向量代数与空间解析几何第四节空间曲面与空间曲线课件

1、第四节 空间曲面与空间曲线一 曲面方程的概念二 曲线方程的概念三 二次曲面的截痕法1第1页，共38页。水桶的表面、台灯的罩子面等曲面方程的定义：曲面的实例：1 曲面方程的定义如果曲面与三元方程有下述关系：(1) 曲面上任一点的坐标都满足方程；上的点的坐标都不满足方程；（2）不在曲面那么，方程就叫做曲面的方程，就叫做方程的图形而曲面一 曲面方程的概念2第2页，共38页。解根据题意有所求方程为例1 求与原点及的距离之比为的点的全体所组成的曲面方程.设是曲面上任一点，3第3页，共38页。根据题意有化简得所求方程解例2 已知求线段面的方程.的垂直平分设是所求曲面上任一点，4第4页，共38页。根据题意有

2、图形上不封顶，下封底解例3 方程 的图形是怎样的？用平面去截图形得圆：当平面上下移动时，得到一系列圆, 的增大圆心在半径为半径随而增大.5第5页，共38页。以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程6第6页，共38页。(1) 球面根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为设球心在点半径为下面建立球面方程.2 几种常见的曲面设是球面上任一点，(球面方程的标准式)7第7页，共38页。将方程（1）展开得由此可见球面方程的特点1) 是的二次方程2）的系数为1（或相等）3）不含项(球面方

3、程的一般式)球面方程又可表示为8第8页，共38页。定义(2) 柱面并沿定曲线所形成的曲面称为柱面.移动的直线柱面这条定曲线叫的准线，平行于定直线叫母线.柱面的动直线9第9页，共38页。下面建立母线平行于轴，准线为平面曲线的柱面方程。设为柱面上任意一点，过作平行轴的直线交平面曲线上的点因此将代入得柱面方程由于在平面曲线上，10第10页，共38页。从柱面方程看柱面的特征： 只含而缺的方程系中表示母线平行于在空间直角坐标轴的柱面， 只含而缺的方程系中表示母线平行于面上在空间直角坐标曲线轴的柱面，其准线为 只含而缺的方程系中表示母线平行于面上在空间直角坐标曲线轴的柱面，其准线为面上曲线其准线为11第1

4、1页，共38页。柱面举例母线平行于轴的椭圆柱面轴的平面母线平行于轴的抛物柱面母线平行于12第12页，共38页。轴的双曲柱面母线平行于13第13页，共38页。定义 一条平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.(3) 旋转曲面线这条定直线叫旋转曲面的轴这条定直旋转轴14第14页，共38页。求由平面曲线绕轴旋转一周所得的旋转面方程。设旋转面上任意一点则是由平面的曲线绕上轴旋转而得的，一点将上式代入得方程面上曲线绕轴的旋转曲面方程.15第15页，共38页。同理：坐标面上的已知曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为坐标面上的已知曲线绕一周的旋转曲面方程为轴旋转16第16页，共38页。

5、 例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程旋转双曲面1）双曲线分别绕轴和轴；绕轴旋转绕轴旋转17第17页，共38页。旋转椭球面旋转抛物面2）绕轴；面上椭圆3）绕轴；面上抛物线18第18页，共38页。4）面上直线圆锥面绕轴；19第19页，共38页。(4) 锥面通过定点动直线沿定曲线移动所形成的曲面称为锥面，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。称为锥面的母线，动直线20第20页，共38页。例5 建立以椭圆为准线，坐标原点为顶点的锥面方程。解 设点 锥面 上任意一点， 过点 的母线交椭圆于点由锥面方程为椭圆锥面21第21页，共38页。空间曲线的一般方程 曲线上点的坐标都满足

6、方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上点的坐标不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：1 空间曲线的一般方程 二 曲线方程的概念22第22页，共38页。例1 方程组解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.表示怎样的曲线？23第23页，共38页。空间曲线的参数方程2 空间曲线的参数方程当给定时，就得到曲线上的一个点随着参数的变化可得到曲线上的全部点.24第24页，共38页。螺旋线的参数方程取时间t为参数，解例2 如果空间一点在圆柱面出发，以角速度绕轴旋转，沿平行轴的正方向上升（其中都是常数），构成的图形叫做螺旋线试建立其参数方程同时又以线速度于那么点在面的投影动点从点出发，经

7、过t时间，运动到点,上从点25第25页，共38页。螺旋线的参数方程还可以写为例3 将曲线方程化为参数式方程。解将代入得参数式方程为26第26页，共38页。以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：3 空间曲线在坐标面上的投影消去变量后得：设空间曲线的一般方程：称此曲面为曲线的投影柱面关于称曲线为曲线在的投影曲线。27第27页，共38页。类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线,消去得曲线的投影柱面：关于面上的投影曲线,消去得曲线的投影柱面：关于28第28页，共38页。例4 求曲线解在坐标面上的投影.（1）消去变量后得关于的投影柱面在面上的投影为29第29页，共3

8、8页。（2）因为曲线在平面上，所以关于面上的投影柱面为面上的投影为线段.在（3）同理关于面上的投影柱面面上的投影为在30第30页，共38页。截线方程为解例5 求抛物面与平面 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.（1）消去得投影（2）消去得投影（3）消去得投影31第31页，共38页。例6解半球面和锥面的交线为一个圆,32第32页，共38页。三 二次曲面的截痕法二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之二次曲面 相应地三元一次方程所表示的曲面（平面）被称为一次曲面讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面33第33页，共38页。1 椭球面椭球面与平面的交线为椭圆椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.同理与平面 和 的交线也是椭圆.34第34页，共38页。椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆 绕 轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的区别：与平面 的交线为圆.截面上圆的方程球面35第35页，共38页。2 抛物面（ 与 同号）椭圆抛物面用截痕法