概率论的基础知识345学分课件

1、概率与统计 开课系：理学院 统计与金融数学系国家精品课程主页: http:/gltj教师: 陆中胜E-mail: 第1页，共76页。教材：概率论与数理统计刘力维 等编高等教育出版社 2010参考书：概率论与数理统计浙江大学 盛骤等编高等教育出版社 第2页，共76页。自然现象分类确定性现象:1、磁铁的同性相斥,异性相吸2、液体在达到沸点时就会沸腾不确定性现象:1、抛硬币猜正反面2、某一时刻新街口等车的人数3、某个教室在一天中的某个时刻的学生数第3页，共76页。序言概率论是研究什么的？随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。不确定性与统计规律性的统

2、一概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学 第4页，共76页。 1、 随机事件及其运算 2、古典概型 3、概率与频率 4、条件概率 5、事件的独立性第一章 概率论的基础知识第5页，共76页。1.1 随机事件及其运算一、随机试验对随机现象的观察，称为随机试验。简称试验。随机试验的特点1.可在相同条件下重复进行； 2.试验结果可能不止一个,但能明确所有的可能结果;3.试验前无法确定是哪个结果会出现。随机试验可表为E第6页，共76页。随机试验的例E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面, 观察正反面出现的情况;E2: 将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连

3、抛三次，观察正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，观察可能出现的点数；E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重 。随机事件第7页，共76页。二、样本空间 1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S（ ） . 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e （ ）. 3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,记为e （ ）. 请给出E1-E7的样本空间第8页，共76页。试验中可能出现也可能不出现的情况叫“随机事件”， 简称“事件” 。记作A、B、C等。 定义注任何事件均对应着样本

4、空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素三、随机事件样本空间的子集称为随机事件。 定义第9页，共76页。例1E4: 掷一颗骰子，考察可能出现的点数。 S4=1,2,3,4,5,6; A=“掷出偶数点” B=“掷出大于4的点” =2，4，6 =5，6 C=“掷出奇数点”=1，3，5几个特殊事件: 必然事件 、不可能事件、基本事件e第10页，共76页。四、事件间的关系1.包含关系AB “A发生必导致B发生”。 SAB2.相等关系 AB AB且BA第11页，共76页。3n个事件A1, A2, An至少有一个发生 发生3.和（并）事件：“事件A与B至少有一个发生”AB发生第12页

5、，共76页。4. 积（交）事件:A与B同时发生 ABAB发生4n个事件A1, A2, An同时发生 A1A2An发生第13页，共76页。5.差事件：AB称为A与B的差事件。AB发生 事件A发生而B不发生何时A-B=? 何时A-B=A？第14页，共76页。6 互不相容（互斥）SBA7 对立事件 （逆事件） SAA与B互斥表示事件A与B不可能同时发生。A与B互为逆事件. 表示A,B不可能同时发生，但必有一个发生。第15页，共76页。事件与集合对应关系类比 概率论 集合 样本空间 全集 样本点 元素 事件 子集 事件A发生 eA 事件A不发生 eA 必然事件 全集 不可能事件 空集 事件A发生导致事

6、件B发生 AB第16页，共76页。1、交换律：ABBA，ABBA2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、德.摩根(De Morgan)律： 五、事件的运算交变并，并变交，最后加补第17页，共76页。甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：例2作业1.2可参照此例题第18页，共76页。1.2 古典概型 从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性。P（A）应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率

7、为多少？出现单数点的概率为多少？第19页，共76页。定义：若某试验E满足1.有限性：样本空间Se1, e 2 , , e n ;2.等可能性：（公认）P(e1 )=P(e 2)=P(e n ). 则称E为古典概型也叫等可能概型。1.2.1.古典概型与概率第20页，共76页。设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有P(A)具有如下性质：(1) 0 P(A) 1； 非负性(2) P(S)1； P( )=0 规范性(3) AB，则 P( A B ) P(A) P(B) 有限可加性古典概型中的概率 :第21页，共76页。例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概

8、率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?N(S)= NHHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT=8N(A)= NHHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT=7解:设A至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩，以T表示某个孩子是女孩，则第22页，共76页。1.2.2 古典概型的几类基本问题两个原理与排列与组合乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。第23页，共76页。有放回（重复）排列：从

9、含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，nnnn共有nk种排列方式.第24页，共76页。无放回（重复）排列：从含有n个元素的集合中随 机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.nn-1n-2n-k+1第25页，共76页。组合一：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有种取法.第26页，共76页。组合二 ：把n个球随机地分成m组(n m)，要求同时满足第 i 组恰有ni个球，i=1,m，共有种取法.第27页，共76页。例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红

10、一白的概率。解:设事件A为取到一红一白答:取到一红一白的概率为3/51、抽球问题第28页，共76页。一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是已知同上例，求至少有一只白球的概率？解：令 B = “至少有一只白球” 则： N(B)= 超几何分布第29页，共76页。例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，每盒装球数目不限，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）只空一盒的概率是多少？ 解:设A=“每盒恰有一球”, B=“只空一盒”2、 分球入盒问题作业2.5可参照此例题第30页，共76页。一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有

11、一球的概率是： 有八人，问至少有两个人的出生月份相同的概率有多大？某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？第31页，共76页。例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组3、分组问题作业2.6可参照此例题第32页，共76页。例4：从1，2，3，4，5诸数中，任取3个排成自左向右的次序，求： （1） “所得三位数是偶数”的概率？ （2） “所得三位数不小于200”的概率？解： 4、 随机取数问题第33页，共76页。例5 从1到

12、200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率解：设（1）（2）（3）所求的事件分别为A、B、CN(B)=200/8=25 N(C)=200/24=8P（A）= 33/200 P（B）= 1/8 P（C）=1/25(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25N(S)=200N(A)=200/6=33第34页，共76页。例6：袋中有 a 只白球，b 只红球，依次将球一只只摸出，不放回，求第 k 次摸出白球的概率？解： 设想 a+b 只球进行编号，将 a+b 只球顺次排列在 a+

13、b 个 位置上。 令 A=“第 k 次摸到白球” 则 N(S) = (a+b)! N(A) = Ca1 (a+b-1)! 所以 P(A) = a (a+b-1)!/(a+b)! = a/(a+b)5、 抽签问题第35页，共76页。 某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，P（A）=？定义:事件A在n次重复试验中出现nA(频数）次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A) nA/n1.3 频率与概率第36页，共76页。频率的性质0 fn(A) 1；(2) fn(S)1； fn( )=0(3) 可加性：若A1,A2,Ak两两不相容，则 fn(A1A2

14、Ak) fn(A1) +fn(Ak).(4) 随机波动性。(5) 当n充分大时，具有稳定性。第37页，共76页。历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时,出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005第38页，共76页。实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率. 此为概率的统计定义.概率是频率的稳定值;频率

15、是概率的反映, 用频率去解释概率.例如: P(A)=0.8,则应理解为在观察A而做的2000次试验中,事件A的出现次数应在1600次左右.两者的关系第39页，共76页。概率的公理化定义1.定义：若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1) 非负性：P(A) 0；(2) 规范性（归一性）：P(S)1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。第40页，共76页。(2) 有限可加性：设A

16、1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ +P(An); (4) 事件差： A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB) (3) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)P(B) (1)概率的性质第41页，共76页。(5) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形. 例1解: (6) 互补性第42页，共76页。例2某市有甲,乙,丙三种报纸, 订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%, 其中

17、有10%的人同时定甲、乙两种报纸. 没有人同时订甲丙或乙丙报纸. 求从该市任选一人, 他至少订有一种报纸的概率.解: 设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报P(A)=30% , P(B)=30% , P(C)=30%P(AB)=10% ,P(AC)=0 , P(BC)=0, P(ABC)=0第43页，共76页。例3 在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数既不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。解:设A取到的数能被2整除; B-取到的数能被3整除第44页，共76页。 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，

18、十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二 个人取得红球的概率是多少？1.4 条件概率第45页，共76页。若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？第46页，共76页。一、条件概率例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率解：设A第一次取到红球,B第二次取到红球

19、这就是利用缩减的样本空间来做的第47页，共76页。S=ABA第一次取到红球,B第二次取到红球第48页，共76页。 显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有NA个样本点,AB含有NAB个样本点，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率一般地，设A、B是S中的两个事件，则 第49页，共76页。“条件概率”是“概率”吗？条件概率的性质:(P(A) 0)(1) P(B|A) 0P(S|A)=1对一列两两互不相容的事件 A1, A2 , , 有 P( A1 A2 |A ) P(A1|A) P(A2|A)+ 第50页，共76页。例2 设A,B,C是样本空间S中的三个事件,且P(

20、C)0,试用概率的运算性质证明:P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(AB|C)第51页，共76页。例3. 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010解：设A从盒中随机取到一只红球. B从盒中随机取到一只新球. 这就是利用缩减的样本空间来做的第52页，共76页。设A、B S，P（A）0,则 P(AB)P(A)P(B|A)上式就称为事件A、B的概率乘法公式。 上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)

21、P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1) 二、乘法公式第53页，共76页。例4 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，i=1,2,3,4,则作业4.4可参照此例题第54页，共76页。解：令 Ai = “第 i 次抽到合格品.” i = 1, 2, 3 则所求的事件为： 例5 一批零件共100件，其中有10件次品，依次做不放回的抽取三次，求第三次才抽到合格品的概率？第55页，共76页。定义： 事件组A1，A2，An (n

22、可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：A1A2AnB三、全概率公式与贝叶斯公式第56页，共76页。例：S=南理工全体本科生 Ai=“南理工本科i年级学生” i=1,2,3,4 “南理工本科生中男学生” “南理工本科生中女学生”概率论意义：若A1，A2，An是S的一个划分，则， A1，A2，An任意两个不可能同时发生但必有一个发生。第57页，共76页。定理1、设A1，, An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B S有 上式称为全概率公式。第58页，共76页。例6. 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三

23、家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。第59页，共76页。例7 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球； A2从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球；甲乙作业4.5可参照此例题第60页，共76页。例8 在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴4个队争夺决赛权，半决赛方式是中国对古巴，日本对美国，并且中国队已经战胜古巴队，现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分别为0.9与0.4，而日本

24、队战胜美国队的概率为0.5，试问中国队取得冠军的可能性有多大？解：设A1日本队胜美国队； A2美国队胜日本队； B中国队取得冠军；第61页，共76页。若已知中国队获得了冠军，问中国队是与美国队决赛而获胜的概率是多少？解:定理2 设A1，, An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B, P(B)0,有 上式称为贝叶斯公式。第62页，共76页。例9 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只。其中每箱仅可能含0，1，2只次品，其相应的概率分别为0.8,0.1, 0.1。某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.若已知顾客买下了一箱，则这一箱含有一个次品的概率是多少？

25、解:设B:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. A0, A1, A2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1由贝叶斯公式:第63页，共76页。例10数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号，则发端发的是0的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)

26、AB(P+0.067解：设A发射端发射0， B接收端接收到一个“1”的信号0 (0.55)0 1 不清(0.9)(0.05)(0.05)1 (0.45)1 0 不清(0.85)(0.05)(0.1)第64页，共76页。条件概率 缩减的样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 条件概率 小 结有限可加性 第65页，共76页。袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球,令 Ak = “第k个人摸到红球”，K=1,2若摸后不放回：若摸后放回：结论：若摸后放回, A1发生与否对A2不产生影响。1.5 事件的独立性第66页，共76页。设A、B是两事件，若 P(AB)P(A)P

27、(B)则称事件A与B相互独立, 简称独立。 若P(A) 0，上式等价于： P(B|A)P(B) 一、两事件独立第67页，共76页。例1 、从一副52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？第68页，共76页。定理：以下四种情形等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。证明:(1)(2) 因为事件A、B相互独立,故P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)1-P(A)=P(B)P(A)故A与B相互独立.第69页，共76页。二、多个事件的独立定