问题72立体几何中折叠问题-2017届高三数学跨越一本线原卷版

1、2017届高三数学跨越一本线精品问题二：立体几何中折叠问题立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题，这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题 ，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，展开与折叠问题就是一个由抽象到直观 ，由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的

2、求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等一、平面图形的折叠 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系，尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起 点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征，如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据. 1.折叠后的形状判断【例1】如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形 ，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围成 正方体的是（要求：把你认为正确图形的序号都填上）

3、【分析】根据平面图形的特征,想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠.【答案】【解析】可以.把横着的小方形折起后，再折竖着的小方形，则最上方的小方形与正方体的一个侧面重合,导致正方体缺 少一个侧面;把下方的小方形折起后,则上方的小方形中的第1, 2个重合，导致正方体的底面缺少，不能折成正方体注 把中间的小方形当成正方体的底面,则右下方的小方形折囊不起来,构不成正方体.【小试牛刀】下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）010 S 9 EA.B.C,D.【例2】将图1中的等腰直角三角形 ABO斜边BC的中线折起得到空间四边形形ABCW

4、, AD与BC的位置关系是（ ）Ac Kfit J-图1图2A,相交且垂直B,相交但不垂直C.异面且垂直D,异曲但不垂直【答案】C【解析】在图1中的等腰直角三角形 ABC中，斜边上的中线 AD就是斜边上的高 与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD CD这两条线段与AM直, 面BCD所以ADL BC【小试牛刀】【2017届浙江省宁波市高三上学期期末】如图 ，在正方形ABC邛3ABCDto图2）,则在空间四边,则ADL BC折叠后如图2, AD即 ADL BD ADL CD 故 ADL平，点E,F分别为边BC,AD的中点，将 4BF沿BF所在直线进行翻折,将匚1沿DE所在直线进行翻折，在

5、翻折过程中（BECA.点A与点C在某一位置可能重合B.点A与点C的最大距离为ABC.直线AB与直线CD可能垂直D.直线AF与直线CE可能垂直3.折叠后几何体的数字特征折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等，设计问题综合、全面也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的 数量关系之间的对应.【例3】(体积问题)如图所示，等腰 ABC的底边AB = 6，6,高CD=3,点E是线段BD上异于点B, D的动点，点F在BC边上，且EF，AB ,现沿EF将 BEF折起到 PEF的位置，使PE，AE ,记BE =x, V(x)

6、表示四棱锥P ACFE的体积.C(1)求V(x)的表达式;(2)当x为何值时，V(x)取得最大值?【解析】(1)由折起的过程可知，PEL平面 ABC,S&bc =9J6, S&EF254 sBDC6 2 x12V(x)= 6x(93(2) V(x)= 3x2) ( 0 x0 ,V(x)单倜递增; 46 cx 3;6 时 v(x) 0 ,V(x)单调递减;因此x=6时,V(x)取得最大值12*；6.【小试牛刀】【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】平行四边形ABC邛,AB - BD =0,沿BD将四边 22形折起成直二面角 A-BD- C,且2 AB+BD =4,则三棱锥A BCD的外接球

7、的表面积为（）A. B .一 C . 4n D .一【例4】（空间角问题）如左图，矩形ABCD中，AB =12, AD =6, E、F分别为CD、AB边上的点，且DE =3, BF =4,将ABCE沿BE折起至APBE位置（如右图所示），连结AP、EF、PF ,其中PF -2,5.（I）求证：PF，平面ABED ;（n）求直线AP与平面PEF所成角的正弦值.【解析】（I）由翻折不变性可知，PB = BC = 6, PE = CE = 9,在 APBF 中，PF2 + BF2 =20 + 16=36 = PB2,所以 PF _L BF在图 1 中，易得 EF =62 +(12-3-4 )2 =屈

8、,在 APEF 中，EF2 +PF2 =61 +20=81 = PE2,所以 PF _L EF又侨 EF = F , BF=平面ABED , EF仁平面ABED ,所以PF _L平面ABED .解法二福(n)方法一：以D为原点，建立空间直角坐标系 D xyz如图所示，则A(6,0,0%P(6,8,2J5), E (0,3,0 ), F (6,8,0 ), )ZAP = (0,8,2；577P =(0,0, 2vfT =(6,5,0 ),设平面PEF的法向量为n = (x,y,z),则n F二0n EF =0，即12& z = 0 ,解得6x 5y = 05x = -6yz = 0令 y = -

9、6，得 n=(5,6,0),设直线AP与平面PEF所成角为日,则sin所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为8,1281 .427方法二：过点A作AH _L EF于H ,由（I）知PF _L平面ABED ,而AH仁平面ABED所以 PF 1AH ,又付 PF = F , EF u 平面 PEF , PF u 平面 PEF ,所以AH _L平面PEF ,所以ZAPH为直线AP与平面PEF所成的角.在 RtMPF 中，AP = JAF2 +PF2 =j64 + 20 = 2721AF AD 48在AAEF中，由等面积公式得 AH =:8EF . 61AH1638.1281在 Rt APH 中，s

10、in APH = =AP.61 2,21427所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为8,1281 .427【点评】折叠问题分析求解两原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变【小试牛刀】【2017届陕西省西安市高三模拟(一)】如图：在直角梯形RBCD中1=如图G,H分别为6 口处,工AB匚=对，AB = BC = 2 ,匚E 1 AD于E ,把ADE匚沿CE折至1 口EC的位置，使aA = 2/DE*的中点.(1)求证：GH1平面DC； (2)求平面口AB与平面口CE的夹角.Df二、几何体的展开几何体表面展开问题是折叠问题

11、的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面距离的问题 ，解题时不妨将它展开成平面图形试一试 .展开后形状的判断【例5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（）解析：这是图模型，在右图中，把中间的四个正方形围起来彳“前后左右”四个面 ，有“空心圆”的正方形 做“上面”，显然是正方体 C的展形图，故选（C）.【小试牛刀】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面.则“祝”、“你”、前”分别表示正方体的.展开后的数字特

12、征一一表面上的最短距离问题【例6】如图，已知圆柱体底面圆的半径为 2,高为2, AB, CD分别是两底面的直径,AD, BC是母线.若 五只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短路线的长度.【解析】如图，将圆柱的侧面展尹2其中AB为底面周长的一半,即AB =pr =p x =2, AD =2 .P则小虫爬行的最短路线为线段AC .在矩形 ABCD 中，AC =JAB2 +BC2 72+2? = 242 .所以小虫爬行的最短路线长度为22 .【点评】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开，将其转化为平面内的最短距离 ，利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可

13、能有多种展开图 ，如长方体的表面展开图等，要把不 同展开图中的最短距离进行比较 ，找出其中的最小值.【小试牛刀】如图，在长方体中，AB =3,BC =4,CC1 =5,求沿着长方体表面从 A到Ci的最短路线长.【迁移运用】1.12017辽宁省六校协作体下学期期初】已知一个圆柱的底面半径和高分别为和hjNZnr,侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的 2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是（）1 + n 1 + 2n 1 +1 + 4nA. B.C. 2il D. 2il2.12017山东省烟台市上学期期末】已知边长为a的菱形ABCD中，/ABC:6。，将该菱形沿对角线 前折起，使BD =3

14、则三棱锥O-ABC的体积为（）: B. , C. 1 D.3.12017河南省信阳市上学期期末教学质量监测】已知梯形匚EPD如下图所示，其中PD=8,CE = Ef为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形,现沿AB进行折叠，使得平面PABE 1平面ABCD ,得到如图所示的几何体.已知当点F满足* =时，平面DEF 1平面PCE,则A的值为（）PA. ： B. ： C. L D.4.12016学年湖南师大附中第三次检测】如图是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论错误的是（）AB与EF所成角是90,1C.三黏t C -DNE的体积是16D. EF与MC是异面直线5.12016

15、学年四川省成都七中】 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A, B, C, D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）度A. 90B . 60 C . 45 D . 30.【2017届湖北省武汉市武昌区高三1月调研考试】在矩形AKD中，ABmBC,现将AABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线注已与直线BD垂直；存在某个位置，使得直线AB与直线匚D垂直；存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）.【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】表面积为 2s的球面

16、上有四点，工且MB匚是边长为珀的 等边三角形，若平面在侧棱长为 人&的正三棱锥5ABC中，3SB =2B5C = 4sA = 40,过A作截面AEF ,交5B于E , 交算于F,则截面AEF周长的最小值为 .如图所示，在四边形 ABCD中，AB=AD=CD = 1,BD = J2,BD _L CD ,将四边形 ABCD沿对角线BD折成四面体A-BCD ,使平面A/BD _L平面BCD,则下列结论正确的是 .AAC _L BD ;NBAC =90。；CA与平面ABD所成的角为30 口；（4）四面体 A BCD的体积为一.69.12016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】如图，矩形ABCD中，

17、AB = 2AD , E为边AB的中点，将MDE沿直线DE翻折成&ADE ,若M为线段AC的中点，则在&ADE翻折过程中，下面四个选项中正确的是（填写所有的正确选项）(1) | BM |是定值(2)点M在某个球面上运动(3)存在某个位置，使DE _L AC(4)存在某个位置，使MB/平面A,DE10.12016-2017学年辽宁省庄河市高级中学高一上学期期末】如图 ，已知菱形AK口的边长为6/BAD = 6。二AC门BD =。，将菱形AB8沿对角线AC折起，得到三棱锥B 48 ,点M是棱BC的中点，DM = 3超.(1)求证：0M/平面ABO；(2)求证：平面AH匚1平面MDO.12.1201

18、7安徽省黄山市上学期期末质量检测】如图1,在对 ABC中，RBC二60。3口是斜边B匚上的高，沿A口将ABC折成60。的二面角B-Ad-C.如图2.iSi(1)证明：平面ABD J平面BCD；(2)在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角.13.12017辽宁省六校协作体下学期期初】如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，EC/AP,AB_LBC, 8 1AP,RD=DC = PD = 2,E、F、石分别为线段PJ PD、B匚的中点，现将APDC折起，使平 面PDC_L 平面 AB8 (图(2). (1)求证：平面EFG”平面PAH；(2)若点Q是线段PB的中点,求证：PC 1平面ADQ.(3)求三棱锥JEF