2022学年江苏省百校联考高三第三次模拟考试数学试卷(含解析)

1、2022学年高考数学模拟测试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）ABCD2若集合，则（ ）ABCD3双曲线的渐近线方程为( )ABCD4公比为2的等比数列中存在两项，满足，则的最小值为（ ）ABCD5已知集合，若，则的最小值为（ ）A1B2C3D4

2、6已知集合，则中元素的个数为( )A3B2C1D07双曲线：（，）的一个焦点为（），且双曲线的两条渐近线与圆：均相切，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD8已知数列对任意的有成立，若，则等于（ ）ABCD9四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（ ）A12B16C20D810斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为A2BCD11在展开式中的常数项为A1B2C3D712如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将沿BE折起至，记二面角的平面角为，直线与平面BCDE所成的角为，与BC所成的角为，有如下两个命题：对满足题意的任意的的位置，；对满足题意的任意的的位置，

3、则( ) A命题和命题都成立B命题和命题都不成立C命题成立，命题不成立D命题不成立，命题成立二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，令，若，表示不超过实数的最大整数，记数列的前项和为，则_14在中，角，的对边分别是，若，则的面积的最大值为_.15函数的图象在处的切线方程为_16对于任意的正数，不等式恒成立，则的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分） 已知函数，（）当时，求曲线在处的切线方程； （）求函数在上的最小值；（）若函数，当时，的最大值为，求证：.18（12分）在中，内角的对边分别是，已知（1）求的值；（2）若，求的

4、面积19（12分）已知函数（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围20（12分）设椭圆E:（a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由21（12分）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）若用时不超过（分钟），则称这个工人为优秀员工（1）求这个样本数据的中位数和众

5、数；（2）以这个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查名工人，求被调查的名工人中优秀员工的数量分布列和数学期望22（10分）在中，为边上一点，.（1）求；（2）若，求.2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.【题目详解】构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集为.故选：A【答案点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考

6、查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2、B【答案解析】根据正弦函数的性质可得集合A，由集合性质表示形式即可求得，进而可知满足.【题目详解】依题意，；而，故，则.故选：B.【答案点睛】本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.3、A【答案解析】将双曲线方程化为标准方程为，其渐近线方程为，化简整理即得渐近线方程.【题目详解】双曲线得，则其渐近线方程为，整理得.故选：A【答案点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.4、D【答案解析】根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解.【题目详解】，当时，当时，

7、当时，当时，当时，当时，最小值为.故选:D.【答案点睛】本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.5、B【答案解析】解出,分别代入选项中 的值进行验证.【题目详解】解：，.当 时,，此时不成立.当 时,，此时成立，符合题意.故选:B.【答案点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.6、C【答案解析】集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【题目详解】由题可知：集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立与，可得，整理得，即，当时，不满足题意；故方程组有唯一的解.故.故选：C.【答案点睛】本题考

8、查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.7、A【答案解析】根据题意得到，化简得到，得到答案.【题目详解】根据题意知：焦点到渐近线的距离为，故，故渐近线为.故选：.【答案点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.8、B【答案解析】观察已知条件，对进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.【题目详解】已知，则，所以有， ，两边同时相加得，又因为，所以.故选：【答案点睛】本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.9、A【答案解析】先将除A，B以外的两人

9、先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.【题目详解】先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种.故选：A【答案点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.10、C【答案解析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值【题目详解】解：设直线l的方程为yx+t，代入y21，消去y得x2+2tx+t210，由题意得（2t）21（t21）0，即t21弦长|AB|4故选：C【答案点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系常需要把直线与椭

10、圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口11、D【答案解析】求出展开项中的常数项及含的项，问题得解。【题目详解】展开项中的常数项及含的项分别为：,，所以展开式中的常数项为：.故选：D【答案点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。12、A【答案解析】作出二面角的补角、线面角、线线角的补角，由此判断出两个命题的正确性.【题目详解】如图所示，过作平面，垂足为，连接，作，连接.由图可知，所以，所以正确.由于，所以与所成角，所以，所以正确.综上所述，都正确.故选：A【答案点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属

11、于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【答案解析】根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得，进而得到，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.【题目详解】由题意，函数，且，可得，又由，可得为常数列，且，数列表示首项为4，公差为2的等差数列，所以，其中数列满足，所以，所以，又由，可得数列的前n项和为，数列的前n项和为，所以数列的前项和为，满足，所以，即，又由表示不超过实数的最大整数，所以.故答案为：4.【答案点睛】本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属

12、于中档试题.14、【答案解析】化简得到，根据余弦定理和均值不等式得到，根据面积公式计算得到答案.【题目详解】，即，故.根据余弦定理：，即.当时等号成立，故.故答案为：.【答案点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.15、【答案解析】利用导数的几何意义,对求导后在计算在处导函数的值,再利用点斜式列出方程化简即可.【题目详解】,则切线的斜率为.又,所以函数的图象在处的切线方程为,即.故答案为：【答案点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题,需要注意求导法则与计算,属于基础题.16、【答案解析】根据均为正数，等价

13、于恒成立，令，转化为恒成立，利用基本不等式求解最值.【题目详解】由题均为正数，不等式恒成立，等价于恒成立，令则，当且仅当即时取得等号，故的最大值为.故答案为：【答案点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）（）见解析；（）见解析.【答案解析】试题分析：（）由题，所以故，代入点斜式可得曲线在处的切线方程；（）由题（1）当时，在上单调递增. 则函数在上的最小值是（2）当时，令，即，令，即（i）当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是（ii）当，即时

14、，由的单调性可得在上的最小值是（iii）当，即时，在上单调递减，在上的最小值是（）当时，令，则是单调递减函数. 因为，所以在上存在，使得，即讨论可得在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，取得最大值是因为，所以由此可证试题解析：（）因为函数，且， 所以，所以所以，所以曲线在处的切线方程是，即（）因为函数，所以（1）当时，所以在上单调递增. 所以函数在上的最小值是（2）当时，令，即，所以令，即，所以（i）当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是（ii）当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值是（iii）当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值是综上所述，当时，在上的最小值是当时，

15、在上的最小值是当时，在上的最小值是 （）因为函数，所以所以当时，令，所以是单调递减函数. 因为，所以在上存在，使得，即所以当时，；当时，即当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，取得最大值是因为，所以因为，所以所以18、（1）；（2）.【答案解析】（1）由，利用余弦定理可得,结合可得结果；（2）由正弦定理，, 利用三角形内角和定理可得，由三角形面积公式可得结果.【题目详解】（1）由题意，得. , ， .（2），由正弦定理，可得. ab，, . .【答案点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练

16、掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19、（1）（2）【答案解析】（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.【题目详解】（1）当时，由得由得解：，得当时，关于的不等式的解集为（2）当时，所以在上是减函数，在是增函数，所以，由题设得，解得.当时，同理求得.综上所述，的取值范围为.【答案点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.20、

17、（1）（2）【答案解析】试题分析：（1）因为椭圆E:（a,b0）过M（2，），N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即，要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性21、（1）43，47；（2）分布列见解析，.【答案解析】（1）根据茎叶图即可得到中位数和众数；（2）根据数据可得任取一名优秀员工的概率为，故，写出分布列即可得解.【题目详解】（1）中位数为，