从数学方法论看高等代数及中学数学的多种联系

1、.1高等代数拓展容之十八从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系侯维民 师学院数学系， ，741001 摘 要：本文以数学方法论为指导，开掘了高等代数与中学数学在数学知识、数学思想方法、数学观念诸方面的联系以此说明：注意与中学数学的联系比照不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用关键词： 高等代数； 中学数学； 数学知识； 数学思想方法；数学观念中图：G304，G642.42 文献标识码： A数学教育的双专业性不但要求数学教师精通较多的数学知识，具备多种数学能力；还要求他们懂得系统的教育理论，练就娴熟的教育技能为使未来的中学数学教师精通较多的数学知识

2、，具备多种数学能力，高师数学系除开设“中学数学复习与研究，“中学数学教材教法等直接指导中学数学教学的课程外，还开设了“数学分析、“高等代数等高等数学类的课程然而，在长期开设高等数学类课程的实践中，一直存在着两方面的问题一方面由于中学数学知识难以与高等数学知识直接衔接，使不少大一学生一接触到“数学分析、“高等代数等课程，就对数学专业课产生了为难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等数学理论指导中学数学教学感到茫然为了【作者简介】侯维民1947 ，男，卫辉市人，师院教授，大学本科毕业，研究生课程结业，主要从事代数学，数学教育及周易数理研究.解决上述长期存

3、在的问题，笔者认为措施之一是用数学方法论1的望远镜和显微镜来剖析各门高等数学类课程与中学数学的联系不但挖掘知识体系方面的联系，更要挖掘数学思想方法、数学观念方面的联系通过这些工作，使师生都清楚地看到：高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高、在思想方法上是中学数学的因袭和扩，在观念上是中学数学的深化和开展2这样，学生学习高等数学类课程的难度就会大大降低，高等数学类课程对培养中学数学教师的指导作用也会显著增强下面以高等代数3课为例，从数学知识，数学思想方法、数学观念三个方面开掘一下高等数学类课程与中学数学4、5、6的联系1 高等代数与中学数学在知识方面的联系 这个问题至少可由以下6点说明1中

4、学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的根底上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论2中学代数给出了多项式因式分解的常用方法高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定3中学代数讲一元一次、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系高等代数接着讲一元n次方程根的定义，复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，一元n次方程根的近似解法及公式解简介4中学代数

5、讲二元一次、三元一次方程组的消元解法高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法，讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系5中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子6中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型三角形的不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型综上所述可知，高等代数在知识上确实是中学数学的继续和提高它不但解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根

6、及因式分解理论、线性方程组理论等；而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的2 高等代数与中学数学在思想方法方面的联系以下就十种数学思想方法对照二者之间的联系1抽象化思想小学从具体事物的数量中抽象出数字，开创了算术运算的时期中学用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、方程的时期高等代数用字母表示多项式、矩阵，开场研究具体的代数系统，进而又用字母表示满足一定公理体系的抽象元素，开场研究抽象的代数系统向量空间、欧氏空间随着概念抽象化程度不断的提高，数学研究的对象急剧扩大2化归思想中学数学里，

7、化无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程，化三元一次方程组为二元一次方程组直至一元一次方程，通过化归矩形推导平行四边形面积公式，这些都用到化归思想在高等代数里，通过按行按列展开，将阶数较高的行列式化为阶数较低的行列式；通过别离系数，将线性方程组的研究转化为增广矩阵的研究；通过选定基，将向量之间的关系转化为向量坐标之间的关系，将线性变换的研究转化为矩阵的研究，将二次型的研究转化为实对称矩阵的研究等，这些也都用到化归思想3分类思想中学按概念对研究的对象分类，例如对数分类，对代数式分类等高等代数除按概念分类，如将次数大于0的多项式分为可约与不可约两类，将二次型分为正定、负定、不定三类等，还按元素间

8、的等价关系分类，例如分别依矩阵的等价关系、相似关系、合同关系对矩阵分类利用向量空间的同构关系对向量空间、欧氏空间按维数分类，等4构造思想现代数学通过三种数学构造将数学各分支联系成一个整体中学数学与高等代数都用现代数学的观点和语言组织教材，两者的许多概念、性质及运算律具有相似性从负数到负多项式、负矩阵再到负元素，由倒数到逆矩阵再到逆元，从数的运算律到集合、多项式、矩阵的运算律再到代数系统的运算律，由数的大小关系到集合的包含关系、多项式的整除关系再到集合的偏序关系这些容全都反映了构造思想5类比推理思想在中学数学中，由分数的性质类比推理分式的性质由两直线的位置关系类比推理两平面的位置关系由直角三角形

9、的勾股定理类比推理具有三直角顶点四面体的勾股定理在高等代数中，由整数的整除理论类比推理数域F上的多项式的整除理论由直角坐标系下，几何向量的长度、夹角、积、距离公式类比推理规正交基下，n维欧氏空间中向量的长度、夹角、积、距离公式6严格的逻辑推理方法受中学生理解能力的限制，中学数学中严格的定义较少，定理和习题的推理过程较短，几何问题的推导还常常借助直观图形但常用的证题方法，如反证法、同一法、综合法、分析法、数学归纳法等，学生已有接触而高等代数对所研究的各类问题首先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理，得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系同中学数学相比，高等代数具有提出问题一般

10、，理论推导严格，讨论问题深入，知识体系完备的优点7公理化方法中学平面几何将利用直觉经历不证自明的少数命题和推导原则作为公理，由此出发推证出大量新的命题，这已用到实质公理化方法高等代数中的向量空间、线性变换、欧氏空间都将假设干条假设作为公理，利用这些公理，再推导出各自的理论体系，这已用到形式公理化方法由实质公理化方法到形式公理化方法表达了公理化方法的开展8坐标方法中学数学通过数轴建立了直线上点的坐标，通过平面坐标系建立了平面上点的坐标高等代数通过向量空间的基建立了向量空间中各种向量的坐标，推导出了向量和及向量数乘的坐标计算公式，证明了坐标变换公式欧氏空间一章还给出了在规正交基下，向量的长度、积、

11、投影、距离、夹角的坐标计算公式，这些公式恰是中学平面解析几何中相应公式的直接推广9变换方法中学数学学过线性方法组的同解变换高等代数将这些同解变换转换成矩阵的初等变换，由此得到一种用途广泛的解题方法矩阵的初等变换法利用矩阵的初等变换法可以求解线性方程组，可以求矩阵的秩，可以求矩阵在等价关系和合同关系下的标准形，可以求逆矩阵，可以直接求解局部矩阵方程等10构造性方法中学数学中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、三元一次方程组的求解方法都属于构造性方法高等代数不但继续用构造性方法解题，例如，判断整系数多项式可约性的克罗克方法，求排列反序数的方法，求线性方程组解的行列式法和矩阵消元法等还用构

12、造性方法证明定理，例如，证明带余除法定理，证明最大公因式的存在性定理，证明正交基的存在性定理，证明对称矩阵与对角形矩阵合同定理等综上所述可知，高等代数与中学代数虽然在知识深度上有较大差异，但产生知识的思想方法却是一脉相承的只是由于中学数学的知识较浅，容较窄，对思想方法的巨大作用体会不深而已通过学习高等代数等近、现代数学课程，人们越来越深刻地认识到数学思想方法在提醒数学知识的在联系，培养多种数学能力方面的巨大威力，从而学习和应用数学思想方法的自觉性大大增强而这种自觉性对于当前提高中学数学教学质量恰恰是最为重要的3 中学数学与高等代数在观念方面的联系在中学数学中初步萌生的假设干数学观念，包括数学研

13、究的对象，数学研究的特点，等，在高等代数中将得到深化和开展关于数学研究的对象，由中学代数研究的数、代数式、方程、函数等容，中学几何研究的点、线、面、常见图形等容，不难看出：数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式然而这个观念在高等代数等后继课程中却不断受到冲击首先，集合的包含关系，多项式的整除关系，向量的线性关系，矩阵的等价、相似、合同关系已不再是传统意义下的数量关系其次向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式高等代数等近、现代数学课程都说明：数学是一门应用抽象量化方法研究关系、构造、模式的科学这一新的观念对于指导中学教改是至关重要的关于数学研究的特点，人们普遍认为是抽象性、严谨

14、性和应用的广泛性，然而仅从中学数学是很难深刻体会到这些特点的首先看抽象性中学数学中，从用字母表示数、诸多数学概念的形成已使学生初步体会到抽象的含义和作用，但是对数学科学如何借助于抽象而不断开展却知之甚微通过高等代数等后继课程的学习，这样的例子就渐渐多了起来例如，从几何向量等数学对象关于加法和数乘的共性中，可以抽象出向量空间的概念，再将几何向量等数学对象关于积的共性抽象并赋予实数域上的向量空间就得到欧氏空间的概念而当人们只把注意力集中到欧氏空间等代数系统的“距离的本质属性非负性、对称性、三角不等式时，就抽象出“距离空间的概念当人们再注意到由距离所产生的拓朴构造只是一种特殊的拓扑构造时，又抽象出拓

15、朴空间的概念，可见随着抽象程度的不断提高，数学研究的对象日益扩大，结论更加本质再看严谨性受中学生理解能力的限制，中学数学的严格定义较少，几何问题的推导还常常借助直观图形，数学推理的严谨性并不十清楚显而高等代数对所研究的各类问题首先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系推理的严谨性随处可见最后看应用的广泛性中学数学除了它的教育功能外，还能解决一些简单的实际问题，如工程、行程、浓度、面积、体积等而高等代数除了它的教育功能外，还能进一步解决一些较为复杂的问题，如电力系统、线性规则、投入产出模型等总之学习高等数学类课程越多，数学应用的广泛性就表达

16、得越全面参考文献1 马忠林，毓信数学方法论M：*教育,199634982 世明，等MM教育方式的理论与实践M：新闻，200254873 禾瑞，郝鈵新. 高等代数(第四版)M：高等教育，1999134 人民教育中学数学室全日制普通高中教科书 数学(一、二、三册)M ：人民教育，2001125 人民教育中学数学室九年制义务教育三年制初级中学教科书代数(一、二、三册)M . ：人民教育，2001126 人民教育中学数学室九年制义务教育三年制初级中学教科书几何(一、二、三册) M. ：人民教育，200112E*plore Relations between the Higher Algebra and

17、 the Mathematics ofMiddle School by Mathematical MethodologyHou Weimin(Department of Mathematics , Tianshui Teachers college , Gansu Tianshui , 741001)Abstract ：This article quide by mathematical methodology，it e*plore the relations on mathematical knowledges，mathematical thoughts and methods，mathematical sensesIt show that if we notice the connections and parisons of Higher Algebra and Middle School Math，this not only