电磁场理论课件：2-3 拉普拉斯方程

1、数学表述如下:(在每个小区Vi)(在整个区域V 的边界面S上给定,按约定,边界面法线 指向V 外)(在两种绝缘介质的分界面上)分界面法向单位矢量 由 指向 ) 或惟一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域V 中静电场分布的惟一解. 复习b）数学表示为:(在V 内)(已知)(已知)（待定）或a）数学表示为:(在V 内)(已知)(已知)或唯一性定理：满足麦克斯韦方程（或泊松方程）满足边界条件：外边界和内边界（边值关系）内边界： 1）介质 2）金属外边界：或2.3 拉普拉斯方程，分离变量法Laplaces equation, method of separate variation 基本问题：

2、电场由电势描述电势满足泊松方程+边界条件具体的工作：解泊松方程在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程拉普拉斯方程利用边界条件定解说明两点： 第一，如果考虑问题中有i 个区域（均匀分布），必须有i个相应的Laplaces equation . 第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：边界条件：导体的总电

3、荷拉普拉斯方程 分离变量法分离变量法适用条件 1. 空间 自由电荷只分布 在介质(或导体)表面， 或为点电荷。 2. 视为边界条件拉普拉斯方程泊松方程自由极化YZX二.拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式直角坐标系(1)令：带入上式：通解(2)若与z无关(3)若与y、z都无关2.柱坐标：p278 分离变量 有两个线性无关解单值性要求： ，所以 取正整数。1）2）若与z无关3）与、z无关3. 球坐标缔合勒让德函数1）若 不依赖 ,轴对称勒让德函数2）若 不依赖 球对称。P283三. 解题步骤 1. 选择坐标系和电势参考点 2.分析对称性、分区，求拉普拉斯方程通解 3. 确定常数（边界） 1）外边界

4、： 1电荷分布有限 分界面电荷有限-电势无穷远处为0 无限-取特定点为零，如原点2）内边界 1介质分界面介质界面无自由电荷接地C=0总电荷Q，密度接地C=0总电荷Q，密度2电荷分布无限导体2导体边界 例1.两无限大平行导体板，相距L，两板电势差为V ，一板接地，求两极板间的电势和电场例2. 一对接地半无限大平板，相距为b，在左端有一板电势为V（常数），求板间的电势？LXZYZXY 例1.两无限大平行导体板，相距L，两板电势差为V，一板接地，求两极板间的电势和电场LXZY解: (1) 边界为平面，选直角坐标系 下板 ，设为参考点。 (2) 分析，z=L， 与x，y无关 (3) 定常数，边界条件常

5、数，匀强场1.选坐标系，参考点2.分析对称性，分区，求通解3.定解（边界条件）例2. 一对接地半无限大平板，相距为b，在左端有一板板电势为V（常数），求板间的电势？ZXY解：1) 边界为平面，选直角坐标系，上下板接地， 取为参考点。分析: 与z无关，可得分离变量3) 定解 1.选坐标系，参考点2.分析对称性，分区，求通解3.定解（边界条件）两边同乘 并从 积分例3. 半径为a，带有均匀电荷分布的无限长圆柱导体，求导体柱外空间的电势和电场。xyz1.选坐标系，参考点2.分析对称性，分区，求通解3.定解（边界条件）xyzrO解：(1) 坐标系：圆柱坐标系。 参考点因为电荷分布在无限远，选r=a处为

6、 对称分析： 1 电荷均匀分布，轴对称，与无关。 2 导体面上电场只沿 方向，与z无关。 例3. 半径为a，带有均匀电荷分布的无限长圆柱导体，求导体柱外空间的电势和电场。1.选坐标系，参考点2.分析对称性，分区，求通解3.定解（边界条件）（3）定解： 边界(r a)(r a)例4.一半径为 a，介电常数为 的无限长电介质圆柱，柱轴沿 方向， 方向上有一外加均匀电场 ，求空间电势分布和柱面上的束缚电荷分布。1.选坐标系，参考点2.分析对称性，分区，求通解3.定解（边界条件） 解：（1）坐标系：柱坐标。 参考点：均匀场电势在无穷远处不为0，因此令 通解为： 故 中应无 项（当r=0时 无穷大） 。

7、（均匀场电势），所以（3）内边界： r=a时，界面：两边 为任意值， 前系数应相等（ ）（4）解为（5）求柱内电场： 因为极化电场会阻碍电荷运动（6）柱面束缚电荷（7）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解，或令（为什么？）例5 介电常数为的导体球，半径为R，被置于均匀外场 中，球外为真空。求电势和电荷分布。1）定坐标系，零点 球坐标 r=R时电势为零2）分析对称性，分区，求通解 轴对称，对称轴为x轴，即与无关 3）定解： 外边界 ： 内边界 ：例6 P49 介电常数为的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场 中，球外为真空。求电势分布。1.选坐标系，参考点2.分析对称性，分区，求通解3.定解（边界

8、条件）例6 P49 介电常数为的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场 中，球外为真空。求电势分布。1. 球坐标，r=0时为电势零点2.分析对称，分区，求通解具有轴对称性，取极轴z沿外电场 方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域球内、球外。两区域内都没有自由电荷，满足拉普拉斯方程通解： 比较两边系数，得3.定解边界条件：(1)(2)(3)再由 得:比较 的系数，得由此得到电势为zryx其中 QQR1R2R3例7.如图所示的半径为R1的导体球带电量为Q，和不带电的导体球壳，半径为R2、R3 。 求空间电势和球壳内外的感应电荷。例8.如图所示的半径为R1的导体球接地，和带电Q的导体球壳，半径为R2

9、、R3 。 求空间电势和球壳内外的感应电荷。1.选坐标系，参考点2.分析对称性，分区，求通解3.定解（边界条件） QQR1R2R3解：1) 坐标系：球坐标 电荷分布在有限的区域2) 求通解，分析对称性，分区。 球对称， 所以，通解为3) 求定解，边界条件。 例7.如图所示的半径为R1的导体球带电量为Q，和不带电的导体球壳，半径为R2、R3 。 求空间电势和球壳内外的感应电荷。123 导体球壳为等势体。4 导体壳上解为 4) 球壳上的感应电荷例8 P48一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1R2)，使半径R1的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。QR1R2R31. 球坐标，参考点为r=R1和r为无穷2. 对称性，分区，求通解根据题