电路分析基础：第8章 相量法

1、第8章 相量法 8.1复数8.3相量法的基础正弦量8.28.4电路定律的相量形式目录数学基础相互转换KCL、KVL方程 R、L、C的VCR方程1. 复数的表示形式8.1复数代数形式 三角形式实部ReF=a，虚部ImF=bFb+1+jao|F|指数形式根据欧拉公式e jq =cosq +jsinqFb+1+jao|F|极坐标形式共轭复数2. 复数运算一般采用代数形式则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)设 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2F1F2+1+joF1+F2-F2F1+1+joF1-F2F1+F2F2加减运算 加减运算图解平行四边形法则首尾相接一般采用指数或极坐标形式乘除运算

2、 模相乘，角相加模相除，角相减+jo+1乘除运算图解+jo+1q1F1F2q2|F2|F1q2F=F1F2q=q1+q2q1F1F2q2F1|F2|q2F=F1F2q=q1-q2乘： F1 的模被放大|F2|倍，辐角逆时针旋转q2 。除： F1 的模被缩小|F2|倍，辐角顺时针旋转q2 。旋转因子旋转因子 ejq =cosq +jsinq =1q 是一个模等于1，辐角为q的复数F ejqF+1+j0F ejq任意一个复数F乘以ejq ，等于把F逆时针旋转q角度，而模|F|保持不变 特殊旋转因子+1+j0把F 逆时针旋转90o+j, j, -1 都可以看成旋转因子把F 顺时针旋转90o把F 反向

3、两复数相等运算 若两个复数相等 F1 = F2 则必须满足两个条件:ReF1= ReF2 ，ImF1= ImF2或者 |F1| = |F2|，q1=q2一个复数方程分解成了两个实数方程例8-1:复数加减运算用代数形式:转换成指数形式:例8-1:复数乘除运算用指数或极坐标形式:1. 正弦量8.2正弦量电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称正弦量。正弦电流电路激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路称为正弦电路或交流电路。对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。正弦交流电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。研究正弦电路的意义正弦信号容易产生、传送和使用；正弦信号是一种基本信号，任

4、何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。优点电机、变压器等电气设备，在正弦交流电下具有较好的性能。正弦量对时间的导数、积分、几个同频率正弦量的加减，其结果仍是同频率的正弦量，这不仅使电路的分析计算变得简单，而且其结果还可以推广到非正弦周期电流电路中 ；瞬时值表达式i=Imcos(wt+fi) u = Umcos(wt+fu) Im振幅(最大值)2. 正弦量的三要素正弦量变化过程中所能达到的最大幅度，反映正弦量变化幅度的大小。oiw tp2p3p-p正弦量的波形图Im-Im在放大器参数中有时用峰-峰值表达。峰-峰值2Im(以电流为例)i=Imcos(wt+fi)(2) 角频率单位： ra

5、d/s相位变化的角速度，反映正弦量变化快慢。 随时间变化的角度称为正弦量的相位(相角)wT=2pT2poiw tp2p3p-p 周期T：正弦量变化一个周期所需要的时间, 单位:S 频率f ：正弦量每秒钟变化的次数，单位:Hz。在工程中，常用频率区分电路，有时也用波长（变化一次的长度）区分电路。频段名称 频段范围波段名称波长范围甚低频(VLF)330千赫( KHz )甚长波10010km低频( LF )30300千赫( KHz )长波101km中频( MF )3003000千赫( KHz ) 中波1000100m高频( HF )330兆赫( MHz ) 短波10010m甚高频(VHF)30300

6、兆赫( MHz )米波101m(3) 初相位fit=0时刻的相位，反映正弦量的计时起点，常用弧度(rad)或角度(o)表示。 i=Imcos(wt+fi)对任一正弦量初相可任意指定,但同一电路中许多相关正弦量只能对于同一计时起点来确定各自的相位 。fifioiw tp2p3p-pii1oifi1计时起点不同，初相位不同。若正最大值发生在计时起点(坐标零点)之前，则初相位为正，之后为负。一般规定fi主值范围内取值：|fi|已知正弦电流波形如图，103rad/s，写出i(t) 表达式求最大值发生的时间t1tio10050t1由于极大值发生在计时起点之后例3. 同频率正弦量的相位差设 u(t)=Um

7、cos(wt+fu), i(t)=Imcos(wt+fi)相位差 ： j = (wt+fu)- (wt+fi)= fu-fi一般规定相位差也在主值范围内取值:| | 相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。 同频正弦量之间的相位差=初相位之差，是一个与时间无关的常数j 0：u 超前 i ，或i 滞后 u ，表明u比i 先到达最大值 j 0：i 超前 u ，或u 滞后 i，表明i 比 u 先到达最大值 tu, iu ifufijo超前与滞后相位差与计时点的选取、改变无关j = fu-fij 0， u , i 同相j = ， u , i反相特殊相位关系 tu io tu io= p/

8、2：u , i 正交 tu io正弦量初相与设定的 参考方向相关,改设参考方向时,该正弦量的初相改变p,因此与其它正弦量相位差也相应改变p计算下列两正弦量的相位差。不能比较相位差例在主值范围:| | 化成同一函数比较两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。 结论化成同符号比较4. 周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，采用它们在一个周期内产生的平均效应来进行衡量和比较。有效值定义R直流IR交流 i物理意义工程中将周期性电流、电压在一个周期内产生的平均效应换算为等效的直流量，这个等效的直流量称为周期量的有效值。(相应大写字母U、I)定义电压有

9、效值：周期量的有效值=其瞬时值的平方在一个周期内积分的均方根值(有效值又叫均方根值)正弦电流、电压的有效值设 i(t)=Imcos( t+fi)有效值与最大值的关系若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V 其最大值为 Um311V Um537V同理可得正弦电压有效值与最大值的关系测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值， 如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值，因此在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。注意习题8-1(2)(6)、8-2(1)(5) 、8-7

10、、8-80. 问题的提出8.3相量法的基础由KVL列写以i为变量的微分方程：电流变量i的特解是与us (t) 同频率的正弦量推广结论:线性非时变电路在正弦激励下，各支路的电压和电流的特解（响应的强制分量）与激励是同频正弦量(多个同频率正弦激励也成立)RLC+-uCiLus (t)+-uRuL工程中将电路的这一特解状态称为正弦电流电路的稳定状态，简称正弦稳态。正弦稳态RLC+-uCiLus (t)+-i的特解是与us同频率的正弦量结论1：正弦稳态电路方程是一组同频正弦函数描述的代数方程，正弦量乘以常数、积分、微分，都不会改变电流、电压同频正弦量的特性。两个正弦量的代数和,如KCL、KVL方程运算

11、：结论2：同频正弦量的代数和运算仍得到同频正弦量同频各正弦量之间仅在有效值、初相上存在的差异和联系。在时域进行这些同频正弦函数运算十分繁复，只需确定初相位和有效值，通过借用复数表示正弦量可使正弦电路分析得到简化 ：正弦量复数变换的思想造一个复指数函数对 F(t) 取实部结论：任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复指数函数。1. 正弦量的相量表示无物理意义是个正弦量 ,有物理意义F(t) 包含了三要素：I、fi、F(t) 还可以写成复常数相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位复常数, 包含了两个要素：I , fi这个与正弦量相关的复常数即正弦量对应的相量正弦量的对应相量是一个复

12、数相量用对应上面带点的大写字母表示，区别于一般复数,也区别于正弦量的有效值同理可得正弦电压对应的相量：相量包含了其对应正弦量中的振幅（有效值）和初相位两个要素结论:任意一个正弦量都有唯一与其对应的相量。说明相量分为有效值相量和振幅相量两种: 有效值相量表示为 和 ，振幅相量表示为 和 相量只是用于表示正弦量，而不等于正弦量!例8-2:写出下列正弦电流对应相量相量可按定义直接写出统一成cos函数相量与频率无关，相量运算只能在同频正弦量之间进行-号放进cos函数在复平面上用向量表示相量的图 2.相量图fifu+1+j03. 相量法的应用同频正弦量的加减相量关系为：i1 i2 = i3结论:同频正弦

13、量的加减运算变为对应相量的加减运算例求两正弦量之和由相量反求正弦量要知w+1+j+1+j也可借助相量图计算平行四边形法则首尾相接 平移求和法则正弦量的微分、积分运算(1)微分运算 正弦量的微分是一个同频正弦量，时域内的一次微分，对应于相量域内乘以jw其结果是模增加w倍，相位比原相量超前90o对高阶导数有：(2)积分运算 正弦量的积分是一个同频正弦量，时域内的一次积分，对应于相量域内除以jw其结果是模缩小w倍，相位比原相量滞后90o对n重积分有：例8-2:写出例8-1正弦电流的微分及对应相量微分:模增加w倍，相位比原相量超前90o可以直接根据正弦量写出相量用相量表示：把时域问题变为复频域问题；把

14、与时间有关的同频正弦量微积分电路方程转换成与时间无关的复代数形式电路方程；可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。Ri(t)u(t)L+-C引入相量法的优点 正弦量相量相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法用来分析正弦稳态电路。正弦波形图相量图线性线性w1w2非线性w注意相量法实质上是一种变换。不适用1. 电阻元件VCR的相量形式相量形式：uRiRR+-UR fu 8.4电路定律的相量形式 电压电流关系设流过电阻的电流为： 根据欧姆定律得R电流电压时域关系：R+-相量模型结论电阻的电压相量和电流相量满足复数形式的欧姆定律：电阻电压和电流的有效值也满足欧姆定律：电阻的电压和电流

15、相量幅角相等，同相位：瞬时功率 波形图及相量图 iR touRpRfu=fiURIR瞬时功率以2交变，始终0，表明电阻始终吸收功率对应的相量形式： 电压电流关系设流过电感的电流为： 则L电流电压时域关系：iLuLL+-2. 电感元件VCR的相量形式jL+-相量模型结论电感的电压相量和电流相量满足类似欧姆定律的关系：电感电压和电流的有效值也满足类似欧姆定律的关系：电感电压超前电流 相位：(1)感抗的性质表示限制电流的能力；感抗和角频率成正比。wXL(2)相量表达式XL=L=2fL，称为感抗，单位： BL=-1/ L =-1/2fL， 称为感纳，单位：S 感抗和感纳pL2瞬时功率以2交变，有正有负

16、，一周期内平均功率为0，表明电感只储能不耗能。fi 波形图及相量图电压超前电流900瞬时功率 t iLouL对应的相量形式： 电压电流关系设流过电容的电流为： 则C电流电压时域关系：3. 电容元件VCR的相量形式iCuCC+-相量模型+-说明电容的电压相量和电流相量满足类似欧姆定律的关系：电容电压和电流的有效值也满足类似欧姆定律的关系：电容电压滞后电流 相位：(1)容抗的性质表示限制电流的能力；容抗和角频率成反比。(2)相量表达式容抗和容纳XC=-1/w C， 称为容抗，单位： BC = w C， 称为容纳，单位： S 0， |XC| 直流开路(隔直作用)w ，|XC|0 高频短路(旁路作用)

17、w|XC|瞬时功率 t iCouCpC瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。波形图及相量图2电压滞后电流900fifu4.线性受控源VCR的相量形式VCCS（压控电流源）相量形式：相量模型若线性受控源的控制电压或电流是正弦量，则受控源的电压或电流也是同频正弦量_uk+_+试判断下列表达式的正、误。例4. 基尔霍夫定律的相量形式同频正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算,因此在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：结论:流入任一结点的所有同频正弦电流对应相量代数和为零(KCL)；而任一回路所有支路正弦电压对应相量代数和为零(KVL) 。例8-4:LCR+ uL -uCa+-iS+ uR -bcdR+ -a+-+ -bcd画出对应的相量模型：正弦电流、电压用相量标记；电感、电容根据各自VCR相量形式分别用复数形式 和 标记。R+ -a+-+ -bcd根据元件各自的VCR相量形式求电压相量:根据KVL相量形式求解:注意：两相量相加不是有效值相加，幅角相加!R+ -a+-+ -bcd相量模型+_15Wu4H0.02Fij20W-j10W+_15W