高中数学一道高考题的变式及多种解法

1、一道高考题的变式及多种解法高考原题：（06年四川卷11题）设a、b、c分别为AABC的三内角A、B、C所对的2边，则 a = b(b+c)是 A=2B 的(C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条（A） 充要条件（B）充分而不必要条件（ 件正确答案：A三个内角 A、B、C的对边为a、b、c.求证：a2=（06年四川卷11题改编） ABO43, b2+ bc是A = 2B的充要条件.解：法一:a2 = b2 + bc,a b,ac,从而 A B, A C,由余弦定理 a2 = b2 + c22bc cos A,得 bc = c2 2bc cosA,即 b = c- 2bc - cos A,

2、由正弦定理得 sin B = sin C 2sin B- cos A,即 sin B = sin sin B = sin （舍去）.以上各步可逆，故(A + B)2cosA - sin B,(A B),则 B = A-B 或 B = n - (A B),a2 = b2+ bc是 A = 2 B的充要条件.法一的变化:22 _ 卜2a2 = b2 + bc,由余弦定理 cosB=2ac由正弦定理a =2Rsin A,b =2Rsin B,c = 2RsinC,得 cosB =2asin B sin C2 sin A. A B = B, . . A = 2 B即2 sin AcosB =sin B

3、 sin C = sin B sin( A B) = sin B sin B cos A cosB sin A sin Acos B -sin B cos A =sin B,即 sin( A - B) = sin B ,法二： A = 2 B,sin A sin B22,2又 cosB 2 sin BcosB22,2a c -b- a 得 cos B =2b结合待证式，有a（b + c） .当c = b时，结合以上各步可逆，故 a反之亦然，即 一2ac2 (c _ b)A = 2B,2b2ac=a2ca2b+ c2b- b3,(c2b2) = b (c b)亦有 a2 = b (b + c).

4、a2 = b2+ bc是A = 2 B的充要条件.sin Ab sin B= 2cosB , sin A = 2sin(c + b)Bcos B = sin2c = b 或 a2 = bB,故 A=2B。法三：该题根据命题的特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决？在ABC3,延长 BA到 D 使 AD= AC= b,连结 CD（图 1）,则 /BAC= 2/D= 2/ACD又因为 /BAC =2/B,故/ACD= ZB, CD = a,AACD CBD入b CD有一二a b ca_2， - ab cb (b + c).以上各步可逆，故 法三的变化：a2 = b2 + bc是A=2

5、B的充要条件.由题设a2 = b(b + c),得bAabaD做出 MBC (图2),延长CA到D,使AD = AB = c, 0 :二 A - B :二二，0 :二 B :二二，连结BD ,式表示的即是BC ACDC BC所以 ABCD s aaBC ,所以 N1 =/D.又 AB = AD,可知 Z2 =/D,所以 /1 =/2. 因为.BAC = . 2 D = 2. 2=2, 1, 所以A=2B 。法四：由正弦定理 a =2Rsin A,b = 2Rsin B,c = 2RsinC,+sin Bsin C图22a =1 一 cos 2 Ab2+1 - cos 2 B2sin 2A=si

6、n 2Bsin Bsin( A B)=cos2 B = cos2 A- cos(A +2B) cos Acos2 B +cos (A + 2 B) = cos2 A + cos Aa A 4B=2cos 2c=2coscos公”=2B.222法四的变化：由正弦定理 a =2Rsin A,b =2Rsin B,c = 2RsinC, a2 = b2 + bc - sin 2A=sin 2B + sin Bsin C1 -cos 2A 1 - cos2B =sin Bsin( A B)1 ,=一 (cos2B -cos2A) = sin Bsin( A B)2仁 sin (A + B) sin (

7、A B) =sin Bsin( A + B).即 sin( A - B) = sin B ,.QA-Bn,QBJr,. A B = B, . A = 2 B法四的再变化：由正弦定理 a =2Rsin A,b =2Rsin B,c = 2RsinC, a2= b2 + bc usin 2A=sin 2B + sin Bsin C22u sin A -sin B=sinBsinCu sin (A+ B) sin (A B) = sin Bsin( A + B).即,. A = 2 Bsin 2A sin 2B = sin(A + B) sin (Asin( A - B) =sin B ,.QA-Bn,QBn,.A B =解后反思：注重教材习题，在解题中的灵活运用，-B)(人教版教材第一册(下)P41第7题).2由 a =b(b + c) , 得c -b2b ,2 2(b c) c c - b.2b(b c)c22b法五：该题若用余弦定理如何解决？利 用 余 弦 定 理 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 22222b J -a _ (b c ) - b(b c) c Ao s 一 2bc2bc