高中物理竞赛习题专题一：质点运动学含详解

1、高总物理竞赛习题专题一：质点运动学选择题1.如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动.设该人以匀速率v0收绳,绳不伸长且湖水静止，小船的速率为v,则小船作（）(A)匀加速运动V0cos 0(B)匀减速运动=v0cos 0(C)变加速运动V0cos 0(D)变减速运动，v = v0cos 0(E)匀速直线运动,V = v0答案：C2.如上题图1-5 ,此时小船加速度为（A.0 B.(v0tan 二)2l cos 二C.(v0 tan i)2lD.V0cosu答案：B3.地面上垂直竖立图 20.0 m的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方，求在下午2 : 00

2、时，杆顶在地面上的影子的速度的大小为（3.0 10*m/sA. 1.94 10-3m/s B. 1.94 10m/s C.0 D.答案：A解析：设太阳光线对地转动的角速度为3 ,从正午时分开始计时，则杆的影长为s = htg 3 t,下午2 ： 00时，杆顶在地面上影子的速度大小为ds h34v2=1.94 10 msdt cos wt二.计算题.质点沿直线运动，加速度a= 4 -t2，式中a的单位为m- s -2 ,t的单位为s .如果当t3 s时,x = 9 m,v = 2 m - s -1 ,求质点的运动方程.解析： 由分析知，应有vV0dVt=(adt 得x t21 4由dx = o

3、vdt 得 x =2t - -tv0t x0(2)将 t = 3 s 时,x = 9 m,v =2 m - s -1 代入(1) (2)得 v0 = -1 m - s -1,x0 = 0.75 m于是可得质点运动方程为x =2t2 - t4 0.7512.一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动，现测得其加速度 a =A -Bv,式中A、B为正恒量，求石子下落的速度和运动方程.解析：本题亦属于运动学第二类问题 ，与上题不同之处在于加速度是速度v的函数，因此,需将式dv = a(v)dt分离变量为-dv-= dt后再两边积分. a(v)解：选取石子下落方向为 y轴正向，下落起

4、点为坐标原点.(1)由题意知a= = A-Bvdt用分离变量法把式(1)改写为dvA-Bv=dt(2)将式(2)两边积分并考虑初始条件，有v dvt-dvdv = dt v0 A - Bv0得石子速度由此可知当,t 8时，vTA Bt v = (1 -e )BA一为一常量，通常称为极限速度或收尾速度.Bdy A。(2)再由 v =一(1 一dt Be)并考虑初始条件有t OA Bt(1 -e )dtB得石子运动方程A Bte-1).质点在Oxy平面内运动，其运动方程为r = 2.0ti+(19.0 -2.0t2 )j,式中r的单位为 m,t的单位为s.求：(1)质点的轨迹方程；(2)在t1 =

5、 1.0s到t2 =2.0s时间内的平均速度；(3) t1 =1.0 s时的速度及切向和法向加速度；(4) t =1.0s时质点所在处轨道的曲率半径p .解析：根据运动方程可直接写出其分量式x =x(t)和y =y(t),从中消去参数t,即得 、一一，一， r质点的轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率，即v =,它与时间间d r隔A t的大小有关，当A t 0时，平均速度的极限即瞬时速度V =.切向和法向加速度是dt指在自然坐标下的分矢量at和an ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率，即dv tat =e，后者只反映质点速度万向的变化，它可由总加速度a和at得到.在求得

6、t1时dt2 刻质点的速度和法向加速度的大小后，可由公式an =求.p解(1)由参数方程x = 2.0t, y = 19.0-2.0t2消去t得质点的轨迹方程：y = 19.0 -0.50 x2(2) 在t1 =1.00 s到t2 =2.0 s时间内的平均速度= 2.0i -6.0 j- Ar r -ri v =-=Att2 -t1(3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为j -2.0i -4.0tjdx. dyv(t)=vxi vy j :i y dt dtd2x dt22 .=-4.0 m s j则t1 = 1.00 s时的速度v(t) | t =1 s = 2.0i -4.0j切向和法向加

7、速度分别为dv d / ： 22、 c lc attws= et = vx+vy)e =3.58m s etdt dt ”an -a2 -at2en =1.79 m sen(4) t =1.0 s质点的速度大小为221v = vx vy = 4.47 m s2则 p= =11.17 m an8.已知质点的运动方程为r =2ti +(2-t2) j,式中r的单位为m,t的单位为s.求： (1)质点的运动轨迹；t =0及t =2s时，质点的位矢；(3)由t =0到t =2 s内质点的位移 Ar和径向增量Ar；*(4) 2 s内质点所走过的路程 s.分析质点的轨迹方程为 y =f(x),可由运动方程

8、的两个分量式 x(t)和y(t)中消去t 即可得到.对于r、Ar、Ar、As来说，物理含义不同，可根据其定义计算.其中对 s的求 解用到积分方法，先在轨迹上任取一段微元ds,则ds = (dx)2 +(dy)2，最后用s = jds积分求s .解(1)由x(t)和y(t)中消去t后得质点轨迹方程为y =2 -1x2 4 这是一个抛物线方程，轨迹如图(a)所示.(2)将t = 0 s和t = 2 s分别代入运动方程，可得相应位矢分别为r0 =2j , % =4i -2j图(a)中的P、Q两点，即为t =0s和t =2 s时质点所在位置.(3)由位移表达式，得r =七-r1 =(x2 -x0)i

9、(y2 - y) j = 4i -2j其中位移大小 占=J( Ax)2 +(Ay)2 = 5.66 m而径向增量 & = Ar| =卜2 r0 = Jx； + y2 -x2 + y2 = 2.47 m*(4)如图(B)所示，所求A s即为图中PQ段长度，先在其间任意处取AB微元ds,则1 .ds = (dx)2 + (dy)2 ,由轨道万程可得 dy = - xdx，代入ds,则2 s内路程为Qs = P ds =I 4 x2dx = 5.91 m9.一质点P沿半径R =3.0 m的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为 20.0 s,设t =0 时，质点位于O点.按(a)图中所示Oxy坐标系,

10、求(1)质点P在任意时刻的位矢；(2)5 s 时的速度和加速度.分析该题属于运动学白第一类问题，即已知运动方程r =r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度 ).在确定运动方程时，若取以点(0,3)为原点的 O x v 坐标系，并采用参数方程x =x (t)和y =y (t)来表示圆周运动是比较方便的.然后 ， 运用坐标变换 x = x0 +x和y = y0 + y,将所得参数方程转换至Oxy坐标系中，即得Oxy坐标系中质点P在任意时刻的位矢.采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度.题-11图- ，一 _ 一 ， 2 u.解(1)如图(B)所不，在O x y坐标系中，因8 = t,则质点P的参数方程为22x = Rsin t, y = -Rcos t TT坐标变换后,在Oxy坐标系中有2qx = x = Rsin t, y = y y0 - - Rcos则质点P的位矢方程为2r = Rsin ti + 一 RcosT= 3sin(0.1 疝)i 31 -cos(0.1 疝)j(2) 5 s时的速度和加速度分别为dr _ v = = R dt2 冗22 7t.cost iR sinTTT,1tj =(0.3：tm s