高中数学解题中的设而不求综述专题辅导

1、高中数学解题中的“设而不求”综述设而不求是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略， 往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。本文将对设而不求的常见类型加以归纳，以供借鉴与参考。一、整体代入，设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的例1.已知等比数列an中， 解：设公比为q,由于S2m思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决。Sm =16, . =64,求 S3m。m m、a1（1-q）=161 -qa1（1 -q2m）-二64#2Sm,故 q #1：二 1:二 2 .1 -q + 得 1 +qm

2、= 4,则 qm = 33m所以 S3m =a1（1-q ）-qa1 （1 一q ）m 2m=（1 q q ）-q=16 （1 3 32） = 208二、转化图形，设而不求有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。例 2.设 a、b 均为正数，且 a + b = 1 ,求证 * 2a +1 + -2b+1 1, v 1), u+v = mu + v = m则u、v同时满足JJ2 +v2 =4其中u + v = m表示直线，m为此直线在v轴上的截距2u+v =4是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧(如图 1),显 然直线与圆弧相切时，所对应的截距

3、m的值最大。o I 2由图易得mmax =22即 2a 12b 1 三2.2三、适当引参，设而不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化, 使问题能够得到解决。例3.已知对任何满足(x -1)2 +y2 =1的实数x、y,如果x + y +k之0恒成立，求实 数k的取值范围。解：设x = 1 + cosey =sinB(0 e R),则g(i)= x y k=si n co s 1 k =.2si n( ) 1 k- -.2 1 k令一UE +1 + k 之0,得 k 42 -1四、巧设坐标，设而不求在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使

4、问题定向，简便 化归，起到以简驭繁的解题效果。例4.设抛物线y2 =2px(p 0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于 A、B两点, 点C在抛物线的准线上，且 BC/x轴，求证：直线 AC经过原点O。证明：设点 A (2pt；, 2pt1)、B (2pt2, 2Pt2),则点 C (, 2Pt2)2因为AB过焦点F所以 2Pt12Pt2 - -p21付 tt24又直线OC的斜率k 0c = 2P，2 = 4t2 =_ pt12直线OA的斜率kOA = 2pt；=工，则k 0c = kOA2Pt2-0 3故A、O、C三点共线，即直线 AC经过原点O。图2五、活用性质，设而不求解题过程中，不断变

5、换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构 造，活用性质，可直达目标。一.11113例5.求证+ 一(n之2, n w N*)n 1 n 2 2n 24 一11113证明：设xn二- -n 1 n 2 2n 241一 n 21+n 3111+ +2n 2n 1 2n 21324,11由 X n 1 - X n递增数列。p 1,又 X 2 . 03 4 24则 xn 0(n _2, n N*)2n 1 2n 211312n 1一：一 0可知：数列xn为单调2n 2化简可得（x）2 r又因为cos-：=2MAOA即 cos =，=x-OAOAOAOB所以2 .cos -二rOAOA一

6、 11113 一即. (n _ 2, n N*)n 1 n 2 2n 24六、中介过渡，设而不求根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决。例6.如图3, OA是圆锥底面中心 O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥 体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴的夹角”。解：过点/ MAO = / AOB = / OSB = a设 MA =x, OB= r, SO=h1 c 11c则有一二x2hr2hcos4 :1=arccos, 一 4 2七、恒等变形，设而不求某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意 想不到的效果。例 7.求 cos,cos解：设MN =sin171717coscos17的值。=cos cos-cos一cos一17171717二.2二.3 二.8 二sinsin sin17171717则 MN = sin cos sin 17171 . 2二.4