参数的矩估计及评价标准

1、参数的点估计 点估计 由随机抽样估计参数的具体值的方法.区间估计 根据置信度估计未知参数的取值范围.上一页下一页目录结束返回分析:以上是通过已知条件来确定参数,不是参数估计.点估计:通过抽样估计未知参数的具体值. 点估计1.矩估计法设总体 的分布中含有未知参数 , 假定 总体 的 阶原点矩都存在,从总体 中抽取样本 ,用样本各阶原点矩作为总体 的各阶原点矩的估计量解这个方程组,得分别是未知参数 的估计量,称为矩估计量. 分别是未知参数 的估计值,称为矩估计值. 如果已知样本观测值为都是未知参数，如果取得样本观测值为设总体 服从正态分布其中 及求 及 的矩估计值.解:所以应考虑一、二阶原点矩，因

2、为总体 的分布有两个未知参数，例于是，按矩估计法 得方程组于是解得 的矩估计量为及而 及 的矩估计值就是书上P158例题5.92.最大似然估计法（不作要求，考研出现过）直观思想:一次抽样就出现的一组观测值可能性最大.例如有两件相同的零件箱,各装1000个零件. 一箱有950个正品,50个次品;另一箱50个正品, 950个次品.现任取一件,任取一个零件,发现取得正品.问,所取零件来自哪一件?答:来自第一件.小结求未知参数估计量的常用方法是矩估计法和最大矩估计法:以样本矩作为总体的相应矩的估计,以样本矩的函数作为总体的相应矩的函数的估计.最大似然估计法:使似然函数达到最大值.似然估计法.离散情形考

3、虑概率,连续情形考虑概率密度.似然函数对衡量点估计量好坏的标准 1.无偏性设参数 的估计量 的数学期望 存在且等于 ,即则称是的无偏估计量.如果样本观测值为 ,则称是 的无偏估计值.设总体 的均值方差证明:（1）样本均值是总体均值 的无偏估计量；无偏估计量.证：服从相同分布，所以有因为样本相互独立，且与总体例1（2）样本方差是总体方差的由数学期望与方差的性质可知所以，是 的无偏估计量:而 （2）所以，是 的无偏估计量:由此得2.有效性（不作要求）参数 的无偏估计量,如果则称比有效.设 与 都是如果对于给定的样本容量 , 的方差 最小,则称 是 的有效估计量.3.一致性（不作要求）即对于任意给定

4、则称 是 的一致估计量.如果 时, 按概率收敛于 , 的正数 ,有小结未知参数的估计量的三个评选标准:无偏性,有效性和一致性.评价估计量,不能从一个估计量的某次具体表现上去衡量好坏,而应看其整体性质.由于一致性是在极限意义下引入的,而在实际中往往难以增大样本容量,而且证明估计量的一致性并非容易,在实际中常使用无偏性和有效性这两个标准.1992 数学四设 个随机变量独立同分布，则（A）是 的无偏估计量.（B）是 的最大似然估计.（C）是 的相合估计量（即一致估计量）.（D）与 相互独立.思考题分析:对于任何总体，虽然有的无偏估计量，即 是 但是未必有的无偏估计量.即 未必是所以答案（A）不正确.

5、对于正态总体，的最大似然估计量是样本二阶中心矩而不是样本方差所以是 的最大似然估计这一结论显然不成立，从而答案（B）不正确。对于正态总体有：与 相互独立.对于一般总体，这一结论未必成立，所以答案（D）不正确.答: 应选（C）.考试大题考点（基本不考原题）1.全概率公式。贝叶斯公式（8分）2.已知连续随机变量密度f(x)，求期望，方差（8分）3.矩估计（10分）4.已知二位离散型随机变量的联合分布列，求协方差和相关系数（10分）5.中心极限定理（独立同分布情形下的 ；10分）6.对连续型随机变量的二位联合分布或密度函数，求待定系数，边际分布或密度，独立性判断，以及在某个区域上的概率（14分）复习

6、知识点1. 事件间的关系与运算，概率的公理化定义，概率的性质，古典概率，条件概率，乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式，事件的独立性；书上相关内容，例题1.9，1.11，1.15, 1.16，1.20 , 1.23, 1.25, 1.26及课后练习P14 4、5， P20 3, P29 9，P35 习题一 7.2.掌握分布列、分布函数、概率密度的定义及性质，会计算随机变量的数学期望与方差，掌握随机变量数学期望与方差的性质、切比雪夫不等式，掌握常用的离散型分布(两点分布，几何分布，二项分布，泊松分布)，常用的连续型分布(均匀分布，指数分布，正态分布)，熟记常用分布的数学期望与方差；会计算正态随机变量

7、落在一区间的概率，会求随机变量函数的分布；书上相关内容, 例题2.23, 2.24, 2.28及课后习题P45 12; P62 6 ; P6869 1,3,7; p73 3、 63. 二维随机向量的分布函数及其性质，二维离散型随机变量的联合分布及其边缘分布列，二维连续型随机变量联合概率密度函数定义性质及其边缘概率密度函数，随机变量的独立性，两个连续型随机变量和的密度计算公式，最大值与最小值的分布，掌握协方差、相关系数的定义、性质；不相关的等价关系，中心极限定理的应用；书上相关内容、例题3.10, 3.13，3.15，3.30, 3.31, 3.32及课后习题p84 5、7； p95 13,14,15， p103 4；P120 4、5 4.掌握总体与样本定义，性质，样本分布函数和密度函数的的计算（连续，离散），会判断是否为统计量，熟练写出常用的统计量：样本均值，未修正和修正的样本方差，样本标准差，样本k阶原点矩、中心矩，顺序统计量（容量为2）及其各自的特点。掌握分位数求法和卡方分布的由来（要求）及性质。会用矩估计办法求未知参数的点估计，无