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文档简介

1、此函分析II复习内容提要：第一章距离空间、拓扑空间，可分性、完备性；有界集、完全有界集、列紧集、紧集及其关系；压缩映射原 理.第二章 赋范线性空间及例子，商空间，等价范数，有限维赋范空间的两个特征.第三章 有界线性算子，算子列的强收敛、弱收敛，自反空间及其性质，共轭算子，紧算子，Hahn-Banach定 理，共鸣定理，闭图像定理.第四章内积空间，正交性和正交基，自共轭算子，可分Hilbert空间的模型，正交分解定理.第五章 拓扑线性空间，对称集，平衡集，吸收集，有界集，半范数，Minkowski泛函，巧 拓扑与w *拓扑，TLS可距离化的充要条件，可赋范的充要条件.07 / 08学年第一学期泛

2、函分析II试题 （2008年1月）一、（14分）在距离空间中，什么是压缩映射？试叙述压缩映射原理 并证明：存在尤=x（t） e Lpa,b,(拦 P +8),满足 x(t) = -cosx(t) + a(t),其中 a(t) G Lp Q, b为给定函数.A二、(7分)在完备的度量空间中，试指出下列概念之间的相互关系：完全有界集，列紧集，有界集，紧集.三、(12分) 作为赋范线性空间，空间l p (1 P +8 )的闭单位球在范数拓扑下是紧集吗？它是弱紧集吗？为什么？ 若H是一个无穷维的可分Hilbert空间，则H线性同构于哪个空间？ H是自反空间吗？为什么？四、(13分)试证明赋范线性空间1

3、 1的可分性、完备性.五、(11分)作泛函 f 1 2 C 为/ (X) =， V X = X G I 2 (复数列空间).nnn = 1试验证f是有界线性泛函，并求Ilf 11.六、(12分)设M是Hilbert空间H的非空子集，试证明：(M1)上=span( M)(闭包).七、(11分)设T是Hilbert空间H上的线性算子且对所有x, Y G H 成立 OX，y) = ( xT y.)试证明：T是有界算子.八、(15分)记X = Ca，b(复连续函数空间)，定义pt (x) = x(t)，V x = x(t) g Ca, b， t G a，b.试证明：(1) j纣a, b是X上的分离的半范数族；(2)由t !ga, b所定义的X上的局部凸拓扑不可赋范.九、(5分)在广义函

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