2018年度高二数学竞赛试题

1、；|a| + b0；a-b-b；_1 ln?2其中正确的不等式的个数是（）1个2个2018年淅川二高二年级数学竞赛试题、选择题：本题共 6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。1 1111 .若ab+ y 4.x ay 2.则A.对任意实数aB.对任意实数a(2, 1)C.当且仅当a0, q0,前n项和为Sn,则一与一的大小关系为 a3 a5.已知a,b,c分别为 ABC的三个内角 A, B,C的对边，a =2,且(2 b)(sinA sin B) (c b)sin C ,则 ABC面积的最大值为 三、解答题：每题15分，共60分。解答应写出文字说明、证

2、明过程或演算步骤。.(本小题满分15分)已知数列aJ满足电二，犯i设:、二上11 n(1)求bJ；(2)判断数列、；是否为等比数列，并说明理由；(3)求的通项公式.(本小题满分15分)已知中 国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机X万部并全部销量完，每万部的销售收入? 400- 6x,0 40? x x(1)写出年利润 W (万元)关于年产量 x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.(本小题满分15分)ABC的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b

3、, c,已知 2cosc(acosB+b cosA) c.(I)求 C;,一,3.3(II)若c V7, AABC的面积为 ，求 ABC的周长.212 (本小题满分15分)已知数列an的前n项和为Sn,且an Sn 1 2 (n 2) , a1 2.(1)求数列an的通项公式；，、1,.(2)设bn , Tn bn 1 bn 23n ,是否存在最大的正整数 k,使得对10g2 ank于任意的正整数n,有Tn 恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.12四、附加题，每题10分，计入总分。.解下列不等式：ax2 (a + 1)x+ 1 v 0(a0).(本小题13分)设an和bn是两个等差

4、数列，记 Cn maxb an,b2 a? ,bn ann (n 1,2,3,),其中maxx,x2, ,Xs表示,X2, ,Xs这s个数中最大的数.(l)若an n , bn 2n 1 ,求G,C2, Q的值，并证明Cn是等差数列；(n)证明：或者对任意正数M ,存在正整数 m,当n m时，4 M ；或者存在n正整数m ,使得Cm,Cm 1,Cm 2,是等差数列.2018年淅川二高二年级数学竞赛试题答一、1.C 2. A 3. D 4.C 5.D 6.A1.解析：选 C 法一：因为 110 ,故可取 a= - 1, b = 2.显然|a|+b = 1 2 = 10 ,所以错误，综上所述，可排

5、除A、B、D,故选C.法二：由 110 ,可知 ba0. a b中，因为a+b0 ,所以;一，故正确；a+ b ab中，因为b a a0 ,故一b| a|,即|a| + b0 ,故错误；中，因为ba0 ,又11 -10 ,所以a-1b-,故正确； a ba ba b中，因为b a a20 ,而y= In x在定义域（0, +8）上为增函数，所以in b2m a2,故错误.由以上分析，知 正确。.【答案】D【解析】分析：求出八及（工|）尽八所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若（2,1） e），则且叱Q,即若匕1）ea|,则此命题的逆否命题为：若:,则有嗝WA,故选D.集合法是判

6、断充分条件与必点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用,要条件的一种非常有效的方法，根据p.q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断设人田国父前,若AUB,则p=q；若A B,则*当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.【答案】A【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的 4条棱，所以与12条棱所成从而判断出面的位置，截正方角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可, 体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果 详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体八BCD,匕吗匚口：中，平面与线AApA1B

7、rA1D1所成的角是相等的,所以平面AB|Dj与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面gRD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面陶|口1与UBD中间的,且过棱的中点的正六边形，且边长为所以其面积为42学故选A.首要任务是需要先点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题,确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果二、7.解析：当q = 1时,S3=3 a3S5S3 S5一=5,所以一一a5a3 a5当q 0且q w1时

8、，S3 S5 a11 - q3aia3 a5aiq2q2 1 -q31qi-qaiq451 q51-qq4 1 -qS3S5所以一一 a3a5S3 S5综上可知一v a3 a5S3 S5 答案：一 一 a3 a58. 33 ( 2014)三、9.详解：（1）由条件可得an+1 =将 n=1 代入得，a2=4 a1,而 a1=1 ,所以，a2=4 .将n=2代入得，a3=3a2,所以，a3=12 .从而 b1=1 , b2=2 , b3=4 . 5分（2） bn是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得又bl=1 ,所以bn是首项为4十1 A,即 bn+1 =2 b n 1 n1,公比为2的等比

9、数列 5分3（3）由（2）可得- = 2,U,所以n10.（本小题满分15分）解：（1 ）当 040时， W = xR(x)-(16x + 40) = - 16x+7360 4 分x?-6x2 +384x- 40,0 40? x(2)当当040 时， W = xR( x) - (16x + 40) =- 16x + 7360,x40000 “ 目“ ：40000 “,由于+16x 阳J 16x =1600 ,当且仅当x40000所以xW取最大值为5760 .二 16x,即x = 50?（40, ?）时，等号成立13分14分15分综合知，当x = 32时， W取得最大值6104万元.11.试题解

10、析：（I）由已知及正弦定理得，2cosc sin cos sin cos sinC ,sinC .2cosCsin故 2sinCcosC sinC .八 1八可得cosC 3 ,所以C -(id由esth 1口白也匚二出.22霓 J又C = 1 J所以仅5 = 6 .由已知及余弦定理得r+2zjcosC = 7.故/十 二13,从而S+W=25 .斫以ABC的周长为5 + 0.an+1 =S n+2 ,12 .(本小题满分15分)解：(1)由已知an=Sn 1+2 ,，得 an+1 - an =S n - Sn 1(n 2 ),. an+1 =2a n (n 2).又 a1=2, .a2=a

11、1+2=4=2a 1,- an+1 =2a n (n=1 , 2, 3 ,)数列an是一个以2为首项，2为公比的等比数歹I,. an=2?2n 1=2n.16分(2) bn=- Tn=b n+1 +b n+2 + - +b 2n =+ - +I -=,12nTn+1 =b n+2 +b n+3 + +b 2 (n+1 ) Tn+1 Tn=+京12n+l +2n+2 .1n+L2(n+l)+(2n+l) - 2(2n+l)2(2n+l) (n+1)1= 2(2n+l)(n+l) , n 是正整数，. Tn+1 -Tn0,即 Tn+1 Tn.数列Tn是一个单调递增数列，又 T1 =b 2= 要使T

12、n12包成立，则有1215分四、附加题，每题10分13.原不等式变为(ax 1)(x1) 0 ,所以 a x (x-1) 1,即一1 时，解为 1vx一. aa综上，当0vav1时，不等式的解集为x 1 x1时，不等式的解集为x -x讣一皿凝+；1)一(&-叼)= (&+ 4-成七+11必 =2 k1.所以Sk (k=1 , 2 ,，n -1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个数不超过 n+1.取 ek=( X1 , X 2 ,，Xn) S Sk 且 Xk+1 = 二 Xn=0 ( k=1 , 2 ,，nT).令B= (e1, e2,，en-1)U SnU Sn+1 ,则集

13、合B的元素个数为n+1,且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.点睛：解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义.耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口.(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用.15. (12分)(2016 山东ftAABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知 2(tan A + tan B) = tanJAL + en”.cos B cos A

14、(1)证明：a+b = 2c；(2)求cos C的最小值.解析：(1)证明：由题意知2(sn_A + sn旦户一sin-A一十一sin-B, cos A cos B cos Acos B cos Acos B化简得 2(sin Acos B+sin Bcos A) = sin A+sin B,即 2sin(A+B) = sin A+sin B.因为A + B+C=兀,所以 sin(A + B) = sin(九一C) = sin C.从而 sin A + sin B=2sinC.由正弦定理得a + b = 2c.a2 + b2-c2所以cos C =2aba2+ b2 a+ b222ab3ab1

15、 1=_(_+_)_8 b a4 2当且仅当a=b时，等号成立故cos C的最小值为一.2答案：（1）见解析17.（本小题满分12分）已知数列 an满足a1=1an 13an(I)证明 an是等比数列,并求an的通项公式;（n）证明：1.+Ja117.（本小题满分a212分)an（I）证明：由an 13an1 得 an 13(an 3an121232 3n 金1 -、，所以an -是首项为223-,公比为3的等比数列2()由(I )因为当n因此an的通项公式为an23n 11 时，3n 13n13n 112 3n 1工工La2 a3an11 L3132 L13n-13,1.1 31 123n2

16、1-31所以一aia2a313an 25. (2018 河南百校联盟模拟)已知正实数a, b满足a + b = 4,则+ 的最小 a+1 b + 3值为 L解析：,a+b=4, ，a+1+b + 3= 8,+= (a+1) +(b +a + 1 b + 383)- 2 +hX(2 + 2)=-,当且仅当 a+1=b + 3,即 a = 3,8 a+1 b+382b = 1时取等号,a+ 111+ b的最小值为2.1答案：2 TOC o 1-5 h z 3Wta *口4.数列an满足 aj+Saj+S a3-b- + 3贝U an= ( B )I11 nA, 32n一1 B, 2,3n l C,

17、齐 * 一，211一, 一14、若数列an的前n项和为Sn= -an -,则数列an的通项公式是 4=. 33【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第 n项与其前n项和的关系,是容易题. HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 1 一【解析】当n =1时，a1 = S| = a1 -,解得a1 =1 ,321. 21.22r 一 八当 n /时，an= SnSn1 = an ( 一 Hn1 )= Hn Hn1，即 an =2an1 ,333333n 1an是首项为1,公比为一2的等比数列，an=( 2)16.在等比数列an中anC R,

18、且a3an是方程3x2-25x+27=0 的两根，a7=16.3若S6S7S5,则满足Sn 0的n的最大值(C )1.设等 差数列an的前n项和为SnB.有一个内角是 30的直角三角形OC. 12D. 13C.等边三角形D.有一个内角是 30的等腰三角形D.有一个内角是30的等腰三角形3.数列an满足色+ 332+3巳34+ 31r则an =A.B.2, 3n-lC.i2 rl4.在AABC 中，已知 a=2 , b=2 近，A=3 0A. 60或 120B. 30 或 150 C. 60 D. 30sin B ,16.若ABC的内角A,B满足 2cos(A B).则当B取最大值时，角C大小sin A16. 23215.已知 x0 , y0 ,且一 x1,c2 c