第四章 数据的概括性度量_20091026

1、第 4 章 数据(shj)的概括性度量共九十七页第 4 章 数据(shj)的概括性度量4.1 集中趋势的度量(dling) 4.2 离散程度的度量4.3 偏态与峰度的度量共九十七页学习(xux)目标1.集中趋势各测度值的计算方法2.集中趋势各测度值的特点及应用场合3.离散程度各测度值的计算方法4.离散程度各测度值的特点及应用场合偏态与峰态的测度方法用SPSS计算描述统计量并进行(jnxng)分析共九十七页数据分布的特征(tzhng)集中趋势 (位置)偏态和峰态（形状）离中趋势 (分散程度)共九十七页数据(shj)的概括性度量数据特征的测度分布的形状集中趋势离散程度众 数中位数均 值离散系数方差

2、和标准差峰 态四分位差异众比率偏 态共九十七页4.1 集中趋势(qsh)的度量一. 分类数据：众数(zhn sh)二. 顺序数据：中位数和分位数三. 数值型数据：均值四. 众数、中位数和均值的比较共九十七页数据分布特征(tzhng)的和度量(本节位置)数据的特征和度量分布的形状集中趋势离散程度众 数中位数均 值离散系数方差和标准差峰 态四分位差异众比率偏 态共九十七页集中(jzhng)趋势(Central tendency)一组数据向其中心值靠拢(kolng)的倾向和程度测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但

3、高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据共九十七页分类(fn li)数据：众数共九十七页众数(zhn sh)(mode)出现次数最多的变量值不受极端值的影响(yngxing)一组数据可能没有众数或有几个众数主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据共九十七页众数(zhn sh)(不唯一性)无众数(zhn sh)原始数据: 10 5 9 12 6 8一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42共九十七页分类数据的众数(zhn sh) (例题分析)不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌频数比例百分比(%) 可口可乐 旭日升冰茶 百事可乐 汇

4、源果汁 露露15119690.300.220.180.120.183022181218合计501100解：这里的变量为“饮料品牌(pn pi)”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值 在所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即 Mo可口可乐共九十七页顺序数据的众数 (例题(lt)分析)解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别” 甲城市中对住房表示不满意(mny)的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)百分比 (%) 非常不满意 不满

5、意 一般 满意 非常满意24108934530836311510合计300100.0共九十七页顺序(shnx)数据：中位数和分位数共九十七页中位数(median)排序(pi x)后处于中间位置上的值Me50%50%不受极端(jdun)值的影响主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即共九十七页中位数(位置(wi zhi)的确定)原始数据：顺序(shnx)数据：共九十七页顺序数据(shj)的中位数 (例题分析)解：中位数的位置为 300/2150 从累计频数看，中位数在“一般(ybn)”这一组别中。因此 Me=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数

6、分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意2410893453024132225270300合计300共九十七页数值(shz)型数据的中位数 (9个数据的算例)【例】：9个家庭的人均(rn jn)月收入数据原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9中位数 1080共九十七页数值(shz)型数据的中位数 (10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入(shur)数据排 序:

7、 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 共九十七页四分(s fn)位数(quartile)排序(pi x)后处于25%和75%位置上的值不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据QLQMQU25%25%25%25%共九十七页四分(s fn)位数(位置的确定)原始数据：顺序(shnx)数据：共九十七页顺序数据的四分位数 (例题(lt)分析)解：QL位置= (300)/4 =75 QU位置 =(3300)/4 =225 从累计频数看， QL在“不满意(mny)”这一组

8、别中； QU在“一般”这一组别中。因此 QL = 不满意 QU = 一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意2410893453024132225270300合计300共九十七页数值(shz)型数据的四分位数 (9个数据的算例)【例】：9个家庭的人均(rn jn)月收入数据原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9共九十七页数值型数据(sh

9、j)的四分位数 (10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均(rn jn)月收入数据排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 共九十七页数值(shz)型数据：均值共九十七页均值(jn zh)(mean)集中(jzhng)趋势的最常用测度值一组数据的均衡点所在体现了数据的必然性特征易受极端值的影响用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据共九十七页简单(jindn)均值与加权均值(simple mean / weighted mean)设一组数据为： x1 ，x2 ， ，xn各组的组中值为

10、：M1 ，M2 ， ，Mk 相应(xingyng)的频数为： f1 ， f2 ， ，fk简单均值加权均值共九十七页已改至此(zhc)！某电脑公司销售量数据分组表按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)Mi fi 14015015016016017017018018019019020020021021022022023023024014515516517518519520521522523549162720171084558013952640472537003315205017209001175合计12022200加权均值(jn zh) (例题分析)共九十七页加权均值(权数(qunsh)对均值的影

11、响) 甲乙两组各有10名学生，他们(t men)的考试成绩及其分布数据如下 甲组： 考试成绩（x ）: 0 20 100 人数分布（f ）：1 1 8 乙组： 考试成绩（x）: 0 20 100 人数分布（f ）：8 1 1共九十七页均值(数学(shxu)性质)1.各变量值与均值(jn zh)的离差之和等于零 2. 各变量值与均值的离差平方和最小共九十七页调和(tio h)平均数(harmonic mean)均值(jn zh)的另一种表现形式易受极端值的影响计算公式为共九十七页调和平均数 (例题(lt)分析)某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元) Mi成交额(元) Mi fi成交量(

12、公斤)fi甲乙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合计3690048000【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均(pngjn)批发价格共九十七页几何(j h)平均数(geometric mean) n 个变量值乘积的 n 次方根适用于对比率数据(shj)的平均主要用于计算平均增长率计算公式为5. 可看作是均值的一种变形共九十七页几何平均数 (例题(lt)分析) 【例】某水泥生产(shngchn)企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，200

13、2年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率。年平均增长率114.91%-1=14.91%共九十七页几何平均数 (例题(lt)分析) 【例】一位投资者购持有(ch yu)一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率 算术平均： 几何平均：共九十七页众数、中位数和均值(jn zh)的比较共九十七页众数、中位数和均值(jn zh)的关系左偏分布均值 中位数 众数对称分布 均值= 中位数= 众数右偏分布众数 中位数均值共九十七页众数、中位数和均值的特点(tdin)和应用众数不受极端值影响具有不

14、唯一性数据分布偏斜程度较大时应用中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用平均数易受极端值影响数学性质优良(yuling)数据对称分布或接近对称分布时应用共九十七页数据类型与集中(jzhng)趋势测度值数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型分类数据 顺序数据间隔数据比率数据适用的测度值众数中位数均值均值四分位数众数调和平均数众数中位数几何平均数四分位数 中位数四分位数众数共九十七页4.2 离散程度(chngd)的度量分类数据：异众比率顺序数据：四分位差数值型数据：方差及标准差相对位置的测量：标准分数相对离散程度(chngd)：离散系数共九十七页数据(shj)的特征和度量(本节位置)数据的

15、特征和度量分布的形状离散程度集中趋势众 数中位数均 值离散系数方差和标准差峰 度四分位差异众比率偏 态共九十七页离中趋势(qsh)数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）从另一个侧面说明(shumng)了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值共九十七页分类数据(shj)：异众比率共九十七页异众比率(bl)(variation ratio)1.对分类数据离散(lsn)程度的测度2.非众数组的频数占总频数的比率3.计算公式为 4. 用于衡量众数的代表性共九十七页异众比率(bl) (例题分析)解： 在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，

16、异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌频数比例百分比(%) 可口可乐 旭日升冰茶 百事可乐 汇源果汁 露露15119690.300.220.180.120.183022181218合计501100共九十七页顺序数据(shj)：四分位差共九十七页四分(s fn)位差(quartile deviation)对顺序数据离散程度的测度也称为内距或四分间距上四分位数与下四分位数之差 QD = QU QL反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响(yngxing)用于衡量中位数的代表性共九十七页四分(s fn)位差 (例题分析

17、)解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般(ybn)为3, 满意为 4, 非常满意为5 已知 QL = 不满意 = 2 QU = 一般 = 3四分位差： QD = QU = QL = 3 2 = 1甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意2410893453024132225270300合计300共九十七页数值型数据(shj)：方差和标准差共九十七页极差(range)一组数据的最大值与最小值之差离散(lsn)程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布7891078910 R = max(xi) - min(xi)计算公

18、式为共九十七页平均差(mean deviation)各变量值与其(yq)均值离差绝对值的平均数能全面反映一组数据的离散程度数学性质较差，实际中应用较少计算公式为未分组数据(shj)组距分组数据共九十七页平均差 (例题(lt)分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)14015015016016017017018018019019020020021021022022023023024014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160

19、250合计1202040共九十七页平均差 (例题(lt)分析) 含义：每一天的销售量平均数相比， 平均(pngjn)相差17台共九十七页方差(fn ch)和标准差(variance and standard deviation)数据离散程度的最常用测度值反映(fnyng)了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差4 6 8 10 12x = 8.3共九十七页样本(yngbn)方差和标准差 (simple variance and standard deviation)未分组数据(shj)：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：

20、方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!共九十七页样本(yngbn)方差自由度(degree of freedom)一组数据中可以自由取值的数据的个数当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个(y )数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估

21、计总体方差2时，它是2的无偏估计量共九十七页样本标准差 (例题(lt)分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)14015015016016017017018018019019020020021021022022023023024014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合计12055400共九十七页样本(yngbn)标准差 (例题分析) 含义：每一天(y tin)的销售量与平均数相比， 平均相差21.58台共九十七

22、页相对位置(wi zhi)的测量：标准分数共九十七页标准分数(standard score)1. 也称标准化值2.对某一个值在一组数据中相对位置(wi zhi)的度量3.可用于判断一组数据是否有离群点4.用于对变量的标准化处理5. 计算公式为共九十七页标准分数(性质(xngzh)均值等于(dngy)02.方差等于1共九十七页标准分数(性质(xngzh) z分数只是将原始数据进行(jnxng)了线性变换，它并没有改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1。 共九十七页标准化值 (例题(lt)分析)9个家庭人均月收入标准化值计算表 家庭编号

23、人均月收入（元） 标准化值 z 123456789150075078010808509602000125016300.695-1.042-0.973-0.278-0.811-0.5561.8530.1160.996共九十七页经验(jngyn)法则经验法则表明：当一组数据对称分布时约有68%的数据在平均数加减(ji jin)1个标准差的范围之内约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内 共九十七页切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality )如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再使用，这时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形

24、状的数据都适用切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少和多少”对于(duy)任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 的数据落在k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数共九十七页切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality )对于k=2，3，4，该不等式的含义是至少(zhsho)有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内共九十七页相对离散程度(chngd)：离散系数共九十七页离散(lsn)系数(coefficient of variatio

25、n)1.标准差与其(yq)相应的均值之比对数据相对离散程度的测度消除了数据水平高低和计量单位的影响4.用于对不同组别数据离散程度的比较5. 计算公式为共九十七页离散系数(xsh) (例题分析)某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）x1销售利润（万元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售(xioshu)数据如表。试比较产品销售(xioshu)额与销售(xioshu)利润的离散程度共九十七页离散系数(xsh) (例题分析)结论： 计

26、算结果表明，v1 0为右偏分布4.偏态系数 0为左偏分布共九十七页 总体(zngt)偏态系数 (skewness coefficient)偏度系数(xsh)的概念式共九十七页样本(yngbn)偏态系数 (skewness coefficient)根据原始数据计算Excel和spss均采用这个(zh ge)公式计算根据分组数据计算共九十七页偏态系数(xsh) (例题分析) 某电脑公司销售量偏态及峰度计算表 按销售量份组(台) 组中值(Mi)频数 fi14015015016016017017018018019019020020021021022022023023024014515516517518

27、5195205215225235491627201710845-256000-243000-128000-270000170008000021600025600062500010240000729000025600002700000170000160000064800001024000031250000合计120540000 70100000 共九十七页偏态系数(xsh) (例题分析)结论：偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明(shumng)电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数共九十七页偏态与峰态(从直方图上观察(gunch)按销售量分组(台)结论

28、(jiln)：1. 为右偏分布 2. 峰态适中140150210某电脑公司销售量分布的直方图190200180160170频数(天)25201510530220230240共九十七页偏态(实例(shl)【例】已知1997年我国农村居民家庭按纯收入分组的有关(yugun)数据如表4.9。试计算偏态系数1997年农村居民家庭纯收入数据按纯收入分组（元）户数比重（%）500以下500100010001500150020002000250025003000300035003500400040004500450050005000以上2.2812.4520.3519.5214.9310.356.564.1

29、32.681.814.94共九十七页户数比重(%)252015105农村居民家庭村收入(shur)数据的直方图偏态与峰度(从直方图上观察(gunch)按纯收入分组(元)100050015002000250030003500400045005000结论：1. 为右偏分布 2. 峰度适中共九十七页偏态系数（计算(j sun)过程）农村居民家庭纯收入数据偏态及峰度计算表按纯收入分组（百元）组中值Xi户数比重(%)Fi(Xi- X ) 3 Fi(Xi- X ) 4Fi5以下5101015152020252530303535404045455050以上2.57.512.517.522.527.532.5

30、37.542.547.552.52.2812.4520.3519.5214.9310.356.564.132.681.814.94-154.64-336.46-144.87-11.840.1823.1689.02171.43250.72320.741481.812927.154686.511293.5346.520.20140.60985.492755.005282.948361.9846041.33合计1001689.2572521.25共九十七页偏态系数(xsh)(计算结果)根据上表(shn bio)数据计算得将计算结果代入公式得结论：偏态系数为正值，而且数值较大，说明农村居民家庭纯收入的分布为右偏分布，即收入较少的家庭占据多数，而收入较高的家庭则占少数，而且偏斜的程度较大 共九十七页峰 态共九十七页峰态(kurtosis)统计学家Pearson于1905年首次提出数据分布扁平程度的测度峰态系数=0扁平峰度适中(shzhng)峰态系数0为尖峰分布共九十七页总体(zngt)峰态系数 (kurtosis coefficient)峰度系数(xsh)的概念式共九十七页样本(yngbn)峰态系数 (kurtosis coefficient)根据原始数据计算Excel与spss均采用这个公式(gngsh)计算。根据分组数据计算共九十七页峰态系数 (例题(lt)分析