非线性系统分析

1、第八章非线性系统分析8-1概述、教学目的和要求了解研究非线性系统的意义、方法，常见非线性特性种类。非线性概念，常见非线性特性。三、教学内容：1非线性系统概述非线性系统运动的规律，其形式多样，线性系统只是一种近似描述。（1）非线性系统特征一不满足迭加原理1）稳定性：平衡点可能不只一个，系统的稳定性与系统结构参数、 初始 条件及输入有关。2）自由运动形式，与初条件，输入大小有关。3）自振，自振是非线性系统特有的运动形式， 它是在一定条件下，受初 始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。（2）非线性系统研究方法1）小扰动线性化处理（第二章介绍）2）相平面法-分析二阶非线性系统运动形式3）描述函数法-

2、分析非线性系统的稳定性研究及自振。2、常见非线性因素对系统运动特性的影响：1）死区：（如：水表，电表，肌肉电特性等等）等被放大倍数阶加响应（与初值大小有关j饱和对系统运动特性的影响：b%J （原来系统稳定，此时系 统一定稳定）进入饱和后等效K；振荡性J（原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 限制跟踪速度，跟踪误差，快速性J死区对系统运动特性的影响:ess （跟踪阶跃信号有稳态误 差），能滤去小幅值噪 声，提高抗干扰能力振荡性J,仃 J原来不稳定的系统，此时可能稳定（初始扰 动不大时）可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。2）饱和（如运算放大器，学习效率等等）3）间隙：（如齿轮

3、，磁性体的磁带特性等）间隙对系统影响:1）间隙宽度有死区的特点-使essJ2）相当于一个延迟p时间的延迟环节，t。 振荡性减小间隙的因素的方法:（1）提高齿轮精度；（2）采用双片齿轮；（3）用校正装置补偿。5）摩擦（如手指擦纸） 摩擦引起慢爬现象的机理1）、良好润滑改善慢变化过程平稳性的方法2）、采用干扰补偿3）、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性摩擦对系统运动的影响：影响系统慢速运动的平稳性6）继电特性:理赵超电传性对系统运动的影响:1)、理想继电特性 等效 K：0 ,则描述系统自由运动的微分方 程为：*,2A (55切njs(s* 2*8 n)J t JJnRCC 2 nC n C -0求出特

4、征根为：Sl.2 = - n - j n 1 _ 2dC -2 nC- n C相轨迹方程:为一二：dccdc令得等倾线方程2-2 nc - n c2即c = 一 , n c = c2- n 工2 n = -式中 2曝n 是等倾线的斜率。设不同的a求出不同的B绘出若干等倾 线，并在等倾线标出表示相轨迹切线斜率的 a值短线，形成相轨迹的切线方向场， 然后从不同的初始条件出发绘制出相轨迹。.奇点类型dx 0 Ct =奇点： dx 0的点叫奇点，相轨迹由奇点离开或趋近。在奇点处，x =0, x = 0即系统处于静止状态，不再运动。不满足x = 0，x= 0的点叫普通点。奇点可分成六种类型。1）.稳定焦

5、点：当特征根为一对具有负实部的共腕交根时，如图8 9和图8 1 1所示，对应于0己1;2）不稳定焦点：当特征根为一对具有正实部的共腕复根时，如图8 1 2所示，对应于1 己0；3）稳定节点：特征根具有两个负实根，如图8 1 3和图8 1 4所示， 对应于 己1；4）不稳定节点：特征根具有两个正实根，如图8 1 5所示，对应于 己1；5）中心点：特征根为一对虚根，如图8 1 6所示，对应于 己=0;6）鞍点：特征根为一对正、负的实根，如图8 1 7所示，对应于正反馈系统； 线性二阶系统只有一个平衡点，故只有一个奇点。如果系统的相轨迹入已知，根 据图根据平衡状态的类型，从而分析出系统的运动规律。奇

6、点为型稳定焦点不黠定焦点稳定节点不稳定节点对于非线性系统可能有多个奇点。确定出奇点后，如何确定奇点附近相轨迹 的形状，近而得到系统性能的信息呢？设微分方程：x= f(x,x)所描述的是非线性系统，只要f(x,x)是解析的，即只在奇点附近很小的区域内, 将其线性化处理f (x,x) = f(X0X0) + cf(x,x) X = X0(X X0)+cXf(x, x)：(x - Xo).X式中(X0,Xo)为奇点略去高次项，只取一次近似式，即得奇点附近的增量方程:f (x, x)X 二一-Xo X:f (X,x):x因为在奇点处，X = 0, X = f (x, X) = 0 ,所以上式中x= f

7、(x, X) - f(X0X0)= f (x, x)X = X - X0X = X _ X0 = X：f(x, x)X 二Xx将上式写成：f (X, x)L,X这样即可求出奇点附近相轨迹的形状。应用线性二阶系统的结果，可以确定 出奇点的类型。并知道它在奇点附近具有什么样的性质。例8-2已知非线性系统的微分方程式为 X + 0.5x + 2x + X2 = 0,试求奇点, 并绘制出相平面图。2dx - 0.5x - 2x - x解：dxxdx 0令一 一dx 0由 x = 0和0.5x - 2x - x2 =0得奇点 2 = 0, 2 = 0,X2 - -2, X2 =0因x = f (x, x

8、)=一0.5x - 2x - x210,0 =-2-2x = -2于（x,x）,x（0,0）= 一 5开（x, x）.x2。= 一2 一 2x = 2f （x, x）（20） = -。5于是在奇点(0,0)的邻域内，可得线性化方程 x+ 0.5x+2x= 0特征根为&,2 = -0.25 j1.398，故该奇点为稳定焦点；在奇点(一2, 0)的邻域内，得线性化方程 x+ 0.5x+ 2x= 0特征根为Si =1.19和S2 = -1.69，该奇点为鞍点据此分析可以绘出大致的相轨迹图形，如图右所示。.奇线奇线就是特殊的相轨迹，最常见的是极限环。极限环所对应的是系统的自振 现象，在相平面上表现为一

9、条孤立的封闭曲线。 它把相平面分成环内和环外两不 分，内外的相轨迹可能是趋近它，也可能是离开它。因此根据这一情况可以把极 限环分为不同的类型(1)稳定极限环当tT七时，环内外的相轨迹都卷向极限环。 环内的 相轨迹发散至极限环，为不稳定区域。环外的相轨迹收敛 于极限环，为稳定区域。系统的运动为稳定的等幅持续震 荡，对这种系统希望环越小越好，以使震荡变小或在允许 范围内，如图所示(2)不稳定极限环当t-*笛 时，环内外的相轨迹都卷离极限环, 称不稳定极限环，如图右所示。11(3)半稳定极限环极限环内外的相轨迹其中之一离开极限环，另一条卷向极限环，如图所示。(b).非线性系统的相平面分析对于非线性系

10、统，分析时可根据非线性的特性，将其分作线性化，这将把相 平面分成若干个线性区域，在个区域内在区域内可以用线性微分方程来研究个分 区的分界处相轨迹发生转换，通常把这种分界线称为开关线或转换线。在分区绘 制相轨迹时首先要确定奇点的位置和类型每个区域存在一个奇点如果求出奇点 满足在本区域内，称为实奇点这 表明该 区域的相轨迹可以汇集于实奇点；如果 奇点落在本区域之外，则称为虚奇点这时该区域的相轨迹不可能汇集于虚奇点， 辨明虚实奇点对正确分析系统的运动是非常重要的。教材中分别讨论了几种非成性系统，特别是具有饱和的这一种。作业：8-108-3描述函数法一、目的掌握描述函数概念、常见描述函数及用描述函数分

11、析系统的方法。二、重点描述函数法。三、教学内容引入：描述函数法是P.J.Daniel在1940年首先提出来的，其基本思想是：在一 定的假设条件下，将非线性环节在正弦信号作用下的输出用一次谐波分量来近的 代替，并导出非线性环节的等效近似频率特性，即描过函数。这时，非线性系统 就等效为一个线性系统，并引用线性系统理论中的频率特性法对系统在频域中进12 行分析。描过函数法主要用来分析在无外作用信号(即系统输入口)=0)的情况下，非线性系统的稳定性和自振问题。 一般情况下都能给出比较满意的结果。 与相平 面法相比，不受系统阶次的限制。对系统的初步分析和设计十分方便， 因而获得 广泛的应用。但它是一种近

12、似的分析计算方法，其应用有一定的限制条件。另外, 它只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时间响应的确切信息。1.描述函数的基本概念对非线性环节输入正弦信号例：对于理想的继电特性输出y(t),可以把周期信号展开成付利叶级数：Q0y(t) = A0 -(Apcosn t Bn sin n t)n 1oO二A 一 二 ynsin(n t )n 112：-,其中：Ao =2T 0 y(t)d( t)1 2 二Any(t)cosn td( t)二 01 2 二Bn = y(t)sin n td ( t)n 二0yn = A2 B2n = arctg An对于y(t)中的基波分量(n=1)有：y(t)

13、 = A cos t B sin t = y sin( t 1)1 21 22Z2其中：A =y(t)costd(t) , B1 = y(t)sintdt), y1=jA+B1 ,二0 01 = arctg 例：对理想继电特性输入中，基波分量可以如下求出：由理想继电特性的对称性，可以确定 A0=0。由y(t)的奇函数特性可以确定A = 013f 12 二B1y(t)sin td( t)二 04底2 y(t )sln td ( t)二04M r J 4M TOC o 1-5 h z - cos t(2 =jijiA10c1 = arctg - = arctg - = 0B1B14M .y1(t)

14、 = A cos t B sin t = 0 sin t0ay(t); A 、yn sinn tn =44M TOC o 1-5 h z =0y1(t) y2(t)III1 .八 1 . _. ,1 ,，sin t sin3 t sin5 t I sinn t 35n由上分析可知，而在各次谐波分量中，基波分量最能表征y(t)的特征。非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。为此，定义正弦函信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性 环节的描述函数，用N (A)表示N(A) =|N(A) e*(A)描述函数一一从线性系统频率特性的角度来描述非线性特性的

15、一种函数。描述函数是非线性环节的“频率特性”，是非线性特性的谐波线性化，线 性系统频率特性是非线性系统描述函数的特例。2、常见非线性特性的描述函数 1)死区特性的描述函数设输入为x(t) = Asint ,则输出为y=，00t %冗 k(Asint-A% t 2A% =arcsin(即当矶=91 时，y(t)= A), A由于死区特性是单值奇对称的，故y(t)是奇函数，所以A1=0,91 = 0。因y(t)14具有半波和四分之一波对称，故B可以按下式计算：1 2 二4 二B1 = y(t) sin td( t) 2 k( Asin t - ) sin td ( t) 二0二, r4kAJI2s

16、in2 td( t)4kjsin td ( t)4kA sin2,tIL 24j jiI 4 k2代兀Lcosot. 2中i必三1sin21二 14242 kAJIfA 2 2A I7r 二)-TV (A)2kA 二一一-arcsin_2N(A)4=2k : -arcsin- -. 1 - ()A A . A21_2(A)当%定0时,3、这时可以忽略死区的影响。非线性系统的简化(1)非线性特性的并联；(2)非线性特性的串联；(3)非线性部分的等效变化154、用描述函数分析非线性系统描述函数法是专门研究一类非线性系统稳定性及其自振问题的方法。1.描述函数分析法的基本思想假设一个非线性系统满足以下

17、三个条件：,1)、可以化为如右图的形式；12)、N(X)特性的输入y(当x = Xsin由时)，基波分量幅值最大；3)、G(j8)是最小相角系统，且具有较好的低通滤波特性。(NaM)N(x)的输出y(t)经G(j0)的滤波处理c(t)信号近似为一正弦信号，这样就可以近似把y(t)用其基波信号来代替，用线性系统频率分析法的思想来研究系统稳 定性问题。描述函数法主要用于非线性系统的运动稳定性分析，极限环分析以及确定稳 定极限环的振幅和频率。设系统可以用图8 3 8所示的结构图表示。 因为是经过虑波线性化的等效线性环节，可以看成是一个具有实数或复数增益的放大环节来处理。于是非线性 系统可以看成一个等

18、效的线性系统，并可以用线性理论中的频率判据来判断系统的稳定性。2.稳定性分析r(t).eg) x n(a) y g( s) C(t).由结构图可以直接写出豆心二 N(A)G(j )R(j )1 N(A)G( j )闭换特征方程为1 . N(A)G(j-)= 0G(j )=-1N(A)，叫做非线性特征的负倒描述函数。显然非线性系统满足上式所示条件与线N(A)性系统中的G(jcc)曲线穿过临界点(-1,j0)的情况相当，所以上式即为非线性系16统产生自振荡的条件。复平面上，曲线是临界稳定时所对应的曲线。N(A)设非线性环节输入x(t)= Asinot ,则输出信号一次谐波分量为yi (t) =|N

19、(A) Asinbt+/N(A)线性部分输出c(t) = G( js )N(A) Asin Lt + / G( j。)+ / N(A)因 r(t) = 0,故，x(t) = -c(t)即 As i ntt = -G(j )N(A) As iLnt . G(j ) N(A)l亦即 G(jo)N(A) =1/G(j)+/N(A) = -兀即得到下式13亦仍)：。1即G( j )=N(A)得奈氏判据如下：若G(j。)曲线不包围曲线，则非线性系统是稳N(A)定的，两者的距离越远，稳定程度越高；反之则是不稳定的。若 G(jcc)曲线与,它可以是稳定的，也可以1曲线相交，则系统中存在周期运动(极限环) N

20、(A)是不稳定的。如图下所示(a )稳定 (b)不稳定(c)周期运动注意，G(j。)包围的含义与线性系统G(j0)包围(一1, 0) 一样。判N(A)17断系统的稳定性时，也必须把 G(jco)的图画全，即。从笛 T j0 一, j00T j0; j0+T +8 o3.周期运动的稳定性分析在上图(a)中，G(jco)和_ 1存在交点为N(A)M和M,通过分析可以得到：M点是稳定的,M点是不稳定的，对于稳定点M,可以通过求解联立方程N(A)G(j .)=1,.、*一 一 1一、，来确定其振幅和频率。.N(A)G(j )例 具有饱和非线性的系统如图所示，试求:k=15时系统的自由运动状态;(2)欲

21、使系统稳定的工作，不出现自振荡,r(t)=0.k的临界稳定值是多少。解：非线性部分: 可以查得：N(A)其中 k=2,a=1,于是1-jiY2 1N(A) 4sin，11A A当 A=1 时，一，=_05;当 A =N(A)一. 1 一 1.+ 8时，=故-曲线包于N(A)N(A)- 0.5 望这段负实轴上线性部分：k(-0.3 - j (1 - 0.02 2)s(0.1s 1)(0.2s 1)叫.(0.0004 4 0.05 2 - 1)18令 Im =G(jco) =0 ,即1 0.002=0,得G(j0)与负实轴的交点频率为: 0.02 = 50= 7.707rad /s将0 x代入ReG( j)，得G(j切)与负实轴交点的幅值Re G (j )-0.3k0.0004 4 + 0.058 x2 +1 虫 x= V50- 0.3k4.5ImRe .N(X) G(j ) u1即:G(j )=7N(X)借用奈奎斯特稳定判据，视负倒描述函数T为厂义的(-1,j0)点，则有:N(x)19代入 k=15,得 ReG(j) = 1