广东高考理数真题模拟汇编08：圆锥曲线

1、广东高考理数真题模拟汇编08：圆锥曲线真题部分：1（2004广东）若双曲线的焦点到它相应的准线的距离是2，则(A)(B)(C)(D)2(2005广东)若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（ ）ABCD2【答案】B解: ， ，故选B3、（2006广东）已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于A. B. C. 2 D.43、依题意可知 ，故选C.2（2007广东理数）在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是_;2答案：;解析：OA的垂直平分线的方程是y-，令y=0得到x=;11（2004广东）某中心接

2、到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚，已知各观测点到中心的距离都是，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为，各相关点均在同一平面上）11解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由

3、双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.*12（2004广东）设直线与椭圆相交于两点，又与双曲线相交于C、D两点，三等分线段，求直线的方程。12解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：依题意有，由若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故由故l的方程为(ii)当b=0时，由(1)得故l的方程为再讨论l与x轴垂直的情况.设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，综上所述，故l的方程为、和y*13

4、(2005广东)xyOAB图4在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）（）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由13【答案】解法一：（）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，依题意得 ， ，即 ， 由得，设直线的方程为可化为 ， ， 设的重心G为，则 ， ，由得 ，即，这就是得重心的轨迹方程（）由弦长公式得把代入上式，得 ，设点到直线的距离为，则， ， 当，有最小值，的面积存在最小值，最小值是 解法二：（） AOBO, 直线，的斜率显然存在，设AO、BO的直线方程分别为，设，依题意可得由得，

5、由得，设的重心G为，则 ， ， 由可得，即为所求的轨迹方程.（）由（）得，当且仅当，即时，有最小值，的面积存在最小值，最小值是 .解法三:（I）设AOB的重心为G(x , y) ，A(x1, y1)，B(x2 , y2 )，则 （1）不过OAOB ，即， （2）又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得，所以重心为G的轨迹方程为，（II），由（I）得，当且仅当即时，等号成立，所以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1 10（2007广东理数）在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。 （1）求圆C的

6、方程； （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。10解析：（1）圆C：； （2）由条件可知a=5，椭圆，F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；直线CF的方程为y-1=,即，设Q（x,y），则，解得所以存在，Q的坐标为。8. （2008广东文、理数）设，椭圆方程为，抛物线方程为如图6所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线

7、上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）8【解析】（1）由得，当得，G点的坐标为，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。*14（2010广东理数） 21（本小题满分14分）设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种

8、折线距离p(A,B)为.当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立.（2）当点C(x, y) 同时满足P+P= P，P= P时，点是线段的中点. ，即存在点满足条件。15（2010广东理数）一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点。 （1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式； （2）若过点H(0, h)（h1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。故，即。（2）设，则由知，。将代入得，即，由与E只有一个交点知，即。同理，由与E只有一个交点知，消去得，即，从而，即。16（2010广东文数）21已知曲线,点是曲线上的点，17、（2011广东理数

9、）设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x）2+y2=4中的一个内切，另一个外切（1）求C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求|MP|FP|的最大值及此时点P的坐标考点：圆方程的综合应用。专题：综合题；转化思想。分析：（1）根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心F1的距离加2与圆心C到圆心F2的距离减2或圆心C到圆心F1的距离减2与圆心C到圆心F2的距离加2，得到圆心C到两圆心的距离之差为常数4，且小于两圆心的距离2，可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x

10、轴上的双曲线，根据a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可；（2）根据点M和F的坐标写出直线l的方程，与双曲线L的解析式联立，消去y后得到关于x的方程，求出方程的解即可得到两交点的横坐标，把横坐标代入直线l的方程中即可求出交点的纵坐标，得到直线l与双曲线L的交点坐标，然后经过判断发现T1在线段MF外，T2在线段MF内，根据图形可知|MT1|FT1|=|MF|，利用两点间的距离公式求出|MF|的长度，当动点P与点T2重合时|MT2|FT2|MF|，当动点P不是直线l与双曲线的交点时，根据两边之差小于第三边得到|MP|FP|MF|，综上，得到动点P与T1重合时，|MP|FP|取得最大值，此时P的

11、坐标即为T1的坐标解答：解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（，0）、F2（，0），由题意得：|CF1|+2=|CF2|2或|CF2|+2=|CF1|2，|CF2|CF1|=4=2a|F1F2|=2=2c，可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2的双曲线，因此a=2，c=，则b2=c2a2=1，所以轨迹L的方程为y2=1；（2）过点M，F的直线l的方程为y=（x），即y=2（x），代入y2=1，解得：x1=，x2=，故直线l与双曲线L的交点为T1（，），T2（，），因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，故|MT1|FT1|=|MF|=2，|MT2|FT2|MF|

12、=2，若点P不在MF上，则|MP|FP|MF|=2，综上所述，|MP|FP|只在点T1处取得最大值2，此时点P的坐标为（，）点评：此题考查学生会根据已知条件得到动点的轨迹方程，掌握双曲线的简单性质，灵活运用两点间的距离公式及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解决实际问题，是一道中档题21、（2011广东理数）在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=x2实数p，q满足p24q0，x1，x2是方程x2px+q=0的两根，记（p，q）=max|x1|，|x2|（1）过点，A（p0，p02）（p00），作L的切线交y轴于点B证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有（p，q）=；（2）

13、设M（a，b）是定点，其中a，b满足a24b0，a0过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，），E（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F线段EF上异于两端点的点集记为X证明：M（a，b）X|P1|P2|（a，b）=（3）设D= （x，y）|yx1，y（x+1）2当点（p，q）取遍D时，求（p，q）的最小值 （记为min）和最大值（记为max）考点：直线与圆锥曲线的综合问题。专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；新定义；数形结合；函数思想。分析：（1）求导，写出过点A（p0，p02）（p00）L的切线方程，求得点B的坐标，即可证得结果；（2）求出过M（a，b）作L的

14、两条切线l1，l2，根据（p，q）=max|x1|，|x2|，比较、|a|、|a|的大小，即可证得结论；（3）联立y=x1，y=（x+1）2求得交点坐标，利用导数求过点（p，q）抛物线L的切线方程，求得切点坐标，转化为求函数的最值问题解答：解：（1）kAB=y|x=p0=p0，直线AB的方程为yp02=p0（xp0），即y=p0 xp02，q=p0pp02，方程x2px+q=0的判别式=p24q=（pp0）2，两根x1，2=或p，而|p|=|p|，又0|p|p0|，得|p|=|p|，（p，q）=；（2）由a24b0知点M（a，b）在抛物线L的下方，当a0，b0时，作图可知，若M（a，b）X，则

15、p1p20，得|p1|p2|；显然有点M（a，b）X；M（a，b）X|P1|P2|当a0，b0时，点M（a，b）在第二象限，作图可知，若M（a，b）X，则p10p2，且|p1|p2|；显然有点M（a，b）X，显然有点M（a，b）X|P1|P2|根据曲线的对称性可知，当a0时，M（a，b）X|P1|P2|综上所述，M（a，b）X|P1|P2| （*）由（1）知点M在直线EF上，方程x2ax+b=0的两根x1，2=或a，同理知点M在直线EF上，方程x2ax+b=0的两根x1，2=或a，若（a，b）=，则不比|a|、|a|小，|p1|p2|；又|p1|p2|M（a，b）X；（p，q）=M（a，b）X

16、；又由（1）知，M（a，b）X（p，q）=；M（a，b）X（p，q）=，综合（*）式，得证（3）联立y=x1，y=（x+1）2得交点（0，1），（2，1），可知0p2，过点（p，q）抛物线L的切线，设切点为（x0，x02），则，得x022px0+4q=0，解得x0=p+，又q（p+1）2，即p24q42p，x0p+，设=t，x0=，max=；而x0p+=p+|p2|=2，min=1点评：此题是个难题本题考查了利用导数研究抛物线的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力其中问题形式是个新定义问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力20(2012广

17、东理数)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:的离心率，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3求椭圆C的方程在椭圆C上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由解：（1）由得，椭圆方程为椭圆上的点到点Q的距离当即,得当即,得（舍） 椭圆方程为（2）当，取最大值，点O到直线距离又解得：点M的坐标为的面积为分析：本题相对于往年难度有所增大，第一问求椭圆方程可能会让不少考生头疼，主要考察解析几何的分析能力和方法的灵活性。广州一模、二模10. (2010广州二模理数)已知椭圆的离心率, 且它的

18、焦点与双曲线的焦点重合, 则椭圆的方程为 .10. 20(2010广州一模理数)已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，求的最大值20（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：设，则， 即，即，所以动点的轨迹的方程 （2）解：设圆的圆心坐标为，则 圆的半径为 圆的方程为令，则，整理得， 由、解得， 不妨设， ， 当时，由得， 当且仅当时，等号成立当时，由得， 故当时，的最

19、大值为 19. (2010广州二模理数)已知抛物线:的焦点为,、是抛物线上异于坐标原点的 不同两点，抛物线在点、处的切线分别为、，且，与相交于点. (1) 求点的纵坐标； (2) 证明：、三点共线； (3) 假设点的坐标为，问是否存在经过、两点且与、都相切的圆， 若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点、的坐标分别为、， 、分别是抛物线在点、处的切线， 直线的斜率，直线的斜率. ,（数学驿站） , 得. 2

20、分、是抛物线上的点, 直线的方程为,直线的方程为.由 解得点的纵坐标为. 4分(2) 证法1： 为抛物线的焦点， . 直线的斜率为， 直线的斜率为. 6分 .、三点共线. 8分证法2： 为抛物线的焦点， . ， . , 6分 .、三点共线. 8分证法3：设线段的中点为, 则的坐标为.抛物线的准线为.作, 垂足分别为. 由(1)知点的坐标为,.是直角梯形的中位线. 6分根据抛物线的定义得:,.,为线段的中点,.,即.、三点共线. 8分(3)解: 不存在. 证明如下： 假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为， 依题意得，且， 由，得. 四边形是正方形. . 10分点的坐标为， ,得. 把点的坐标代入

21、直线, 得 解得或,点的坐标为或.同理可求得点的坐标为或.由于、是抛物线上的不同两点，不妨令,., . 13分, 这与矛盾.经过、两点且与、都相切的圆不存在. 14分19(2011广州一模理数) 已知椭圆的离心率. 直线（）与曲线交于 不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为 (1) 求椭圆的方程； (2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值.19（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：椭圆的离心率, . 2分 解得. 椭圆的方程为 4分（2）解法1：依

22、题意，圆心为 由 得. 圆的半径为 6分 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离， ，即 弦长 8分的面积 9分 . 12分 当且仅当，即时，等号成立. 的面积的最大值为 14分解法2：依题意，圆心为 由 得. 圆的半径为 6分 圆的方程为 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离， ，即 在圆的方程中，令，得， 弦长 8分的面积 9分 . 12分 当且仅当，即时，等号成立. 的面积的最大值为 14分20(2011广州二模理数)已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、 （1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；（2）求直线的方程；（3）求

23、三角形面积的最大值20（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等）解：（1）因为，所以，所以1分由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以因为，所以，所以3分故双曲线离心率的取值范围为4分（2）方法1：因为，所以以点为圆心，为半径的圆的方程为5分因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，6分所以联立方程组7分消去，即得直线的方程为8分方法2：设，已知点，则，因为，所以，即5分整理得因为，所以6分因为，根据平面几何知识可知，因为，所以7分所以直线方程为即所以直线的方程为8分方法3：设，已知点，则，

24、因为，所以，即5分xyOPAB整理得因为，所以6分这说明点在直线上 7分同理点也在直线上所以就是直线的方程 8分（3）由（2）知，直线的方程为，所以点到直线的距离为因为，所以三角形的面积10分以下给出求三角形的面积的三种方法：方法1：因为点在双曲线上，所以，即设，所以11分因为，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减12分当，即时，13分当，即时，综上可知，当时，；当时，14分方法2：设，则11分因为点在双曲线上，即，即所以令，则所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增12分当，即时，13分当，即时，综上可知，当时，；当时，14分方法3：设，则11分因为点在双曲线上，即，即所以令

25、，所以在上单调递增，在上单调递减12分因为，所以，当，即时，此时 13分当，即时，此时综上可知，当时，；当时，14分19(2012广州二模理数)已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：有一个相同的焦点F1，直线：与抛物线C2只有一个公共点 (1)求直线的方程；(2)若椭圆C1经过直线上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标19(本小题满分14分)(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)(1)解法1：由消去得 1分直线与抛物线只有一个公共点，解得 3分直线的方程为 4分解法2

26、：设直线与抛物线的公共点坐标为由，得直线的斜率 1分依题意得，解得 2分把代入抛物线的方程，得点在直线上，解得 3分直线的方程为 4分(2)解法l：抛物线的焦点为依题意知椭圆的两个焦点的坐标为 5分设点关于直线的对称点为则 7分解得点 8分直线与直线的交点为 9分由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆的长轴长11分其中当点P与点重合时，上面不等式取等号故当时， 12分此时椭圆的方程为，点P的坐标为 14分解法2：抛物线的焦点为依题意知椭圆的两个焦点的坐标为 5分设椭圆的方程为 6分由消去得(*) 7分由 8分得 9分解得 10分 11分当时，此时椭圆的方程为 12分把代入方程(*)，解得 13分点P的坐标为 14分20(2012广州一模理数)已知椭圆的左，右两个顶点分别为、曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围20（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得，1分设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，即所以双曲线的方程为3分（2）证