直线段部分以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 作业 P284 3; 12; 18第三节一、 变力沿直线所作的功二、 液体的侧压力三、 引力问题定积分在物理学上的应用 第六章 一、 变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .在其上所作的功元素为因此变力F(x

7、) 在区间 上所作的功为例1.一个单求电场力所作的功 . 解:当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为则功的元素为所求功为说明:位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 例2.体, 求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .建立坐标系如图.由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如

8、图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为( KJ )设水的密度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板二、液体的侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性 , 侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函

9、数三、 引力问题质量分别为的质点 , 相距 r ,二者间的引力 :大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .例5.设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.解: 建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故铅直分力元素为在试计算利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的铅直分力为 说明:2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒 .移到 b (a b) 处时克服引力作的功,则有引力大小

10、为注意正负号3) 当质点位于棒的左端点垂线上时, 内容小结(1) 先用元素法求出它的微分表达式 dQ一般元素的几何形状有:扇、片、壳 等.(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功 ,侧压力 ,引力,转动惯量等.条、段、环、带、作业: P291 3 , 9 , 12习题课1. 定积分的应用几何方面 :面积、体积、弧长、表面积 .物理方面 :质量、作功、侧压力、引力、2. 基本方法 :元素法元素形状 :条、段、带、片、扇、环、壳 等.定积分的应用 第六章 表示为一、什么问题可以用定积分解决 ? 1)

11、所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”定积分定义一个整体量 ;二 、如何应用定积分解决问题 ?第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值一、平面图形的面积1. 直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A ,2. 极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为二、平面曲线的弧长定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,即并称此曲线弧为可求长的.则称(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(2) 曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(3)