数字信号处理：第三章 离散傅立叶变换

1、第三章 离散傅立叶变换理解傅里叶变换的几种形式了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷积过程理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系了解频域抽样理论理解频谱分析过程了解序列的抽取与插值过程连续时间、连续频率傅里叶变换连续时间、离散频率傅里叶级数离散时间、连续频率序列的傅里叶变换离散时间、离散频率离散傅里叶变换第一节 傅立叶变换的几种可能形式时 域频 域傅立叶变换一、连续时间，连续频率傅立叶变换(FT) 这是连续时间，非周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到连续的、非周期的频谱密度函数X(j)。时域连续频域非周期时域非周期频域连续二、连续时间，离

2、散频率傅立叶级数(FS) 这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有一个频率分量。X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。时域周期频域离散三、离散时间，连续频率序列的傅立叶变换(DTFT) 由第一章采样定理的知识，我们知道：时域离散，将导致频域周期化，且这个周期是s。时域离散频域周期四、离散时间，离散频率离散傅立叶变换(DFT) 上面所讲的三种傅立叶变换至少在一个域内是连续的，不适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计算机运算。思路：从序列的傅立叶变换出发，若时域为离散的序列，则频

3、 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样， 人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：时域离散、周期频域周期、离散 DFT只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频谱，而不是连续函数5、栅栏效应改善方法： 增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密。可以看出，离散傅立叶级数的谐波成分只有N个是独立成分：这说明，时域的离散导致了频域的周期化。即：第二节 周期序列的傅立叶级数注：不论是离散的，还是连续的周期序列，均可用傅立叶级数 表示。离散的周期序列用离散傅立叶级数表示。(任一个周 期序列均可分解为基波、二次、三次、k次谐波的组合)。连续时间周期信号离散时间周期信号周期基

4、频基频序列K次谐波序列 对离散傅立叶级数，只能取k=0到N-1的N个独立谐波分量，我们令：说明：这里， 是K次谐波的系数。1/N看作是一个人为从 中提取的一个常数，这是为了后面运算的方便。求解 系数：则：说明：只有当：k-r=mN 时，中括号内才为1， 而因为：k0,N-1，所以有取m=0，即：k=r。 若把上式中的r换成k，得到：可以看出 的周期性：周期为N的 的离散傅立叶级数只有N个不同的系数 。周期序列的离散傅立叶级数对(DFS)：说明：只要知道周期序列一个周期的内容，其DFS、IDFS就可以 都可以得到，所以说实际上只有N个序列值有信息。周期序列与有限长序列存在这样的联系：将有限长序列

5、进行周期延拓就可得到周期序列离散傅立叶级数与Z变换的关系： 周期序列 可以看作是对 的一个周期x(n)作z变换，然后将z变换在z平面单位圆上按等间隔角2/N抽样而得到。令：则x(n)的z变换为：例：已知序列x(n)是周期为6的周期序列（如图所示），试求 其DFS系数。第三节 离散傅立叶级数的性质 由于可用抽样z变换解释DFS，故DFS的许多性质与z变换相似。但 与 都具有周期性，所以DFS在时域和频域之间存在着严格的对偶关系，这是序列z变换所不具有的。1、线性2、序列的移位3、调制特性4、周期卷积和说明：周期卷积与线性卷积的不同之处： 参与周期卷积的序列是周期序列。 周期卷积和只在一个周期上(

6、0N-1)进行。线性卷积：第四节 离散傅立叶变换(DFT) 周期序列只有有限个序列值有意义，我们可以把长度为N的 有限长序列看作是周期为N的周期序列的一个周期，就可以 利用离散傅立叶级数DFS来计算了。设x(n)为有限长序列，点数为N，在n=0N-1处有值。 为x(n)的以N为周期的周期延拓序列。有时也写成： 与x(n)的关系： 的第一个周期：n=0N-1定义为“主值区间”。 x(n)为 的“主值序列”。 对不同的r值，x(n+rN)之间彼此不重叠，故可写为：其中，(n模N)或(n)N数学上表示“n对N取余数或取模值”。例： 的周期为N=9，求 和 所对应的x(n)。 同理，对频域的周期序列

7、也可看成是有限长序列 的周期延拓， 为 的主值序列。 从DFS和IDFS的表达式可知，求和只是在n=0N-1的主值区间上进行，所以它完全适用于x(n)和X(k)这两对主值序列。由此我们得到有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)的定义：注意： 回忆DFS，我们发现他们的形式基本一致，只是DFT仅考虑 主值序列(有限长)，而DFS考虑的是一个周期序列。因此 DFT的定义形式中一定会有对主值区间范围的的说明。 x(n)与X(k) 均有N点独立值，为N点序列，信息量相当。 凡是说到DFT，有限长序列均是作为周期序列的一个周期来 表示的，它隐含了周期性。DFT的真正幕后英雄是DFS。x(n)的N点DFT是

8、x(n)的DTFT在区间0,2上的N点等间隔抽样。x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；第五节 离散傅立叶变换(DFT)的性质一、线性1.两序列都是N点时 如果则有：2. 和 的长度N1和N2不等时， 选择 为变换长度,短者进行补零达到N点。这里包括三层意思：(1) 先将x(n)进行周期延拓(2)再进行移位(3)最后取主值序列：二、序列的圆周移位1.定义一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-1 由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如

9、果把x(n)排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列 : 。2.圆周移位的含义有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。 时域循环(圆周)移位定理 频域循环(圆周)移位定理三、共轭对称性 1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量同样，有 周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为:2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量由于所以这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。 有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为:3.共轭对称特性之一证明：4.共

10、轭对称特性之二证明：可知：5.共轭对称特性之三证明：6.共轭对称特性之四证明：7.共轭对称特性之五、六8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性9.实、虚序列的对称特性 当x(n)为实序列时，根据特性之三，则 X(k)=Xep(k)又据Xep(k)的对称性： 当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则 X(k)=Xop(k)又据Xop(k)的对称性：总结：共轭对称性纯虚序列的共轭对称性实数序列的共轭对称性例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次 N点DFT运算来计算它们各自的DFT:例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3(n-2)+4 (n-3) 的

11、4点DFT。例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3(n-2)+4 (n-3) 的8点DFT。四、圆周卷积和 1.时域卷积定理 设x1(n)和x2(n)均为长度为N的有限长序列，且有： 和如果： 则： NN圆周卷积过程： 1）补零(当两序列不等长时) 2）周期延拓(有限长序列变周期序列) 3）翻褶，取主值序列(周期序列的翻褶) 4）圆周移位 5）相乘相加x(n)n0123456-1-2-3-4213213213x(n)n0123456-1-2-3-4213213213nx(-n)0123456-1-2-3-4213213213x(-n)n0123456-1-2-3-4213213

12、213例：求下面两序列的6点圆周(循环)卷积。102nx2(n)1321）补零 补到6点53451023nx1(n)141111023m4567891011-1-2-3-4-5-62)周期延拓 N=61023mx1(m)145102mx2(m)132345132132132102m34567891011-1-2-3-4-5-62)周期延拓 N=6102m34132513213267891011-1-2-3-4-5-6102m34132567891011-1-2-3-4-5-61321321023m4151167891011-1-2-3-4-5-63）翻褶，取主值序列102m132345102m

13、132345y(0)=1*1+3*1=4y(1)=2*1+1*1=31023m145y(2)=3*1+2*1+1*1=6y(3)=3*1+2*1+1*1=6y(4)=3*1+2*1+1*1=6y(5)=3*1+2*1=54）圆周移位5）相乘相加 的长度为 的长度为五、有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积它们线性卷积为 的非零区间为 的非零区间为1012n1012n3两不等式相加得1 1 1 11 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 2 3 3 2 1这也就是 不为零的区间 x1(n)的长度为N1, x2(n) 的长度为N2 ,现构造长度均为L长的序列, 即将 x1(n)

14、和x2(n)补零点;然后再对它们进行周期延拓 ，得到：2.用圆周卷积计算线性卷积圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.计算周期卷积：圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列. 可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓，其周期为L。由于 有 个非零值,所以周期L必须满足: 又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列，所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列，即：例：求下面两序列的线性卷积和4点、5点、6点、7点圆周卷积。(1) 线性卷积 L= N1+ N2-1=5+3-1=71 1 1 1 11 2 33 3 3 3 32 2 2 2 21 1 1 1 11 3 6 6 6 5 3 (2) 4点

15、圆周卷积 主值区间：0n31 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以4为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得4点圆周卷积结果。-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0) = 6+1=7x(1) = 5+3=8x(2) = 3+6=9x(3) = 6(3) 5点圆周卷积 主值区间：0n41 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以5为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得5点圆周卷积结果。-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

16、8 9 10 nx(0) = 5+1=6x(1) = 3+3=6x(2) = 6x(3) = 6x(4) = 6(4) 6点圆周卷积 主值区间：0n51 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以6为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得6点圆周卷积结果。-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0) = 3+1=4x(1) = 3x(2) = 6x(3) = 6x(4) = 6x(5) = 5(5) 7点圆周卷积 主值区间：0n6 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6

17、 5 3 将线性卷积的结果以7为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得7点圆周卷积结果。n-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(0) = 1x(1) = 3x(2) = 6x(3) = 6x(4) = 6x(5) = 5x(6) = 3补L-N1个零x(n)L点DFT补L-N2个零h(n)L点DFTL点IDFTy(n)= x(n)*h(n)z变换法DFT法LN1+N2-1小结：线性卷积求解方法时域直接求解 第六节 频域抽样定理1、频域抽样定理要研究的问题M点单位圆上取N点（频域采样）序列傅立叶变换=？离散傅立叶反变换N点2、由频域抽样恢复序列一个绝对可和的非周

18、期序列x(n)的Z变换为 由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位圆上N等份抽样,就得到对 进行反变换,并令其为 ,则 可见，由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。其周期为频域抽样点数N。所以：时域抽样造成频域周期延拓同样，频域抽样造成时域周期延拓 x(n)为无限长序列混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为M 1) NM ，不失真 2) NM， 混叠失真频率采样定理若序列长度为M，则只有当频域采样点数:时，才有 即可由频域采样X(k)不失真地恢复原信号x(n) ，否则产生时域混叠现象。3、用频域采样 表示 的内插公式4、用

19、频域采样 表示 的内插公式第七节 长序列DFT卷积计算方法1、重叠相加法 x(n)与y(n)的卷积为 h(n)长度为N，x(n)长度为无限长， x(n)取M点，且与N尽量接近重叠相加法的卷积示意图1、将h(n)补零延长到L =M+ N -1，并计算长为L的FFT， 得到 H(k)。2、分别将xk(n)补零延长到L =M+ N -1，并计算长为L的 FFT，得到 Xk(k)重叠相加法的步骤如下：3、计算 ，并求长为L的反变换，即4、将yk(n)的重叠部分相加，最后得到结果为2、重叠保留法序列分段的方法：重叠保留法分段方法示意图 输入的每段序列重叠N-1点，而每段的循环卷积的输出去掉前面N-1点只保留后面M点第八节 用DFT对模拟信号作频谱分析信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换1、对连续时间