高二12月联考数学试卷

1、一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）.设 a, b E R,若a ,则A. Id IJ B. i：二C.尸 1： D.-a b【答案】D【解析】【分析】由题意逐一考查所给命题的真假即可.【详解】逐一考查所给的选项：取a = -3 ,满足a b ,但是不满足 间 |b ,选项A错误；取R = Zb = -3,满足a b,但是不满足,选项B错误； a b取R = 2.b=-，满足J A但是不满足 间 也|,选项C错误；因为指数函数=3是增函数，且ab所以3日啜，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.命题FE乱十,的否定是

2、A.,B. .一.： ?- 一C.；二:x x ：； D. ：三.,.： 1【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，据此可得命题早xEQ十s）,寸丹。”的否定是弘E 十句，2x2-x 0)的准线方程为x = -求解即可.【详解】由于抛物线=2px(p 0)的准线方程为x = - E ,抛物线x = 即/ =依的准线方程为x=-l,故选：C.【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于中等题.4.在等差数列0U中，11%卜知 = 42,则数列忸的前9项和与等于A. 126 B. 130 C.

3、147 D. 210【答案】A【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质和等差数列前n项和公式求解S9即可.【详解】*在等差数列%与中，/ +眄+为=42 ,二的十附十%=现=42,解得 ,八数歹U %的前9项和：49,S9 =/ 1 4 a9)=浜=126.故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.设Fi, F2是椭圆的两个焦点，点P为该椭圆上的任意一点，且 叫1=6, IPFJ |PFJ= 10则椭圆的短轴长为A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义与性质，转化求解即可.

4、【详解】设马是椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的点，且 岛|=6,可得c = 3,IPFJ ”叫| = 10,可得a = 5,则椭圆的短轴长为：2b -葭25 - 9 - 8 .故选：C. TOC o 1-5 h z 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及其应用，属于基础题.使不等式。成立的一个充分不必要条件是A.B.C.D. -1【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后确定其成立的一个充分不必要条件即可【详解】由/-*-60得仅十2）（又-斗4。，得若使不等式x：-x-6U成立的一个充分不必要条件，则对应范围是（-2J）的一个真子集，即- 24xh。，满足条件，故选：A.【点睛】本题主要考查

5、充分条件和必要条件的应用，转化为集合真子集关系是解决本题的关键.小.已知双曲线的渐近线方程为 y = yx ,焦点坐标为（-46和i+0）,则双曲线方程为【详解】/双曲线的渐近线为y = I 焦点坐标为（.4和140）,焦点在x轴上， 3.设双曲线方程为一=2:口）, “2 2得;.= /= 所以2双曲线方程为： 22=.312 4故选：B.【点睛】本题给出双曲线的渐近线、焦点，求双曲线的标准方程，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单性质，属于中等题.8.若实数m是-和20的等比中项，则圆锥曲线 一+ /= 1的离心率为5m2222【答案】D【解析】【分析】 求出m值，然后利用椭圆、双曲

6、线的性质求解离心率即可.【详解】实数 m是不和20的等比中项，可得m = 4或-4, TOC o 1-5 h z 当m=4时，圆锥曲线Y-r=l化为：一/=是焦点在x轴上的椭圆，离心率为： in4 r2222当m=-4时，圆锥曲线土十尸二1化为： =是焦点在y轴上的双曲线，离心率为： mP 4故选：D.【点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，等比数列的性质，考查计算能力.9.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一

7、项起依次是0, 2,4, 8, 12, 18, 24 , 32, 40, 50,，则该数列第 18 项为A. 200 B. 162 C. 144 D. 128【答案】B【解析】18项即可.【分析】由题意，首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第【详解】偶数项分别为2, 8, 18, 32, 50,即， ， ， ，即偶数项对应的通项公式为，则数列的第18项为第9个偶数即，故选：B.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据数列寻找偶数项的规律是解决本题的关键.10.已知下列结论：若数列%的前n项和1 ,则数列一定为等差数列若数列的前n项和品=-I ,则数列一定为等比数列非零实数a, b, c不全相

8、等，若a, b, c成等差数列，则可能构成等差数列 a b c0非零实数a, b, c不全相等，若a, b, c成等比数列，则一定构成等比数列 a b c则其中正确的结论是A. B. ； C. ； D. 【答案】A【解析】【分析】由题意逐一分析所给的命题是否成立即可.【详解】（若数列J应手的前n项和S=n-M ,可得港1=5 = 2； n 之 2时，41 = 4-*.+ 1 -E- 1f-】=2口-1 ,上式对n=l不成立则数列%不为等差数列，故 错；若数列嗝的前n项和品= 2” - I,可得 二瓦= 1; n1时，/=2 - 1 -2 1 =*1则数列为首项为1,公比为的等比数列，故对;非零

9、实数a, b, c不全相等，若a, b, c成等差数列,可得，D由:ib = be,即& = ,即为a=b = c,不成立，则不可能构成等差数列，故,错； a b c非零实数a, b, c不全相等，若a, b, c成等比数列，可得=萤，! =），则！ 11一定构成等比数列，故 对.b2 的 abc故选：A.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式，以及数列的递推式的运用， 考查运算能力和推理能力，属于中等题.Yr，则实数m的取值范围11.右两个正实数 x, y满足- - = 2 ,且不等式x - 1 + 2 I二=1 + 2父卜=_2/_= + = 2,44 2x y 2 4 y 8

10、x Jy 8x2当且仅当一=,即+*=16x即y= 4k时取等号，此时x=l, y = 4,y 8x即，4则由2得mmOO,即+得m 2 或m o,且X+y = 6,则曙邑X + I曜J的最大值为 【答案】2【解析】【分析】由题意结合均值不等式的结论和对数的运算法则确定-1隼5y的最大值即可.【详解】x 0 , y0,且x+y = 6 ；，. 6 = x I- y三2xy,当且仅当x=y = 3时取等号；Axy 9;A 1ob3x 1 logjy = laggxy 十1=1,三十*=, 4 242由二氏*/曰(xl-x2)(x1-x2) (y+y2)(y1-y2)两式作差可得：，42xi +

11、x2 Yi 十力 yj-yi即，42 冀一叱，一,一 力$ 2 1 一 ，,由于X|十吗= Zi十%=Lk =,故k = 0,解得：k = T,X - 勺4 2所以直线PQ的方程为2x十药-3=0.故答案为：2x + 2y-3 = 0.【点睛】本题主要考查点差法及其应用，直线与椭圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.在R上定义运算8派5=(日+1州，若对于VxE2、3,使得不等式+ 成立，则 实数m的取值范围为.【答案】,【解析】【分析】由题意结合新定义的运算和二次函数的性质确定实数m的取值范围即可.【详解】根据题意，(mF)米(m+x) 4即(m-x- l)(m +由4

12、,变形可得：(x-m- l)(x - m) A -4 ,即m + m 4 x3 其，又由xER3,则b-对的最小值为2,则有,解可得：,即m的取值范围为(-3,2)；故答案为：(-3,2).【点睛】 新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后 根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说新题”不一定是雉题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.已知下列命题： 4 ,当且仅当x? I 3 = 4 ,即x = I ,收+3收-3y取得最小值4,故对；对于3,设数列

13、1%；满足：为I泡4现4土 n = 2*1 W N * ),n = L 时.%= 2 ; n 2时，为 I 2七 4 3H* * .斗(n-1)a|1_1 =2“ 1 ,又为 2% + 3的 +11 = 2n(n N * ),相减可得 11ali = 2 1 ,即为之2),故错；对于一,由双曲线的定义可得动点 P的轨迹是双曲线的一支，故 对.故答案为：.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判断和基本不等式的运用、数列的通项公式的求法，双曲线的定义，考查定义法和推理能力，属于中档题.三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)x 917.已知命题p：实数x满足iX3a)(x-a)

14、V。，其中a。，命题q：实数x满足一;0,若p X -上是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】【解析】【分析】首先求解命题p和命题q,然后由题意得到关于实数 a的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.【详解】由(X -初(xa) Mn得日 0 ,由一W0得2式x - 2若p是q的充分不必要条件，则 3口声9,则得；1，即2WHM3,即实数a的取值范围是 巳3.【点睛】本题主要考查不等式的解法，由充分不必要条件求解参数的方法等知识,学生的转化能力和计算求解能力 .意在考查18.已知数列是首项% 7 ,公差的等差数列,其前n项和为好,且为，%，为 成等比数列.(1)求数列%的通项公式

15、;,求数列bj的前n项和1口.【答案】(1) %=口；(2)2(n + 2)【解析】【分析】(1)由题意首先求得公差，然后求解通项公式即可；(2)结合(1)中求得的通项公式列项求和求解数列出/的前n项和与即可.【详解】 数列是首项电=1 ,公差的等差数列，% %,为成等比数列，可得 ，即为，解得 ，即有* =n；I匕=:=.n (n+(n + l)(n - 2) n+ 1 n- 2，一 E11111则刖门项和li= l 7 + - Z 3 J 4 ri + 1 n + 211 n2 n + 2 2(n + 2)【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，裂项求和的方法等知识,意在考查学生的转化能力

16、和计算求解能力.19.已知点式在抛物线C:二型戊0)上，F为其焦点，且|PF| = 3.Ui求抛物线C的方程；过点T。)的直线l交抛物线C于A, B两点，O为坐标原点，求0?g的值.【答案】(1) = 4x; (2) -4.【解析】【分析】(1)由题意结合抛物线的定义确定p的值即可求得抛物线方程；(2)分类讨论直线斜率存在和不存在两种情况确定/ 口H的值即可.【详解】Q”抛物线C ： y2= 2px(p 0),，焦点由抛物线定义得：IPFI = 2 -| ? = 3 , 2解得p = 2,抛物线C的方程为/ =4x .QXD当l的斜率不存在时，此时直线方程为：x = 2,A班，同则-22- 2

17、加 乂 22 = - 47 JOA OB当l的斜率存在时，设y = k(x-2), k#0,j-y =. 2)、由;，=4；，可得 kS?-(4k 4)x71? = 0,设 ，则 , Gi 丫3 二 (4xJ = 16x2 = 64,由题意可得y)y2= X.X,-，, =4- 8 = -4【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,般要用到根与系数的关系20.为响应国家节能减排的号召，某汽车制造企业计划在2019年引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 2500万元，每生产网百辆，需另投入成本C(x万元，且i 0 x：+ 200 x,0 x 40.产的

18、汽车当年能全部销售完.(1)求2019年的利润L(万元关于年产量 双百辆的函数关系式L(限其中利润=销售额-成 本；(2)289年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求最大利润.-1 Ox- + 400k - 2500,0 x40【答案】(1) L(x) =2019年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为 1800万元.【解析】【分析】(1)结合题意写出利润函数即可； TOC o 1-5 h z (2)结合(1)中的利润函数分段讨论函数的最值即可求得最终结果【详解】(1)当 0vx 40时，L(x) = 600 x- 601x 4500 - 2500 = 2000 - (x ),x

19、x-10 x： + 400 x- 2500,0 x 40当0 vxv4O 时，Lg= . io(x= 2。), I 1500,，当k = 20时，L(k)取得最大值1500;、”,10000I1 10000当。时，L(x) = 2000- (x +)2Q00- 2 r 1800,xdx，10000 _E-r当且仅当x =即x= 10。时取等号.X:当K= 100时,L(x)取得最大值1800.即2019年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1800万元.【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段 函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、

20、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值 时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.%21.已知数列为中，的=，1+1=(nN+).I(1)求证：1一十1是等比数列，并求数列%的通项公式；%,n(31- 1)已知数列t%),满足, =an .(i)求数列他的前n项和口 ;, n(】i)若不等式(- 1) ZTn 一对一切nN *恒成立，求的取值范围. 2【答案】(1)答案见解析；(2) (i)2 - - ； (ii)( - 1 ).【解析】【分析】1由题意结合等比数列的定义证明数列一十1；是等比数列，然后求解其通项公式即可;%(2)首先确定数列%的通项公式，然后求解其前 n项和即可；(ii)结合恒成立的条件分类讨论n为奇数和n为偶数两种情况确定的取值范围即可1 .【详解】丁与=;,1广；SEN ), 22an-33