XXXX0612集结算子在多属性决策中的应用

1、集结算子在多属性决策中的应用数理系1 多属性决策一般是利用已有的决策信息，通过一定的方式对一组(有限个)备选方案进行排序并择优 本章介绍一些常用的信息集结算子，如：加权算术平均(WAA)算子、加权几何平均(WGA)算子：有序加权平均(OWA)算子有序加权几何平均(OWGA)算子、组合 加权算术平均(CWAA)算子和组合加权几何平均(CWGA)算子 等，基于这些算子，给出一些简洁实用的多属性决策方法2第一讲 基于OWA算子的多属性决策方法为了方便起见,下面先给出一些基本概念:定义1 设 是一组给定的数据，函数 ，若则称函数 为算术平均算子（arithmetic averaging (AA) op

2、erator）。3定义2 设函数 ， 是一组给定的数据,若其中 是数据组 的权重向量，R为实数集.则称 函数WAA为加权算术平均算子 (weighted arithmetic averaging (WAA) operator)。4 该算子的特点是：只对数据组 中的每个数据进行加权(即根据每个数据的重要性赋予适当的权重），然后对加权后的数据进行集结。例1 我校教学水平评估，在4项指标：办学指导思想，学风，教学效果，特色项目. 得分为数据组4项指标的权重向量为 ，则加权平均综合得分为5定义3 设函数 是一组给定的数据,若其中 是与函数OWA相关联的权重函数OWA为有序加权算术平均算子 (order

3、ed weighted averaging operator)。向量，且 为数据组中第 个大的元素。R为实数集 ，则称6 上述算子的特点是：对数据 ，按从大到小的顺序重新进行排序并通过加权集结。而且元素 与 没有任何联系。只与集结过程中的第i个位置有关(因此加权向量w也称为位置向量)例1 国家有一项对国有企业的扶持资金，重点扶持效益好的5家国有企业，其资金扶持比例从好到差为权重向量，5家国有企业效益测评结果为数据组，OWA加权平均扶持资金为7而算术平均算子运算的结果为所以，OWA是一个与数据位置有关的算子。8基于OWA算子多属性决策方法具体步骤：步骤1：对于某一多属性决策问题，设为方案集， 为

4、属性集，属性权重信息完全未 知对于方案 ，按属性 进行测度，得到 关于 的属性值 ，从而构成决策矩阵 ，如表1.1所示表1.1 决策矩阵A9 属性类型一般有效益型、成本型、固定型、偏离型、区间型、偏离区间型等，其中效益型属性是指属性值越大越好的属性，成本型属性是指属性值越小越好的属性，固定型属性是指属性值越接近某个固定值 越好的属性，偏离型属性是指属性值越偏离某个固定值 越好的属性区间型属性是指属性值越接近某个固定区间 (包括落入该区间)越好 的属性，偏离区间型属性是指属性值越偏离某个固定区间 越好的属性。为了消除不同物理量纲对决策结果的 影响，决策时可按 下列公式对决策矩阵A进行规范化处理：

5、10若属性值为效益型，则令或(1.2a)(1.2b)11若属性值为成本型，则令或(1.3a)(1.3b)12若属性值为固定型，则令若属性值为偏离型，则令(1.4)(1.5)13若属性值为区间型，则令若属性值为偏离区间型，则令(1.5)(1.6)14A经过规范化处理后，得到规范化矩阵步骤2 利用OWA算子对各方案 进行集结，求得其综合属性值其中 是OWA算子的加权向量，15且 为数据组中第 个大的元素。步骤3 按 的大小对方案进行排序并择优实例分析16 例 投资银行拟对某市4家企业(方案) 进 行投资，抽取下列5项指标(属性)进行评估： 产值(万 元); 投资成本(万元); 销售额(万元); 国

6、家收益比重； 环境圬染程度。投资银行考察了上年度4家企业的上述指际情况(其中污染程度系有环保部门历时检 测并量化)，所得评估结果如表1.2 所示。在各项指标中，投资成本、环境污染程度为成本型，其他为效益型属性权重信息完全未知，试确定最佳投资方案17表1.2 决策矩阵A步骤1 利用(1.2a)和(1.3a)两式将A规范化，得到规范化矩阵 R，如表1.3所示。(1.2a)成本型18表1.2 决策矩阵A步骤1 利用(1.2a)和(1.3a)两式将A规范化，得到规范化矩阵 R，如表1.3所示。成本型(1.3a)19表1.3 决策矩阵R步骤2 利用OWA算子对各方案 进行集结，求得其综合属性值 ，设OW

7、A算子的加权向量为20表1.3 决策矩阵R21表1.3 决策矩阵R22表1.3 决策矩阵R23表1.3 决策矩阵R24汇总：步骤3 按 的大小对各企业进行排序为最佳企业。25定义4 设函数 是一组给定的数据,若其中 是与函数CWAA相关联的权重向量，且 为加权数据中第 个大的元素。这里，26是数据组的加权向量，是平衡因子。则称函数CWAA为组合加权算术平均算子 (combination weighted averaging operator)，简称CWAA算子。27例 设是CWAA算子的加权向量，是一组给定的数据，数据组的加权向量为则因此28CWAA算子不仅考虑了每个数据自身的重要性程度，而且

8、还体现了该数据所在位置的重要程度29决策方法 在现代大型决策过程中，为了体现决策的民主性和合 理性，往往需要多个决策者的共同参与(即群决策)下面 介绍一种基于OWA算子和CWAA算子的多属性群决策方 法，具体步骤如下： 步骤1 对于某一多属性群决策间题设 和 分别 为方案集和属性集。属性权重信息完全未知。 为决策者集， 为决策者的权重向量。设决策30者给出方案在属性下的属性值 ，从而构成决策矩阵 。若 的物理量纲不同，则需要对其进行规范化处理假设 经过规范化处理后，得到规范化矩阵为 。 步骤2 利用OWA算子对决策矩阵 中第 行的属性值进行集结，得到决策者 所绐出的方案 综合属性值31其中是O

9、WA算子的加权向量，且中第 个大的元素。32 步骤3 利用CWAA算子对第 位决策者给出的方案 的综合属性值 进行集结，得到方案 群体综合属性值33其中是CWAA算子的加权向量，且大的元素。 是平衡因子。是一组加权数据中第 个 步骤4 利用 对方案进行排序和择优34 该决策方法首先利用OWA算子进行纵向集结(即对一个决策者所给定的某一方案所有属性进行集结)，然后利用CWAA算子对纵向集结结果进行横向集结(即对由不同决策者得到的同一方案综合属性值进行集结)由于在一些决策 过程中，往往会出现个别决策者受个人感情等主观因素的影响对某些方案作出过高或过低的评价，因而会导致不 合理的决策结果。CWAA算

10、子不仅能充分考虑决策者的自 身重要性程度，而且尽可能地消除这些不公正因素的影响，并增加中间值的作用（一般是对过高或过低的方案综合属性值赋于较小的权重)，从而增强决策结果的合理性。35例15 考虑航天设备的评估问题首先制定8顶评估指 标(属性)： 导弹预警能力； 成像侦察能力； 通 信保障能力； 电子侦察能力； 卫星测绘能力： 导 航定位能力； 海洋监测能力； 气象预报能力指标 (属性)权重信息完全未知。现有4位专家 ， 权重向量为 依据上述各项指标对4 种航天装备 进行打分 (范围从0分到100分) 结 果如表1.4-表1.7所示试确定最佳航天设备1.2.3 实例分析36表1 决策者d1给出的

11、决策矩阵R137表2 决策者d2给出的决策矩阵R238表3 决策者d3给出的决策矩阵R339表4 决策者d4给出的决策矩阵R4 由于所有指标均为效益型，量纲一致，为了方便起 见，不把决策矩阵规范化 下面利用1.1.2节中的方法进行求解：40 步骤1 设OWA算子的加权向量为，对决策矩阵 中第 行的属性值进行集结，得到决策者 所给出的方案 综合属性值表1.4 决策者d1给出的决策矩阵R141表1.4 决策者d1给出的决策矩阵R1类似地，可得42步骤2 设CWAA算子的加权向量为由已知，4位专家的权重向量为43因此可求得方案 的群体综合属性值为其中44因此可求得方案 的群体综合属性值为45因此可求

12、得方案 的群体综合属性值为46因此可求得方案 的群体综合属性值为47因此可求得方案 的群体综合属性值为48步骤3 利用对4种航天装备进行排序故最佳航天设备为49基于OWGA算子的多属性决策方法第1节 OWGA算子定义1.4 设GA:若则称GA为几何平均（geometric averaging）算子。50定义1.4 设WGA:若其中 是数据组 的指数加权向量，则称函数WGA(weighted geometric averaging)为加权几何平均算子，也称为WGA算子。51例 设为WGA算子的加权向量，是一组数据，则算术平均侧重群体的作用，而几何算子强调个体作用。也就是说，只有所有数据都大，算术

13、平均数才大。而数据组中有一个数很小，就会导致几何平均数很小，特别的，当这个较小的数是零时，几何平均数为零。52基于OWGA算子的多属性决策方法第1节 OWGA算子定义1.4 设OWGA:若其中 是与函数OWGA相关联的指数加权向量，且 为一组53数据第 大的元素，为正实数集合。则称函数OWGA是有序加权几何平均算子。也称为OWGA算子。例 设为OWGA算子的加权向量，是一组数据，则54第二节 决策方法 下面介绍一种基于OWGA算子的多属性决策法，具体步 骤如下：步骤1 对于某一多属性决策问题属性权重信息完全未知，决策矩阵为 ，(1.2a)若属性值为效益型，则令55若属性值为成本型，则令(1.3

14、a)A经过规范化处理后，得到规范化矩阵步骤2 利用OWGA算子对各方案 进行集结，求得其综合属性值56其中 是OWGA算子的加权向量，且 为数据组中第 个大的元素。步骤3 按 的大小对方案进行排序并择优57第3节 实例分析 例 信息系统投资项目对评价指标(属性)主要有： (1) 收入 (单位：万元)：同任何投资项日一样，其首 要目的是为了盈利因此收入应作为投资评价的一个主 要因素 (2) 风脸 ：信寻系统投资的风险是第二个应考虑的因 素，尤其是政府部门信息投资项目，受政府和市场的影响 甚大。 (3) 社会效益 ：信息化建设最终是为了提高社会服务58水平。因此，社会效益应作为信息项目投资一个评价

15、指 标，社会效益显著的投资项目不仅可以提高企业竞争，而 且更容易得到政府的认可和批准 (4)市场效应 ：在信息技术发展过程中其市场效应是十分显著的，主要表现在两个方面：一是市场抢占速 度，尤其在政府工程项目中最为明显，谁最早成功地得到 政府都门的认可，谁就可以以其样板效应迅速抢占同类项 目市场；二是边际成本降低，开发过程的技术和项目经验 积累利规模效益会极大地降低开发成本，所以在某些市场59效应显著的投资项目中可以以微利甚至亏损方式进行。 (5) 技术难度 ：在信息投资项目的开发过程中，技术也是一个关键因素，伴随着计算机技术的发展，新的 技术不断出现，为了提高系统的实用性和安全性对技术的要求也

16、相应提高 在某地区信息管理系统项目中共有4种方案可供选择，其中 由某公司投资建设，采用8Kb的CPU卡；由某公司投资建设，采用2KB的CPU卡； 由某公 司投资建设，采用磁卡； 某公司不投资，由当地政府投资，公司只承包系统集成对上述4种方案，组60织专家论证，得到评估矩阵如表1.8所示。在各项指标中，风险 、技术难度 为成本型，其他为效益型。属性权重信息完全未知，试确定最佳方案表1.8 决策矩阵A61步骤1 利用公式(1.2a)、(1.3a)将A规范化，得到矩阵表1.9 决策矩阵R62步骤2 利用OWGA算子对各方案 进行集结，求得其综合属性值 ，不妨设OWGA算子的加权向量为63表1.9 决

17、策矩阵R64表1.9 决策矩阵R65表1.9 决策矩阵R66表1.9 决策矩阵R67步骤3 按 的大小对方案进行排序最佳公司为 。68第4章 基于OWGA算子和CWGA算子的多属性决策方法第1节 CWGA算子定义4 设函数 是一组给定的数据,若其中 是与函数CWGA相关联的权重向量，且 为指数加权69中第 个大的元素。这里，是数据组的加权向量，是平衡因子。数据则称函数CWGA为组合加权几何平均算子，也称为CWGA算子。70例 设为CWGA算子的指数加权是一组数据，数向量，据的指数加权向量为，则71第二节 决策方法 下面介绍一种基于OWGA算子和CWGA算子的多属性决 策法，具体步 骤如下：步骤

18、1 对于某一多属性决策问题属性权重信息完全未知， 为 位决策者的权重向量，其中设决策者给出方案在属性下的属性值为从而构成决策矩阵，假定决策矩阵经过规72范化处理后，得到规范化矩阵为 步骤2 利用OGWA算子对决策矩阵 中第 行的 属性值进行集结，得到决策者 所绐出的方案 综合 属性值73其中是OWGA算子的加权向量，且中第 个大的元素。 步骤3 利用CWAA算子对第 位决策者给出的方案 的综合属性值 进行集结，得到方案 群体综合属性值74其中是CWGA算子的加权向量，且 个大的元素。 是平衡因子。是一组指数加权数据中第 步骤4 利用 对方案进行排序和择优75第3节 实例分析 例1.10 百年大

19、计，教育为本高等教育在整个教育事 业中处于龙头地位，国家宏观职能部门如何把有限的教育 投入合理分配到全国各个高校，各高校又如何正确认识自 身的财务状况，进而提高资金利用率，这些都需要有一个 科学的高校财务评价万法来作为资金配置和使用的依据。 到目前为止，在实际工作中高校的财务评价只停留在采 用简单的财务分析方法对某一财务指标或某一方面进行反 应和评价并不能完成综合评价的任务。因此，选用科学 有效的评价方法对高校财务状况进行综合评价具有重要的76观实意义。 考虑高校的财务评价的评估问题首先制定10项评估指标(属性)其中 预算收入完成情况； 预算 支出完成情况； 财政及上级补助收入情况； 经 费自

20、给情况； 人员经费支出情况； 公用支出情 况； 生均支出情况； 固定资产利用情况； 流动资产占用情况； 偿还能力指标权重信息完全 未知现有4位专家 权重向量为 ，依据上述各项指标对4所高 校财务情况(方案) 进行打分(范围从0分77到100分），结果如表1.10表1.13所示。试确定最佳 方案。表1.10 决策者d1给出的决策矩阵R178表1.11 决策者d2给出的决策矩阵R279表1.12 决策者d3给出的决策矩阵R380表1.13 决策者d4给出的决策矩阵R4步骤1 利用OWGA算子，假设它的加权向量为对决策矩阵 中第 行的属性值进行集结，得到决策者 所绐出的方案 的综合属性值：81表1.

21、10 决策者d1给出的决策矩阵R182表1.10 决策者d1给出的决策矩阵R183表1.10 决策者d1给出的决策矩阵R184表1.10 决策者d1给出的决策矩阵R185表1.11 决策者d2给出的决策矩阵R286表1.11 决策者d2给出的决策矩阵R287表1.11 决策者d2给出的决策矩阵R288表1.11 决策者d2给出的决策矩阵R289表1.12 决策者d3给出的决策矩阵R390表1.12 决策者d3给出的决策矩阵R391表1.12 决策者d3给出的决策矩阵R392表1.12 决策者d3给出的决策矩阵R393表1.13 决策者d4给出的决策矩阵R494表1.13 决策者d4给出的决策矩阵R495表1.13 决策者d4给出的决策矩阵R496表1.13 决策者d4给出的决策矩阵R4