高中数学导数题型分析报告及解题方法

1、高中数学导数题型剖析报告及解题方法适用文案导数题型剖析及解题方法一、考试内容导数的观点，导数的几何意义，几种常有函数的导数;两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单一性和极值,函数的最大值和最小值。二、热门题型剖析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值1 . f (x) x 33x22在区间 1,1上的最大值是c=6;2 .已知函数 y f ( x) x (x c) 2在x 2处有极大值，则常数3 .函数y 点在曲线 o 。P( 1,1) y x3x 2解：(1) 3xx3有极小值1，极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1 曲线y 4x x3在点1, 3处的切线方程是2 .若

2、曲线f ( x) x4 x在P点处的切线平行于直线3x yP点的坐标为(1,0)3 若曲线 y x4的一条切线l与直线x 4 y 80垂直，则的方程为4x4.求以下直线的方程:(1 )曲线y x3 x2 1在P(-1,1)处的切线;(2 )曲线yx2过点P(3,5)的切线;1上,3x 2 2 x k y7所以切线方程为 y 1 x1，即 x y 2(2)明显点P (3 ,5)不在曲线上,所以可设切点为A(牛y。)，则y2 x0又函数的导数为/ 2xy 2x ,A( x , y )所以过 0 0点的切线的斜率为y7 |xxo2x0A( x , y ),又切线过0 02 x0P(3,5)点，所以有

3、y0 5x 3，由联立方程组得,标准x0 y0 x0 y0525k1 2x02；1 ,1 )时,切线斜率为当切点为(高中数学导数题型剖析报告及解题方法适用文案5 , 25 )时，切线斜率为k2 2x0 10 ；所以所求的切线有两条，方程分别为y 1 2( x 1)或 y 25 10(x 5)，即 y 2 x1 或 y 10 x25题型三：利用导数研究函数的单一性，极值、最值1 .已知函数f ( x)x3 ax2bx c,过曲线y f (x)上的点P(1, f (1)的切线方程为y=3x+1若函数f ( x)在x 2处有极值，求 f( x)的表达式;解:而过(n)(田)在(I)若函数的条件下，求

4、函数y f ( x)在区间(1)由(,x3 ax2 bxy f ( x)在-3 , 1上的最大值;2, 1上单一递加，务实数 b的取值范围c,求导数得f (x) 3x 2f ( x)上点P(1, f (1)的切线方程为:f (1)3 2a2ax b.f (1)(x1),即 y ( a b c 1)( 3 2a b)( x 1).f (x)上P1, f (1)的切线方程为y 3xy f ( x)在 x由得a=21.即 2ab 02时有极值，故f ( 2)0, 4a. f ( x)12 2 x2 4 x 5.(2)f ( x)3x24x4(3x2)( x2).2时，f(x)0；当20；标准0.f

5、( x)极大f (2) 13又 f (1)4, f (x)在-3 , 1上最大值是13。高中数学导数题型剖析报告及解题方法适用文案(3 ) y=f(x)在2 , 1上单一递加，又f ( x) 3x 2 2ax 由知 2a+b=0八f ( x) f ( x) - 口 2依题意 在2, 1上恒有)0,即3x2bx b 0.bx 1 时，f ( x) min f (1)3 b b 0, b 6 TOC o 1-5 h z 当 6；bx 2 时,f ( x) min f (2)12 2b b 0, b当 6 HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 612bb

6、221 时，f( x) min 0,则 0 b 6.当 b12综上所述，参数 b的取值范围是0，2 ,已知三次函数f (x) x3 ax2 bx)c在x 1和x1时取极值，且f ( 2)4 .求函数y f ( x)的表达式;(2)求函数 y f ( x)的单一区间和极值;(3)若函数 g ( x) f (x m) 4m (m0)在区间m3, n上的值域为4,16,试求m、n应知足的条件.解：(1) f ( x) 3x2 2ax b ,由题意得，1, 1是3x2 2ax b 0的两个根，解得尸0, b3再由 f (2)4可得 c2 . . f (x) x3 3 x 2 .(2) f ( x)3

7、x2 3 3( x 1)(x 1)，当 X 1 时，f( x) 0；当 x1 时，f ( x)0 ；当 1 x 1 时，f ( x) 0 ；当 x 1 时，f ( x) 0 ；当 1时，f ( x) 0 .，函数)在区向，1上是增函数;在区间1J上是减函数；在国间)上是增函数.函数f ( x)的极大值是f ( 1)0,极小值是f(1) 4 .函数g ( x)的图象是由f(x)的图象向右平移个单位，向上平移个单位获得的,标准所以，函数f ( x)在区间3, n高中数学导数题型剖析报告及解题方法适用文案向上的值域为4m,164mL m 0).而 f ( 3)20, 4 4m于是，函数f ( x)在

8、区间3, n4上的值域为0,0.令”x) 0由f ( x)的单一性知,综上所述，m、n应知足的条件是:4且33 .设函数(x) x( xa)( x b).(1 )若f ( x)的图象与直线5x0相切,切点横坐标为2 ,且 f ( x)在x 1处取极值,务实数a, b的值;f (x)总有两个不一样的极值b=1 时，试证明：无论a取何实数，函数解：(1)f ( x)3x22(ab)x ab.由题意f (2)5, f (1),代入上式，解之得:(2 )当 b=1时,令 f (x)0,0得方程3x2 2(a1)x a 0.故方程有两个不一样实因 4( a21)x , x2不如设x1f ( x)3( x

9、 xi )(x x2 )可判断f ( x)的符号以下:当x x 1时,f (x)0 ；当x1 x x2 时，f (x) vo； 当 x x 2时，f(x) of ( x)总有两个不一所以x1是极大值点,x2匚是极小值点.，当b=1 时，无论a取何实数，函数的极值点。题型四：利用导数研究取数的图象.如右伯：是 f ( x)1勺图象如右图所方f的图象只可能是(by A一, 0标准高中数学导数题型剖析报告及解题方法高中数学导数题型剖析报告及解题方法适用文案(A )( B)( C)( D )3 4x 1的图像为y x.函城(A )(B)123题型五：利用单一性、极值、最值状况，求参数取值范围f ( x

10、)1 X3 2ax 3 6 2 37 0在(0,2)内根的个数为3a2 x b,0 a 1.1 .设函数3(1)求函数 f( x)的单一区间、极值.(2 )若当x a 1, a 2时，恒有| f (x) | a ,试确立a的取值范围.解：(1) f ( x)x2 4ax 3a2 = ( x 3a)( x a),令 f( x) 0 得 xi a, x2 3a列表以下：标准高中数学导数题型剖析报告及解题方法适用文案(-0, a) a(a, 3a )3a(3a , + 0)f ( x)-0+0-f ( x)极小Z极大xf ( x).-0, a )和(3a , + )上单一递减 在(a, 3a )上单

11、一递加，在(f极小b 4 a .方程x xf极小(x) bx a 时，3 , x 3a 时，(2)f (x)x2 4ax3a2 a ，,对称轴 ” 2a a 1f ( x).= ,在a+1 , a+2上单一递减f Max(a 1)2 4a(a 1) 3a22a 1 , 匚n (a 2)2 4a(a 2) 3a2 4a 4依题 I f ( x) I a| fMax | a | f min | a即 | 2a 1| a,| 4a 4 | a4a 150 a解得，又4- ,1).a的取值范围是5f ( x) = x3 + ax2 + bx + c在x = 与x= 1时都获得极值(1 )求a、b的值与

12、函数f (x)的单一区间(2 )若对x 1 , 2，不等式f ( x)c2恒建立，求c的取值范围解:(1 ) f (x) = x3 + ax2 + bx + c,f ( x) = 3x2 + 2ax +b12a+ b = 0,f (1 ) = 3 + 2a + b = 0 得 a=2,b=- 2f ( x) = 3x2 x-2 = ( 3x + 2 ) ( x- 1 ),函数 f (x)的单一区间以下表:x_2-2-21(1 , + )3 .3 L3,1)1标准高中数学导数题型剖析报告及解题方法适用文案所以函数f ( x)的递加区间是(一3)与(1 , 十 ),递减区间是(一(2 ) f (

13、x)=x3 -2 + c, x一1 ,2，当3 i /时，f (x)为极大值，而f (2 )=2+ c,=2 +c为最大值。要使f (x)c2 ( x 一 1 ,2)恒建立，只要c2f ( 2) = 2 +c,解得2227+ cf (x)十0一0十f ( x)极大值极小值题型六：利用导数研究方程的根v -1 .已知平面向量a =(， 1).(1)若存在不一样时为零的实数b =( 2 , v一 xk和t，使 二2).vavb+(t2 3)uvva+tv uvx , y试求函数关系式k=f；(2)据(1)的结论，议论对于t的方程f一k=0的解的状况.v一 x解：(1) :uvvv2 auvx y=

14、0v即a +(t2-3)v vb (-ka+tvb)=0.整理后得-k+t-k(t2-3)vb+ (t2-3)v2 b=0(2)议论方程于是f (t尸丫2b.上式化为-4k+t(t2-3)=04t(t2-3)-k=0的解的状况，能够看作曲线4(t2-1)=4(t+1)(t-1).，即 k= 4 t(t2-3)f(t)= 4 t(t2-3)与直线y=k的交点个数.t(-0,-1)-1(-1,1)1(1,+ )的变化状况以下表:令 令(t)=0,解得t1=-1,t2=1. 当t变化时，令(t)、f(t)标准高中数学导数题型剖析报告及解题方法适用文案+0F(t)/极大值-0+极小值/1当t= - 1

15、时，f有极大值，f极大值=2 .1一 -2当t=i时，f有极小值，f极小值=1函数f(t)=4 t(t2-3)的图象如图132 1所示,可察看出:11当k 2或kv2时，方程f(t) k=0有且只有一解;(2)当k= 2或k= - 2时，方程f(t) k=0有两解; 当2 v kv 2时，方程f(t) k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合1 .设a 0,函数f (x) x3 ax在1,)上是单一函数.a (1)务实数 a的取值范围；(2)设 x0)1, f(x) )1 ,且 f( f( x0)x0 ,求证：f(x0)x0解：(1 ) y f (x)3x 2 a,若f ( x)在1,上是单一

16、递减函数,则须y 0,即a 3x2 ,这样的实数a不存在.故f (x)在1,上不行能是单一递减函数2若f ( x)在1,上是单一递加函数，则 a 3x ,标准高中数学导数题型剖析报告及解题方法适用文案，故 3x 2 3 .进而 0a 3,(2)方法1、可知x)在1,上只好为单一增函数.f ( xo ) f ( f ( xo ) x0 矛盾，若 1 w f ( xo )x0，则 f ( f (x0 )若 1 1,u1 ,f ( x)3-)(x a)a ,2 .已知 为实数,函数 f (x)x(1 )右函数 , 7的图象上有与轴平行的切线,aa的取值范围(2)若 f ( 1)f ( x)的单一区间

17、I f ( x1)(n)证明对随意的x1 x2(1,0),不等式5f (x2 ) |516.怛建文Q f (x)解：ax23x23a2f ,( x)3x22ax 32Q函数f (x)的图象有与轴平行的切线,f ,( x)0有实数解Q f ( 1)由 f (x)4a20, x2aa2f ,( x)a的取值范围是f ,(x)3x23(x2-1)( x 1)0, 1 x,1),( 1 ,f ( x)的单一递加区间是;单一减区间为1, 1 )标准高中数学导数题型剖析报告及解题方法适用文案f ( 1)_25f (二)_49 f (0) 27易知”X)的最大值为8 , “ X)的极小值为216 ,又 8

18、TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark113 o Current Document 2749M m f ( x)在1, 0上的最大值8 ,最小值 16 HYPERLINK l bookmark247 o Current Document 27 495对随意 X1, X2( 1,0),恒有1 f( X1)f( x2 ) 1 M m7濡二6题型八：导数在实质中的应用1 .请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）试问当帐篷的极点_ 01O究竟面中心x m解：设OO1为2的距离为多少时个嵯篷的体积最大?2 ,（单

19、位：m ）由题设可得正六棱锥底面边长为:32(x1)28 2x x3 3故底面正六边形的面积为:(8 2x x 2 ) 22(8x （单位:次）V (x )3 3(82x帐篷的体积为：V （ x）求导得3(1223x2 )ox 2 ) 1 (x 1) 1 3 (16 12 x x3 )332(单位：m )令V解得x（不合题意,舍去），x2,V ( x)2 时，V x()为增函数;V （ x）4 时，V x为减函数。答：当标准V2时，（x）最大。OO1 为2m时，帐篷的体积最大，最大概积为16 3 m3高中数学导数题型剖析报告及解题方法适用文案2 .统计表示，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗

20、油量y (升)对于行驶速度 x (千米/y 1X33 x 8(0 x 120).小时)的函数分析式能够表示为：12800080已知甲、乙两地相距100千米(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少开?(II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少开?解:x 40(I)当时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540 小时,(1 403 -340 8) 2.517.5要耗没12800080(升)。X(II)当速度为千米/小不时，汽车从甲地到乙地行驶了h( x) (1x3 3 X 8).1 x2依题意得12800080 x 1280100 x 小时，设耗油