大雾第1章质点运动学

1、第一篇 经典力学 力学：研究机械运动的一门学问。由于它是最早建立起来的学科，它的概念、方法、原理深刻影响和规范了其它物理学分支的建立和发展，是整个物理学的基础。 力学是一门古老的学问，其渊源，在中国可追溯到公元前五世纪墨经中关于杠杆原理的论述。 在西方，可追溯到公元前四世纪古希腊学者柏拉图和亚里斯多德。 亚里斯多德（公元前384-322年）：一个有生命的东西，或者是任何由各部分组成的整体，如果要显得美，就不仅要在各部分的安排上显现出一种秩序，而且还必须有一定的体积、大小，因为美就在于体积、大小和秩序。 力学成为一门科学理论却始于伽利略对于惯性的论述和牛顿三定律。力学包括运动学、动力学和静力学三

2、部分。 以牛顿三定律为基础的力学理论称为牛顿力学或经典力学。曾被尊为完美的和普遍的理论而兴盛了300年。 伽利略（15641642）：经典物理学奠基人 /近代科学之父。 1900年开始，人们逐步揭示了牛顿力学的局限性，创建了相对论力学和量子力学。 牛顿力学被称为经典力学。经典并不意味着老旧和过时。至今，经典力学仍然保持充沛的活力，具有很强的实用性。 相对论和量子力学是在经典力学的基础上发展起来的。不深入学习经典力学的概念、原理和方法，就不可能真正理解量子力学和相对论。 值得指出的是，近几十年来，经典力学的世界观还受到了来自内部的巨大冲击，那就是混沌运动问题。 在许多重要的非线性系统中，系统对初

3、值的依赖极端敏感，初值的微小差别将随时间推移越来越大，这意味着牛顿定律本身包含了某种不确定性。 混沌运动的不可预测性已经在理论上和实际应用中受到广泛的关注。 本篇主要介绍经典力学基础，包括质点及质点系力学、刚体力学、流体力学。 着重阐明动量、能量、角动量的概念及相应的守恒定律，并从时空对称性阐明三大守恒定律的物理渊源。第1章：质点运动学1.1 参考系 坐标系 时间 运动的绝对性和相对性：任何物体都在不停地运动着；运动的描述是相对其他物体而言的。 参考系：为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作为参考-参照系。 坐标系：为了定量地确定物体的运动，须在参照系上选用一个坐标系。 质点：没有大小和

4、形状，只具有全部质量的一点。可以将物体简化为质点的两种情况： 1.物体不变形，不作转动。此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点可代表所有点的运动。 2.物体本身的线度和它活动范围相比小得很多。此时物体的变形及转动显得并不重要。 参考系坐标系质点处理过程包含以下思想: 1.选择合适参考系，以方便确定物体的运动性质； 2.建立恰当坐标系，以定量描述物体的运动； 3.提出准确物理模型，以突出问题中最基本的运动规律。 描述物体运动的快慢，还要有时间概念。运动学中时间有两种含义，一是指某时刻，用 t 表示；二是指一段时间间隔，用t 表示。 时间有没有开头？ 牛顿说：时间和世界一同被上帝创造出来

5、，在上帝创造世界之前，没有时间，上帝是不生活在时间之中的。 在唯心主义者看来，引进上帝是美妙而简单的，上帝是一切事物的创造者，是万能的主宰，是一切原因的原因。1.2 位置矢量 位移 速度1.2.1 位置矢量：*位矢的大小:位矢的方向余弦:运动方程：P分量式：从中消去参数 t 得轨迹方程：1.2.2 位移：BABA位移： 位移的大小为：在三维空间中的位移为:位移的物理意义：1. 确切反映物体在空间位置的变化，与路径无关，只决定于质点的始末位置。2. 反映了运动的矢量性和叠加性。位矢长度的变化为：r路程(s): 质点实际运动轨迹的长度。1.2.3 速率(speed)和速度(velocity)： 无

6、限短时间段中的平均速率可以定义为质点在该时刻 t 的瞬时速率： 质点运动经历的路程与耗用的时间的比值就是它在该时段内的平均速率：平均速度：瞬时速度：瞬时速率：速度 的大小称为速率： 平均速度的大小通常都小于同一运动过程的平均速率，但是瞬时速度的大小却严格等于该时刻的瞬时速率。 问题：已知质点在某瞬时的位矢，其速度大小为：A）B）D）C）B与 同方向。A1.3 加速度1.3.1 加速度瞬时加速度：平均加速度：吗？ 在Ob上截取有速度方向变化速度大小变化问题：O 吗？ 因为所以而例如：匀速圆周运动所以问题：例：已知质点在 xy 平面内运动，其运动方程是x = Rcoswt, y = Rsinwt。

7、式中 R, w 均为正常数。求(1)质点的轨迹方程；(2)质点在任意时刻位矢、速度和加速度；(3)质点在t =0到t =3/2w时间内的位移。解：(1)由运动方程消去时间 t 得质点轨迹方程： 质点的运动轨迹是一个半径为 R 的园。(2)任意时刻质点位矢、速度、加速度速度大小为常量 v = Rw 质点作匀速圆周运动质运动速度的方向终垂直于位置矢量(3)由运动方程得 t = 0 和 t = 3/2w 时的位矢位移的大小为位移矢量与 x 轴正向夹角为1.3.2 切向加速度与法向加速度法向加速度切向加速度始终指向平面曲线凹侧法向例：汽车在半径 R =300m的轨道上加速运动，路程与时间的关系 s =

8、 5t2-0.1t3(m)，求 t = 0 时，汽车的加速度大小。解：当 t =1.0 s 时:1.3.3 圆周运动中的角量和线量角加速度例：质点作曲线运动，判断下列说法的正误。例：质点运动学方程为 x=6+3t-5t3，判断正误: 质点作匀加速直线运动，加速度为正。 质点作匀加速直线运动，加速度为负。 质点作变加速直线运动，加速度为正。 质点作变加速直线运动，加速度为负。1.4 时间和空间的测量 物理学是一门实验科学，必须对各种物理量进行测量。测量结果包括数值和单位两部分。1.4.1 时间的测量及时标 时间是用来确定一系列事件发生前后关系的物理量。在物理学研究中，单位为“秒”。1.4.2 长

9、度的测量及尺度 长度用于确定空间中两点之间的距离。在物理学研究中，单位为“米”。求导求导积分积分1.5 质点运动学中的两类基本问题 一、由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度。 二、已知质点的加速度以及初始速度和初始位置，可求质点速度及其运动方程。1.5.1 第一类基本问题举例例：如图，在离水面高度为 h 的岸边，绞车以匀速率 v0 收绳拉船，求船离岸边 x 远处时的速度。解：建立坐标系OX如图所示，有故船速为 根据题中给定的条件绳长 r 随时间变短，并且：所以： 负号表示船速度方向与 x 轴方向相反。写成矢量式：船的加速度表达式：OAB 为一直角三角形，刚性细杆的长度 l

10、 为一常量。ABl例：如图，A、B 两物体由一长为 的刚性细杆相连， A、B 两物体可在光滑轨道上滑行。如物体A以恒定的速率 向左滑行，当 时，求物体B的速率？解：建立坐标系如图，物体A 的速度：物体B 的速度：ABl两边求导得：即沿 轴正向, 当 时1.5.2 第二类基本问题举例O yx射程： 最大射高为：OyxHh例：设质点运动方程为 ，其中 (SI)。(1)求 时的速度。(2)作出质点的运动轨迹图。速度与 x 轴之间的夹角：解:(1)由题意可得速度分量分别为：(2) 运动方程:0轨迹图246- 6- 4- 2246由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为：例：有一个球体在某液体中竖直下落，

11、其初速度为 ，加速度为 问:(1)经过多少时间后可以认为小球停止运动？(2)此球体在停止运动前经历的路程有多长？解：由加速度定义10RosP例：一质点沿半径为R圆周按规律 运动，v0、b都是正的常量。求(1) t 时刻质点的总加速度的大小；(2) t 为何值时，总加速度大小为 b；(3) 总加速度大小为 b 时，质点沿圆周多少圈。解：t = 0 时，质点位于 = 0 的p点处。在t 时刻，质点运动到位置 s 处。(1) t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小得:(2)令a = b ，即(3)当 a = b 时，t = v0/b，质点历经的弧长为圈数： 讨论：对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： (A)切向加速度必不为零； (B)法向加速度必不为零(拐点处除外)； (C)由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零； (D)若物体作匀速率运动，其总加速度必为零； (E)若物体的加速度为恒矢量，它一定作匀变速率运动 .1.6 伽利略变换 相对运动1.6.1 伽利略变换 不同参考系对同一个运动描述的结果不同，其结果之间的联系怎样？P点在两坐标系中的关系：伽利略坐标变换式： 1687年，牛顿在自然哲学的数学原理一书中对时间和空间作如下表述： 绝对的、真实的、纯数学的时间，就其自身和其