量子力学与统计物理

1、第一章 量子概述所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount (一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。1.1. 运动的“不连续性”运动究竟是怎样的呢？你可能会不假思索地回答说，“运动显然是连续的！”的确，这是物体运动所给我们的最 直接的感觉印象。我们所看到的、所感觉到的都是连续运动，它存在的合理性似乎是显然的，无需给出。一个物体在不受外力影响时，将保持它的运动速度，因为没有原因导致它改变运动速度，于是它要么静止，要么以不变的速度连续移动；又如，一个自由运动的物体在某一时刻处于空间中的某个位置，在下一时刻它

2、将只能位于原处或邻近的位置，因为没有原因导致它突然出现在某个不相邻的位置；同样，它也无法从一个位置运动到另一个位置而不经过中间的位置，因为没有原因导致这样的“跳跃”。什么是连续运动呢？你能给出一个较为严格的描述吗？例如，在一条直线上怎么说明物体从位置0连续运动到位置1呢？你也许会说，这很简单，不就是物体连续地通过它们之间的所有的点吗？但是，在0与1之间到底有多少个点呢？显然有无穷多个点，例如有1/2，1/4，1/8，你用一生的时间也无法数完它们！于是，问题就来了，你如何能知道物体通过了0与1之间的无穷多个点呢？如果不知道，你又怎么能说物体通过了0与1之间的所有点呢？如果不能说，你又怎么证明物体

3、的运动是连续的呢？！如何验证连续？然而，这也许难不倒你。你会争辩说，尽管无法测量出物体通过了0与1之间的无穷多个点，但是可以通过一个似乎自明的假设来证明它通过了0与1之间的所有点，从而证明物体的运动是连续的。这个假设就是：物体由一点运动到另一点必先通过它们的中间点。但是，你如何验证这个假设呢？对于比较大的空间距离，它也许是对的，然而，对于越来越小的空间距离，你验证过它吗？尤其是还存在无穷多个长短不同的空间距离呢！如1/2，1/4，1/8，你同样无法完成这无穷次测量验证，因此你仍然无法证明物体的运动是连续的。数学的连续与物理的连续概念有何不同？数学的连续概念定义为抽象的，物理的连续概念是相对的，

4、具有可比性。结论：看来，无穷挡住了我们的去路。我们必须进入越来越小，甚至是无穷小的时间和空间，才能最终发现物体真实的运动形式。1.2量子里程碑能量量子化概念1黑体模型：设想有一容器，它由能够阻挡电磁辐射的器壁组成，并假设器壁表面上有一无限小的孔。从这个孔射入的辐射，将不可能以可观测的几率找到再射出的途径，因此这个容器小孔就是黑体。2黑体辐射：容器内部的辐射场，在给定的温度下，与容器处于热平衡，这个辐射场就是黑体辐射。已经证明，辐射谱的分布和体密度只与温度有关，而与器壁的详细性质或任何其他因素无关。我们注意到，正是这种与细节无关的特点，使得黑体辐射成为这么重要的试验基础，可以用来了解处于热平衡下

5、的物质与辐射间的能量交换。3“紫外灾难”根据经典统计力学的均分定理，热平衡时，每一振动自由度具有相同的平均能量kT。现在，可以证明，频率在v到v+dv之间的模数为（8/c3）Vv2dv；这里的V是空腔的体积。因此，我们得到了不合理的结果：黑体辐射的能量密度等于(8/c3)kTv2dv，这就是说，频率在v和v+dv之间的辐射密度随频率的平方无限制地增加，因而空腔中的总电磁能量为无限大，产生“紫外灾难”。4能量量子化概念普朗克首先揭示出某些自由度不参与能量分配的奥秘，当时他提出，频率为v的振动模式的能量只会取不连续的值，不会像经典理论所说的那样连续地变化。特别地，他假设能量会从零开始以正比于频率的

6、等间距或阶跃增加，其中增加的比例常数正好是普朗克常数，所以，频率为v或角频率为的量子能量为 那么振子的能量的允许值只会是0，。很容易看出，普朗克的观点至少在定性上讲是正确的。对于频率相当低的振动模式，能量间距比热能小得多，因此，经典的均分定理不受影响。另一方面，对于频率相当高的振动模式来说，能量间距比热能大得多，因此，这些振动模式不能参与能量分配过程。明确地说，它表明在温度为T时，频率为v的振动自由度的平均能量为。 由此可见，当时，它取经典值kT，而当时，它按指数关系减小。黑体辐射的频率在v和v+dv之间时，与它相对应的能量密度则为， 这就是普朗克辐射定律，这个定律与实验非常一致，而且在历史上

7、，它首先提供了十分精确地测定的方法。普朗克提出了能量量子化概念（即力学量存在不连续），十分成功地解决了黑体辐射的困难。5从上我们已经的知道普朗克能量量化的概念，下面举例说明宏观能量被普朗克能量量化后，能量量子从宏观角度来看意味着什么？例：一个质量为0.01千克的摆挂在一条长0.1米的线上，假定摆的振动幅度正好使得当它处在最高位置时，悬线同竖直方向所成的角度等于0.1弧度，摆的能量由于摩擦等效而逐渐减小，问所观察到的能量减小是连续的还是不连续的？单摆的振动频率v等于单摆的能量等于它的最大势能：单摆的能量是量子化的，因此，它的能量只能够作不连续的跳跃式变化，每次改变的大小是而。能量间隔数约为102

8、9个，设想用每秒可拍播1029张像的摄象机，则可拍到不连续，试将拍摄的录像放慢，按人眼可分辨的速度播放（每秒10帧）需（ 3.15107秒为一年，3.151015秒为一亿年）109万亿年（约1亿亿年）的时间才能播放完。以上我们仅仅从时间角度设想，如果设想从空间或能量角度来分辨会如何呢?即1033焦耳的能量和1029米的尺寸对人的感知意味着什么?结论：原则上讲任何系统的能量都是分立的（量子化的），微观世界，粒子的能量与能量的分立程度hv数量级相近，具有明显的不连续性。而宏观物体的能量与hv能量（能量量子）相比，远远大于hv(由于h非常小)，能量的“量子”程度实在非常微小，因而没有能力把它同我们对

9、连续的认知分开来。1.3. 微观世界粒子的特征量（原子物理基础）以原子中电子的特征量为例估算如下： eq oac(,1)“精细结构常数”（电磁作用常数）， eq oac(,2)原子的电子能级即：数10eV数量级 eq oac(,3)原子尺寸：玻尔半径：，一般原子的半径1 eq oac(,4)速率： eq oac(,5)时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期，即每秒绕轨道转1016圈（电影胶片21张/S，日光灯频率50次/S） eq oac(,6)角动量：结论：“看不清”像朵云“电子云”几率描述思考题：1、人类通过感观和设备可分辨“时间、能量、空间”的极限能力?2、设想如何观测具有上述特征

10、量的微观粒子?1.4. “感知”微观世界的手段与量子力学的测不准原理1设想实验：图1.1为研究小物体下落运动的实验仪器。当物体通过一个地点时使物体遮光，这样运动的状态就作为光电管的电流变化的时间都记录下来。因为光的速度同物体的速度相比较是非常大的，所以不用考虑信号传递时间就能明确这个物体的地点和时间的关系。可见光的光子动量：10-27kgm/s数量级下落物体1g速度10m/s：动量为10-2kgm/s，二者动量比较，光触及在物体上而产生的影响完全可以忽视。下落电子9.110-31Kg ,速度100m/s 动量为10-29kgm/s，图 STYLEREF 1 s 1 SEQ 图 * ARABIC

11、 s 1 1 图 STYLEREF 1 s 1 SEQ 图 * ARABIC s 1 2 质量非常小其动量和光的动量相当，则物体的运动则由于光的触及，就如 REF _Ref122508681 h * MERGEFORMAT 图 11虚线表示。为了使物体受到的影响小，是否可用动量小而波长长的电磁波呢？可是在这种情况下，虽然动量变小，但由于波长长而给确定物体的位置带来不准确性，如 REF _Ref122512133 h * MERGEFORMAT 图 12，在长波情况下，由于波的衍射效应，物体不能阻止波的传播，因此不能起测量出位置的作用。如上所述，象电子那样微小粒子是怎样运动呢？要严谨地讨论这种运

12、动情况，应该认为是限度的。这就是说，运动状态不受测量影响而能跟踪电子的位置是不可能的。上面的设想实验1中，使用了 射线，但假设存在比电子还轻的粒子，那么利用它能否同时严格地决定电子位置和动量呢？对比电子轻的粒子，其波长，m小，若E不大，则很大，就不能被确定位置，在决定粒子的位置上起不了作用，正象下大网（轻粒子）描小鱼（电子）一样的结果。2设想实验：如 REF _Ref122512158 h * MERGEFORMAT 图 13利用波长短的 射线显微镜对电子位置进行测定。入射的 射线的光子和电子碰撞，并通过透镜应该到达检测器，因为 射线能通过OAP，也应该通过OBP，所时光子动量的x分量：动量宽

13、度 (1-1)另一方面，据物理光学，显微镜的分辨率或者x位置的不确定性： (1-2)（1.1）（1.2）得： (1-3)图 STYLEREF 1 s 1 SEQ 图 * ARABIC s 1 3 由于h0，两个量的积变为零，这在原则上是不可能的，实际上，因为不确定性更大，所以可写为同时精确测量动量和位置受到一定限制 (1-4)注意：(1-3)式中不含 射线的频率v，因为对位置来说，v高，x小，即更准确，但是，电子动量的不确定性变大，而二者的乘积不变。另外，用射线捕获电子时，假定只有x的不确定性，这意味着在 射线捕获的时间t内，只有如下不确定性：，vx为 射线碰撞电子前电子速度的分量。另一方面电

14、子的能量为：，所以当Px只有Px的变化时，则E的变化为：能量和在它观测所需要的时间t内可以有不确定性或互补关系。3海森堡测不准原理（同时测准Px和x有限制） （同时测准E和t有限制）不确定关系是海森伯于1927年给出的，因此常被称为海森伯不确定关系或不确定原理。它的根源是波粒二象性。（1）由坐标和动量的不确定关系可以说明粒子的位置坐标不确定量越小，则同方向上的动量不确定量越大；同样，某方向上动量不确定量越小，则此方向上粒子位置的不确定量越大。总之，这个不确定关系告诉我们，在表明或测量粒子的位置和动量时，它们的精度存在着一个终极的不可逾越的限制。（2）不确定关系不是由测量仪器或测量技术的测量精度

15、造成，而是由于测量对微观粒子本身的扰动决定。在双缝干涉实验中，虽然电子在某时刻落在何处不能确定，但电子落入给定区域的概率是完全确定的。轨道的概念在经典力学中是以坐标和动量有同时确定值为前提的，因而轨道的概念不适用于微观粒子。思考：举一个宏观物理量“测不准”的例子1.5. 波的粒子性在大学物理中我们已经说明，经典粒子因呈现出波的性质而具有波粒二象性。现在我们简短地描述一些可以反过来证明电磁波具有粒子性质的实验，强化被我们习惯思维弱化的粒子性，来说明任何物质都具有波粒二象性。1. 康普顿效应康普顿效应中更明显地证实了电磁辐射的微粒性。当某种频率的X射线被静止的（基本上）自由的电子散射出来时，散射X

16、射线的频率不是不变的，而是按一定的方式随散射角的增加而减小。把X射线当作能量为，动量为的相对论性的粒子，并把通常的能量和动量定恒定律应用于这种碰撞，就能准确地描述这个效应（参见大学物理）。2. 光电效应和光量子说光电效应：金属表面被光照射时放出电子的现象称为光电效应光电管原理。光量子说：频率为v的光是由能量为hv的一群微粒所构成（具有能量为hv的微粒子称为光子或光量子Photon），金属表面逸出的电子的最大速度为Vm时，（功函数） (1-5)光具有粒子性，能量是量子化的。4.光的单缝衍射及双缝干涉波动性(略)5.爱因斯坦对光的波粒二象性的诠释爱因斯坦认为辐射场是由光量子组成的，每个光量子（或称

17、光子）的能量E与辐射场频率v之间以普朗克提出的公式相联系，即 (1-6)是量子力学中经常使用的常数，为角频率。据相对论，光子静止质量m00 ，n表示动量方向 (1-7)称为波矢量公式(1-6)、(1-7)称为普朗克-爱因斯坦关系，它将光的波动性物理量（频率v，波矢量k）与描写光的粒子性的物理量（能量E、动量P）联系在一起，第一次提出光具有波粒二象性。思考：为什么会有时表现出波动性，有时表现出粒子性。提示：观测尺度h的意义：力学量不连续的量度量子化的表征微观上看微观粒子的物理量都是不连续、量子化的单元，从宏观“感知”而言这种量子化的单元与零并无差异，例如：原子的角动量为h的量级，即为10-34。

18、即1.6 学习量子力学的方法鉴于以上对微观粒子的特征值及人“感知”微观世界的手段和能力介绍，学习量子力学方法是：必须时刻明确我们研究对象的“微小”程度与我们的“感知”能力之间的巨大差异；2明确“微小”的量子（不连续）对我们的“感知”能力意味着什么? “微小”的量子对我们的“感知”能力意味着“零”；意味着“连续”；只有这样，我们才能避免用传统的宏观思维，理解微观世界的“不连续性”与宏观世界的“连续性”的统一。3牢记微观量子的数量级，熟习我们观测的手段和能力，才能体会我们测量手段对微观粒子的扰动；才能容易地理解“测不准”必然。 本章要点：量子含义与“不连续性”概念波的粒子性及其特征量观察条件与运动

19、表现的相对性量子力学的“测不准”的本质第二章 微观粒子的描述及运动规律2.1. 微观粒子的描述从上章对微观粒子的讨论中知，微观粒子具有：“看不清”，“测不准”，“能量量子化”Ehv的等特点，那么微观粒子的运动状态和运动规律究竟是如何描述？1. 德布洛意假设受光的波粒二象性的启发，一直被当作粒子的实物粒子（如电子、质子），会不会也有波动性呢？德布洛意在他的论文中提出了“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P的动量运动时，则伴随有波长为的波动。，h为普朗克常数同时满足关系因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波（或德布罗意波）。称 德布

20、罗意波关系 (2-1)例1：一个以速度V10m/s，直径80运动的棒球，假定其m1kg，则（原子的直径1 ），现在还没有办法观察这样短的波。例2：悬浮粒子布朗运动伴随的波动，观测布朗(Brown)运动所用的悬浮离子，直径约为1m，质量约为10-15kg，常温下其热运动动能，动量为，其德布洛意波长，比粒子直径小十个数量级，所以观察不到其波动性。例3： 100V电压加速下的电子伴随的波动，如电压U100V加速下的电子，这与X射线波长大致相同。因此，就可以通过晶体衍射现象来确证所产生的波实际存在的可能性。这一点被截维逊（Davison）和革麦（Germer）用电子束照射到薄的晶体片上时，发现了和X射

21、线情况相同的衍射现象，这样验证了德布洛意物质波的概念。2. 电子衍射试验检验实物粒子波动性的最好方法，是设法判断它们是否具有干涉、衍射的性质，上面的例题已经指出，动能为100eV的电子波长约为0.1nm量级，即与X波光长相近，因此，需要像X光一样，观察它们在晶体中的衍射。因为要想在任何实物基底上刻出这样的缝来几乎是不可能的。而晶体中原子间的距离正好是0.1nm的量级，所以可以用晶体中规则排列的原子来作为电子衍射的光栅。射线在晶体中衍射服从布拉格公式 (2-2)式中d是晶格常数；是入射X射线的波长；是入射角，当一束X射线入射晶体时，其反射线要能产生衍射条件加强，必须满足上面的布拉格关系式。因此，

22、如果电子束由晶体光栅产生衍射现象，其衍射花样的角分布也应符合布拉格关系式，如图2.1所示。图 STYLEREF 1 s 2 SEQ 图 * ARABIC s 1 1 1926年戴维逊（CJDavisson）和革末（LHGevmer）第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性，如图2.2所示，他们将经过电场加速的电子束射到镍单晶上，镍单晶的原子间距是0.215nm。实验中他们测量了散射电子强度随散射角变化的函数关系。例如当加速电压U=54V时，探测器在散射角=50方向上有一个明显的峰值，如 REF _Ref122512298 h * MERGEFORMAT 图 22(c)所示，

23、=50时，=(180-50)/2=65，对镍这一组如图2.2(a)虚线平行晶面来说，d=0.091nm，由（2-2）式，取n=1，则=2dsin=20.091nmsin65=0.165nm。再根据德布罗意关系式求出电子的波长，这与由（2-2）式算得的结果符合得很好，从而证明了电子的波动性质。图 STYLEREF 1 s 2 SEQ 图 * ARABIC s 1 2 几个月以后，汤姆逊（GPThomson）用高速电子穿过金属衍进行实验，也获得了电子衍射的图样。如 REF _Ref122512737 h * MERGEFORMAT 图 23是电子在Au多晶的衍射图样。 图 STYLEREF 1 s

24、 2 SEQ 图 * ARABIC s 1 3 3.电子波粒二象性为了说明波粒二象性的含义，我们由双缝干涉实验开始介绍几个实验。实验一：光的双缝干涉实验是光的波动理论最重要的实验基础之一。如 REF _Ref122513078 h * MERGEFORMAT 图 24所示。光源S前放有两条平行狭缝1和2，缝1和缝2构成一对相干光源，从缝1和缝2发出的光将在空间叠加，产生干涉现象。图中曲线I1(x)表示仅当缝1打开时在屏幕上产生的光强分布；曲线I2(x)表示仅当缝2打开时在屏幕上记录到的光强分布；曲线I12(x)则表示两缝同时打开时在屏上显示的双缝干涉图样：图 STYLEREF 1 s 2 SE

25、Q 图 * ARABIC s 1 4实验二：如果在S处换上一架机关枪，子弹向两孔扫射，当然小孔的大小刚好能让子弹透过，按照经典理论，我们将得到 REF _Ref122513101 h * MERGEFORMAT 图 25结果，图中各曲线的含义与 REF _Ref122513078 h * MERGEFORMAT 图 24中对应曲线同类；两孔同时打开时得到的强度分布n12(x)只是两孔分别打开时强度之和，即：这里观测不到干涉现象，为什么图 STYLEREF 1 s 2 SEQ 图 * ARABIC s 1 5实验三：如果在S处放一把电子枪，结果会怎样？电子束从S射出，经过双缝到达屏幕，在屏上记录

26、到电子强度分布，依照经典观点应得到像 REF _Ref122513101 h * MERGEFORMAT 图 25那样的结果。实际上得到的却类似于 REF _Ref122513078 h * MERGEFORMAT 图 24的结果，即 REF _Ref122513132 h * MERGEFORMAT 图 26。为什么图 STYLEREF 1 s 2 SEQ 图 * ARABIC s 1 6量值估算与思考：根据光的干涉理论，亮条纹间的距离为（其中D为平行狭缝到探测屏幕的距离，d两条平行狭缝间距离） 试估计实验一、二、三中亮条纹间距离量级，并比较差别。实验一：实验二：实验三：结论：实验四：实验上

27、我们可以做到让入射的电子流强度很弱，比如让电子一个一个地入射，再重复上述实验，开始屏上得到的分布似乎毫无规律，时间长了，我们仍然得到了双缝干涉图像（如 REF _Ref122513160 h * MERGEFORMAT 图 27）。可以看出：（1）大量电子的一次性行为与单个电子的多次性行为表现出同样的波动性。图 STYLEREF 1 s 2 SEQ 图 * ARABIC s 1 7（2）干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，它并不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是微观粒子其个性的集体表现。结论：宏观粒子（如子弹）仍然具有波动的属性（“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播

28、分开”，认为物体若以大小为P的动量运动时，则伴随有波长为的波动），但是，观察不到干涉现象。干涉、衍射现象是波动本质的体现，波动是无条件的，干涉、衍射现象的观测是有条件的。干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，它并不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是微观粒子其个性的集体表现。粒子的波粒二象性，从量子观点看，所谓粒子性是它具有质量、能量、动量等粒子属性。所谓波动性是指其具有频率、波长，在一定条件下，可观察出干涉和衍射，波和粒子性是物质同时具有的两个属性（但是不能同时观测），如同硬币的两面。在微电子技术中，电子仍被认为是粒子。当前，随着大规模集成电路集成度的提高，要求器件尺寸不断减小。1985年

29、，1兆位特大规模集成电路的集成度达到200万个元件，要求器件条宽为1m；1992年，16兆位的芯片集成度达到3200万个元件，条宽减到0.5m，即500nm；其后64兆位的集成电路，其条宽已达0.3m，即300nm；目前，科研工作者正在研究的1兆位的特大规模集成电路，条宽只有0.1m，即100nm。这个尺度被认为是微电子技术发展的极限。空间尺度在0.1100nm定义为纳米空间。在纳米空间电子粒子性优势将不再存在，取而代之的是它的波动性。因此，视电子为粒子的微电子技术就失去赖以工作的基础，微电子技术面临挑战。于是一项跨世纪的高新技术纳米电子技术应运而生。它和纳米材料科学、纳米生物学、纳米机械学、

30、纳米显微学和纳米制造等一起构成了一门新兴学科，即纳米技术。它在0.1100nm尺度空间内，研究电子、原子和分子运动规律和特性，其最终目的是人类按照自己的意志直径操纵单个原子，制造具有特定功能的产品。现在，世界各国都把纳米技术做为本世纪经济发展的突破口，像纳米材料所具有的表面效应、小尺寸效应、量子效应和量子隧道效应正在很多新产品中得到应用。4. 波函数与波动方程（1）波函数从2.1节第3部分中对波粒二象性的讲述可得如下认识：微观尺度下的微观粒子应表现为“强烈”的波动和不确定性，用波函数描述微观粒子应是必然。现在我们要恰如其分地让物质波具有一个波长和频率，为了这样做，我们要引入一个表示德布罗意波的

31、函数，即所谓波函数，用全面描写微观粒子的运动状态。举个例子说，对于以确定的线性动量和能量值沿X方向运动的粒子(自由粒子)来说，这个波函数可以写成振幅为A的简单正弦函数，比如说：。类似于，x方向运动，波长为，频率为v的正弦电磁场，自由粒子（不受外场作用，P、E守恒为常量）的波函数的复数形式: (2-3)其中波函数表示一个体系的粒子状态，即用粒子坐标和时间为变量的波函数作为体系粒子状态全面的数学描述。（2）物质波的波动方程那么什么是量子力学中的运动方程呢？也就是描写微观粒子体系状态的波函数(r,t)应该满足什么样的方程？它应该像经典力学中的牛顿方程一样，在给定体系的初始状态后，借助于这个方程能求出

32、体系在任意时刻的状态，即由(r,0)确定(r,t)。按德布罗意的观点，运动着的物体总是伴随着波动，我们来讨论一下这种波究竟满足什么样的波动方程，可以借鉴通过光子（电磁波）的基本力学方程“建立”光子波动方程的方法，寻找微观粒子的运动方程（参见本章附录）。这个方程像牛顿方程一样，不能用理论的方法推导。但是，为满足对波函数所做的解释，它应该满足以下几个条件：必须符合德布洛意假设，即满足德布洛意关系：。 (2-4) (2-5)必须满足能量方程 (2-6)E为粒子的总能量，V是势能，p2/2m是动能。方程必须是线性的，以满足状态叠加原理的要求。设自由粒子的波函数为谐波： (2-7)（由） (2-8) (

33、2-9) (2-10)由(2-9)得：由(2-10)得：将（2-6）式同乘(x,t) (2-11)量子波动方程，称薛定谔方程。三维情况： 称拉普拉斯算符定义： 称为哈密顿算符三维薛定谔方程： (2-12)（3）态的叠加原理从经典物理中波的概念知，波具有干涉、衍射现象，满足叠加原理，微观粒子具有波粒二象性，即具有波动的特性，因此，也同样具有叠加性，称之为态叠加原理。叠迭加性表现在：任何一个态（波函数）总可以看成是由其他某些态（1，2）线性叠加而成：C11+C22+C1，C2为复数如果波函数1，2，是可以实现的态时，则它们的线性叠加式总是一个可以实现的态。当粒子处于叠加态时，可以认为它是部分地处于

34、1态，部分地处于2态，部分地处于n态.2.2.波函数与几率诠释、1、|E|2解释为“光子密度的几率量度”首先考察光的双缝干涉图样。由波动图像，屏幕上某点的强度I由下式给出 (2-13)式中：E为该点的电场强度；0为真空介电常数；c为光速。另一方面，由光子图像，屏幕上一点的强度为 式中：hv是一个光子的能量；N为打在屏幕上该点的光子通量（单位时间通过单位面积的光子数），虽然单个光子到达屏幕什么地方无法预测，但亮带光子到达的几率大，暗带光子到达的几率小，在屏幕上一点的光子通量N，便是该点附近发现光子几率的一个量度。因为所以上式说明，在某处发现一个光子的几率与光波的电场强度的平方成正比。这就是爱因斯

35、坦早在1907年对光辐射的量子统计解释。2、|2解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率由于电子也产生类似的干涉条纹，几率大的地方，出现的电子多，形成明条波；在几率小的地方，出现的电子少，形成暗条纹。与爱因斯坦把|E|2解释为“光子密度的几率量度”相似，玻恩把|2解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率。玻恩指出“对应空间的一个状态，就有一个由伴随这状态的德布罗意波确定的几率”。玻恩由此获得了1954年诺贝尔物理奖。3、波函数的| (x,t)|2几率归一化 经典的波振幅如电场强度E都是可以测量的，而 (x,t)却一般不能被测量。在量子理论中，测量与描述不是一回事。如果硬要说

36、（x,y)的物理意义，只能说t时刻，测量粒子处在xx+dx空间中的几率正比于| (x,t)|2dx。由此可见，只有| (x,t)|2才有测量上的意义，它的含义是几率。而对于几率分布来说，重要的是相对几率分布，显而易见， (x,t)与c (x,t)（c为一常数）所描述的相对几率分布是完全相同的，为了便于描述，一般将几率设定为1，称之为归一化几率。而经典波不同，若振幅增加了一倍，则相应的波动能量将为原来的4倍，完全代表了不同的波动状态。这个量对物质波所起的作用，类似于对辐射波所起的作用（详细情况参见本章附录），物质波波函数的均方是在指定的时间和空间中在单位体积内找到的一个粒子几率的量度。微观粒子波

37、动性的真正含义是几率性，由波函数所描述的状态的性质一般都带有几率性的特征，这是微观规律的根本特征。4、波函数的性质波函数及其一次微商在全部分布空间中都必须有限，单值、连续的，平方可积。“有限”的要求是从波函数的几率诠释产生出来的，因为，*代表几率，而几率总是有限的。“单值”是从波函数作为状态的全面 数学描述提出的要求，如果波函数“连续”的要求是多值函数，状态性质就无法确定了。“连续”可以从定态一维薛定谔方式：中直接得出，则上式变为：，积分一次： 不管被积函数（V-E）是否连续，（有时V(x)不连续，在个别点有跃变），只要它是有限的，则其积分总是连续的，因此是连续的。“平方可积”：为了计算方便，

38、常引入一些不是平方可积的波函数（相当于粒子运动范围实际上没有限制，粒子可以达无限远处），这时只要作合理数学处理，仍可用，归一化几率。2.3. 定态与定态薛定谔方程一般地说，在初始状态(r,0)已知的条件下求解任意时刻的波函数(r,t)，即求解薛定谔方程（2-11） ，不是一件很容易的事。但是，当粒子的势能项V中不含时间变量t时，采用分离法可以把波函数中与时间有关的部分分离出来，使问题容易解决些。在势能项V中不含时间t时，哈密顿算符也不显含时间。将(r,t)中与时间有关的因子分离出来，令将之代入方程中，可以得到其中E是与r、t无关的常数。所以，对f(t)有方程：解之得c为常数。这样，薛定谔方程的

39、解可以表示为 (2-14)波函数的空间部分(r)满足方程: （2-15） 这个方程叫不含时间的薛定谔方程。由此（2-14）可见，此时波函数与时间的关系是周期性，其角频率是。由德布洛意关系知道，粒子处于该状态时能量为E，E与r、t无关是个常量，取确定值，所以由式（2-14）表示的状态叫定态，这种形式的波函数叫定态波函数。方程（2-15）又叫定态薛定谔方程。一般地说，对于任何E值方程（2-15）都可能有解，但不是一切E值所对应的解都能满足物理上的需求，常常是只有某些特定E值所对应的解能满足这种要求。这样的一些E值称为体系能量的本征值，所对应的波函数称为能量本征函数。如果用E1、E2、E3、En、等

40、表示能量的本征值，与这些本征值对应的本征函数记为1、2、3、m、，则定态波函数对定态波函数取如下形式： （2-16）几率密度：几率密度与时间无关（驻波）。而含时间的薛定谔方程（2-12）的一般解，可以表示为这些定态波函数的线性叠加： （2-16a）式中cn为常数。2.4. 几率密度与几率流密度上面讨论的薛定谔方程，是非相对论量子力学的基本方程。在非相对论情况下，没有粒子的产生和湮灭（这里指静止质量m0的粒子），粒子数应保持守恒，如果空间某处的粒子数变少，必定有另外某个地方的粒子数变多，使在全空间找到的粒子数不变。1. 几率密度与几率流密度按照玻恩对波函数的解释，在空间一点r处d体积元内找到粒子

41、的几率是|2d，那么在该处单位体积内找到粒子的几率，即为几率密度w： （2-17）将w对时间求导，得 （2-18）由于 （2-19）其复数共轭式为 （2-20）以*乘式（2-19），以乘式（2-20），注意到势能项一般为实数（即V*V），两式相加得引入j，令 （2-21）则有 （2-22）这就是几率连续性方程，其积分形式为 （2-23）j的物理意义：（几率流密度）（2-23）式左边代表在封闭区域Vs中找到粒子的总几率（或粒子数）在单位时间内的增量，而右边（注意符号）内通过则应代表单位时间Vs的封闭表面S而流入Vs的内的几率（粒子数），所以j具有几率流（粒子流）密度的意义，是一个矢量。这个表达式

42、的物理意义是十分清楚的，即单位时间内空间某一区域Vs中增加的几率等于该区域边界流入的几率。如果积分扩展到全部空间，Vs，则当粒子只在有限空间区域运动时，在无穷远处j0，于是我们有即粒子在全空间出现的总几率不随时间变化。若波函数已归一化，这种归一性也不随时间变化，因为不论何时，在全空间必定能找到粒子。2. 粒子数守恒与电荷守恒若一个微观粒子体系有N个粒子，N1，则N为粒子的数密度，即单位体积中的粒子数，Nj为粒子流数密度，即单位时间流这单位面积的粒子数，用N乘方程（2-22）得 （2-24）这是量子力学中的粒子数守恒定律。若粒子的电荷为e，则为电荷密度，为电流密度，用Ne乘方程（2-22）得量子

43、力学中的电荷守恒定律： （2-25）若粒子的质量为m，以Nm乘方程（2-22）得： （2-26）式中，为质量密度，为质量流密度，上式即为量子力学中的质量守恒定律。例题1.1 电子、中子和光子的de Broglie波长解 因为式中：P，E分别是自由粒子的动量和能量；m为质量；h为Planck常量。由上两式可以导出对于光子而言取E=1eV，容易验算例题1.2：电子显微镜的分辨率如果我们需要观测一个大小为2.5的物体，可用光子的最小能量是多少？若把光子改为电子呢？解： 这个问题中我们能够采用的光的最大波长=2.5，这样相应的光子的最小能量就为若把光子改为电子，则最大电子的波长，按照非相对论性计算因此

44、则 由此可以看出，对于给定的能量，电子具有比光子高得多的分辨率。正因为如此，电子显微镜能够有比光学显微镜更高的放大率。附录：电子的基本力学方程电子运动波动方程的“建立”过程光子运动描述如何描述电子运动？电子的基本力学方程麦氏方程物质波电磁波光子波动方程的“建立”过程2.1 电磁场波动方程(光的波动与强度表达)与电子的运动方程的类比电子波函数的意义代表粒子几率密度光子波函数（E或H）的意义代表E或HE2代表光子密度 光子的波动方程及波函数薛定谔方程及波函数说明电子波函数与光子的E或H类同，可以得出电子的代表几率密度的意义,具体如下: 光子的基本力学方程真空中自由传播的电磁波满足波动方程 （2-2

45、7）对单色平面波特解 （2-28）其中A为振幅，为角频率，为波矢为空间坐标，t为时间对光波 （2-29）电波就是光子。波函数（2-28）式描写的电磁波也就是能量和动量的光子，光子的性能实际上体现在波动方程（2-27）式中，只要将（2-28）式代入(1)式后，亦即这正是光子的能量、动量之间的基本力学方程有了上述理解，反过来我们可以从光子的基本力学方程出发 “建立”光子的波动方程：第一步，写出光子的基本力学方程第二步，将E和P2换成(7)式中相应的算符，并乘(作用)在波函数上再除以 （2-27）就得到波动方程 2.2 E2代表的物理意义光子波动方程:设 是振子的偶极矩，为电磁波的传播方向（能流方向

46、）和偶极振子振动方向之间的夹角。单色平面波波的复数表达：辐射能密度：单位体积中电磁场能,电磁场中起光作用的电场部分，如人眼、照相底片等的光效应都是由电场引起的，称电振动矢量E。光子的波函数（E或H代表电磁场辐射能密度，即光子的密度）光波的相干叠加性起作用的是电磁波中电场向量这一部分。P点就有两个方向振动的电场，其合成电场为光强度： （2-30） 其中V光波的相速度 （2-31）只与空间有关，而与时间无关，代入（2.31）式 （2-32）由（2-31）式得是两光波在P点的位相差 P点的光强度：从上述推导可知：，I代表光强度，即单位面积的光子数，E2代表光子密度。爱因斯坦把|E|2解释为“光子密度

47、的几率量度”2.3通过与光子的动力学方程类比得出电子的代表几率密度通过电磁场波动方程(光的波动与强度表达)与电子的运动方程的类比，及爱因斯坦把|E|2解释为“光子密度的几率量度”类比，玻恩把|2解释为给定时间，在一定空间间隔内发生一个粒子的几率。玻恩指出“对应空间的一个状态，就有一个由伴随这状态的德布罗意波确定的几率”。第三章 定态问题求解给出任意势函数时，对单粒子薛定谔波动方程式的求解并非那么简单。但是，如果势函数具有非常简单的函数形式，就可以对方程式进行解析，求出方程式的解。下面将对方势阱、谐振子等极简单情况的波动方程式进行具体求解，还要对波函数表示状态的物理意义以及与经典物理学的关系等加

48、以说明。例.1 方势阱中的粒子(a) 一维情况 首先根据经典力学来研究粒子在如 REF _Ref122519662 h * MERGEFORMAT 图 31所示的能量V(x)中运动的情况。如粒子的质量为m，速度为，总能量为E，则有 （3-1）其能量守恒定律成立。粒子能达到的范围可从下列关系式中求出： （3-2）如果能量E比势垒高度低，粒子就在势能谷中反复进行往区运动。我们把粒子进行这样运动说成粒子处于束缚状态。图 STYLEREF 1 s 3 SEQ 图 * ARABIC s 1 1 势能和粒子的运动（x0 xxd）如 REF _Ref122519721 h * MERGEFORMAT 图 3

49、2那样的方形势能谷称为方势阱。粒子在这种方势阱中运动时，如果认为拐角部分是改变90方向的曲线，粒子就沿壁上升到满足式（3-2）的高度，然后重新下降。如果粒子的能量比势能V1、V3小时，它就不能逃出这个方势阱。下面我们求解这种方势阱的波动方程式。图 STYLEREF 1 s 3 SEQ 图 * ARABIC s 1 2 方势阱（一维）如 REF _Ref122519721 h * MERGEFORMAT 图 32所示，方势阱可分成势能值为一定的三个区域。即 （3-3）各区域中的薛定谔波动方程式为： （3-4）因各区域中的势能为常数，所以对波动方程式容易求解。如果令： （3-5）则式（3-4）可表

50、示为： （3-6）此式的一般解为： （3-7）式中An+、An-为与x无关的常数。波动方程式不应该在各区域中独立地求解，而是在各区域边界处应当是平滑连续的。在如图3.2那样势能不连续变化时会产生波动方程式是否平滑连续的疑问，但这是不必要的担心。因为边界势能的跳跃是有限的，所以很容易证明波函数微商的连续性（见2.2节中的“连续性”）。这里研究一下的情况。这时从式（3-5）可以知道p1、p3为纯虚数而p2为实数。在第一区域中的波函数为： （3-8）但由于p1为纯虚数，当x-时，变为无限大，所以必须A1+0。同理，在第三区域中当x时，变为无限大，所以必须A3-0。因此各区域的波函数为（区域1） （3

51、-9）（区域2） （3-10）（区域3） （3-11）在x0及xd处，波函数及其一级微商的连续条件适用于这些波函数时，可得如下的四个方程式： （3-12）上式为对A1-、A2+、A2-、A3+的四个齐次方程式。为了得到不为零的解，上式系数的行列式必须等于零，即 （3-13）当考虑到p1、p3为纯虚数，p2为实数时上式的解变为 （3-14）因为V1V3V，V20，所以利用式（3-5）得： （3-15）上式为给出波函数不为零的条件，但由于m、d、V为已知量，所以式（3-15）是确定能量E的公式。作为特例，如果V非常大时，从式（3-15）得：（n为正整数） （3-16）因为，n作为量子数可给出如下能

52、量关系： （3-17）上式就是粒子落进无限深势阱的情况，而且得到与n2成比例的分立的能级。当V时，A1-、A3+为零，也就是说，区域1和区域3中的波函数为零，并从式（3-12）得A2+-A2-。如利用式（3-17），则式（3-10）的2可表示为： （3-18）在上式的波函数改添角标n再写成n。根据归一化条件： （3-19）求出常数。结果，波函数为： （3-20） REF _Ref122519937 h * MERGEFORMAT 图 33画出n1、2、3的能量和波函数的情况。图 STYLEREF 1 s 3 SEQ 图 * ARABIC s 1 3 无限深势阱（一维）中的粒子能量和波函数 当V

53、为有限值时，必须用解式（3-15）所得能量E求解式（3-12），并求出其系数。这时，由于A1-及A3+不为零，所以在区域1和区域3中的波函数不等于零，而超出0 xd的范围。由于在超出0 xd范围的区域中的势能V(x)比能量E大，所以从经典力学的观点来看，是不允许粒子存在的区域。所谓的波函数不为零，就是表明找到粒子的几率不等于零。这与经典力学的结果不非常不同的。当V时的几率密度由式（3-20）得到： （3-20）在势阱的深度为有限时，如 REF _Ref122520070 h * MERGEFORMAT 图 34所示，几率密度超出0 xd范围。在经典力学中，粒子是在0 xd范围内向x方向进行等速

54、运动。因此几率密度与x无关而可以看成是常数。这就是说，量子力学的结果和由经典力学所得的结果是不一样的。量子数越小不一致性的比率越大，如图3-5所示，势阱中的几率密度逐渐变为均匀化，当然，由于波函数中有节，所以不可能完全均匀化。 图 STYLEREF 1 s 3 SEQ 图 * ARABIC s 1 4 方势阱（一维）中的几率密度 图 STYLEREF 1 s 3 SEQ 图 * ARABIC s 1 5 一维方势阱中被束缚粒子的几率密度（n=15）图 STYLEREF 1 s 3 SEQ 图 * ARABIC s 1 6 三维方势阱(b) 三维情况 我们研究一下如 REF _Ref122520

55、229 h * MERGEFORMAT 图 36所示的边长各为dx、dy、dz的立方体中的粒子的情况。为了简单起见，立方体可认为是深方势阱。其中的势能值为零时，粒子的薛定谔波动方程式为： （3-22）如波函数写成x、y、z三个变数函数的积： (3-23）则方程式（3-22）就可以分离成对各自变数的三个微分方程式： （3-24） （3-25）假设势阱为无限深时，x、y、z在各自的x0, dx；y0, dy; z0, dz中必须为零。因求解式（3-24）与一维情况相同，结果，得归一化的波函数及本征能为： （3-26） （3-27）式中nx、ny、nz分别为x、y、z的量子数。即三维空间的三个自由度

56、必对应于三个量子数。在箱中找到粒子的几率为： （3-28）量子数nx、ny、nz小时的情况与经典力学所得到的结果是很不相同的。dxdydzd时，式（3-27）变为： （3-29）对于每一个（nx,ny,nz）的组合，必对应于一个独立的波函数，如果值相同时，能量相同而成为简并状态。粒子封闭在箱中时的薛定谔波动方程式与求解被导体包围的箱形空洞中的电磁场的方程式相似。真空中的电磁场方程式为： （3-30）但是如果时间因子为，则得空间坐标的波动方程式： （3-31）因此，在引入电场E在导体面为零的条件下，则得到类似的解。以nx,ny,nz (正整数)为角标所允许的频率，则： （3-32）如果和式（3-

57、27）比较，可知有如下的对应关系：即粒子的本征能量与电磁波的固有频率是互相对应的。例.2 谐振子(a) 一维情况 一个质点因受到与中心的距离成比例的引力而运动时，称为线性谐振子。如 REF _Ref122520372 h * MERGEFORMAT 图 37所示，当一个小物体与弹簧连结而进行小振动时，能实现谐振动。如弹簧的力常数为c，物体离中心的位移为x时，作用力f等于：图 STYLEREF 1 s 3 SEQ 图 * ARABIC s 1 7 一维谐振子 （3-33）势能等于： （3-34）如物体的质量为m，速度为时，因动能为，因此总能量E等于： （3-35）牛顿运动方程式为： （3-36）

58、上式积分后得： （3-37）式中 （3-38）A为振幅，为由振动起始条件决定的位相常数。频率则由弹簧常数及质量来决定，但振动的振幅是与能量E同时变化。以上是谐振子按经典力学的处理。下面讨论一下量子力学的处理。利用式（3-34）给出的势能，则薛定谔波方程式为： （3-39）进行变量变换 （3-40）则式（3.39）变为： （3-41）解上述方程（参见本章附录1）可得一维谐振子的波函数： （3-42）式中为归一化系数，Hn为厄米多项式（参见本章附录）。本征能量可由式（3.40）的第2式和式（3.90）得出： （3-43）能级如 REF _Ref122523583 h * MERGEFORMAT 图

59、 38所示。从图中看出，能量为等间距的分立值。其最低值为： （3-44） 这是基态0的本征能，是振子所取的最低能值。在经典力学中的最低能量是粒子在原点上静止时的值，即等于零。但是应当注意，在量子论中最低能量E0不等于零，E0称为零点能。在第1.1节中叙述的普朗克的量子假设中，虽然涉及到了振子能量的量子化，但并没有考虑过零点能。图 STYLEREF 1 s 3 SEQ 图 * ARABIC s 1 8 一维谐振子的能量 (b) 谐振子的量子状态 图 STYLEREF 1 s 3 SEQ 图 * ARABIC s 1 9 一维谐振子的波函数和几率密度(n=0、1、3、6) (c). 不同本征函数的

60、几率密度最后再讨论一下激发态。 REF _Ref122524060 h * MERGEFORMAT 图 39表示出n0、1、3、6时的波函数的几率密度。由图可以看出，随着n的增大，几率密度逐渐趋向均匀。在经典力学中，可以认为粒子的存在几率(x)与速度成反比。因此，利用式（3-35），则得： （3-45）在 REF _Ref122524111 h * MERGEFORMAT 图 310中表示出大n时的几率密度和经典理论的结果（虚线）。由图可以看出，大n时的几率密度与经典理论很相似。在激发态中也和基态时一样，由于能量的本征函数不能成为位置和动量的本征函数，所以这些量是不能确定的。图 STYLERE